Сделаем в интеграле I2 замену y = x − π, получим
∫π ∫π
I2 = e−(π+y)2 cos2 y dy = e−(π+x)2 cos2 x dx.
0 0
Отсюда следует, что
|
|
|
|
π |
π |
I1 − I2 = ∫0 |
e−x2 cos2 x dx −∫0 |
e−(π+x)2 cos2 x dx = |
= |
∫π[e−x2 − e−(π+x)2 ]cos2 x dx. |
0
В последнем интеграле подынтегральная функция непрерывна, неотрицательна и не равна тождественно нулю, поэтому этот интеграл положителен. Следовательно, I1 > I2, т. е.
π |
2π |
|
∫0 |
e−x2 cos2 x dx > ∫π |
e−x2 cos2 x dx. |
2318. Определить средние значения данных функций в указанных промежутках:
а) f(x) = x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на |
[0; 1]; |
б) f(x) = √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на |
[0; 100]; |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) f(x) = 10 + 2 sin x + 3 cos x |
|
на |
[0; 2π]; |
г) f(x) = sin x sin(x + φ) |
|
|
|
на |
[0; 2π]. |
1 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x2 dx = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) M[f] = ∫ |
0 = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x3/2 |
0 |
= |
20 |
|
2 |
|
б) M[f] = 100 ∫ √x dx = |
150 |
3 |
= 6 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) M[f] = |
|
(10 + 2 sin x + 3 cos x) dx = |
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos x + 3 sin x] 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
[10x − |
= 10. |
|
|
|
|
|
|
|
2π |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∫0 |
|
|
|
|
|
г) M[f] = |
|
sin x sin(x + φ) dx = |
|
|
[cos φ − cos(2x+ |
2π |
4π |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
+φ)]dx = 4π [x cos φ − |
|
2 sin(2x + φ)] 0 |
2 cos φ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2319. Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
среднее значение длины фокального |
радиуса- |
вектора эллипса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = |
|
p |
|
|
|
|
(0 < ε < 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − ε cos φ |
|
|
|
|
По определению среднего значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M[r] = |
|
|
|
dφ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
1 − ε cos φ |
|
|
|
|
Полученный интеграл можно свести к интегралу, вычисленному ранее. Для этого сделаем замену φ = π − t, получим
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M[r] = |
p |
|
∫ |
|
|
|
dt |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
1 + ε cos φ |
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно решению задачи 2265 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
dt |
|
= |
∫ |
|
|
dt |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + ε cos φ |
|
1 + ε cos φ |
−π |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а в соответствии с решением задачи 2213 |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
∫ |
dt |
|
|
|
= |
√ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + ε cos φ |
|
|
|
|
1 |
− |
ε2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
M[r] = √ p .
1 − ε2
Замечание. Из курса аналитической геометрии известно,
что величина
√ p
1 − ε2
совпадает с длиной меньшей полуоси эллипса. Таким образом, среднее значение длины фокального радиуса-вектора эллипса равно длине малой полуоси этого эллипса.
2320. Найти среднее значение скорости свободно падающего тела, начальная скорость которого равна v0.
Обозначим через v1 конечную скорость тела. Если t1 – время падения, то ускорение свободного падения
g = v1 − v0 t1
и закон изменения скорости тела имеет следующий вид:
v(t) = v0 + gt = v0 + v1 − v0 t. t1
Среднее значение скорости
|
t1 |
∫ |
|
t1 |
∫ |
( |
0 |
t1 |
) |
|
1 |
t1 |
|
1 |
t1 |
|
|
v1 − v0 |
|
M[v] = |
|
|
v(t) dt = |
|
|
|
v + |
|
t dt = |
00
=1 [v0t + v1 − v0 t2] t1 = v0 + v1 − v0 = v0 + v1 .
t1 2t1 0 2 2
2321. Сила переменного тока меняется по закону
i = i0 sin ( |
πt |
+ φ), |
2 |
T |
где i0 – амплитуда, t – время, T – период и φ – начальная фаза. Найти среднее значение квадрата силы тока.
0
Проверим полученную формулу на примере функции f(x) = arctg x. Первообразную этой функции находим, интегрируя по частям
∫ ∫
arctg x dx = x arctg x − x dx = x arctg x − 1 ln(1 + x2) + C. 1 + x2 2
204
По определению среднего значения
|
1 |
T |
|
|
|
|
i2 |
T |
|
|
|
( |
πt |
+ φ)dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M[i2 |
] = |
|
|
∫0 |
i2 |
(t) dt = |
0 |
|
∫0 |
sin2 |
2 |
|
T |
T |
T |
|
|
= 2T |
∫0 |
[1 − cos ( T |
|
+ 2φ)]dt = |
|
|
|
i2 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
4πt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2T |
[t − 4π sin ( T |
+ 2φ)] 0 |
= 2 . |
|
i2 |
|
|
|
|
T |
|
4πt |
|
|
|
|
|
|
T |
i2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2321.1. Пусть f(x) |
|
C[0; + |
∞ |
) и lim |
f(x) = |
A. Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
∫x
lim 1 f(x) dx.
x→+∞ x
0
Рассмотреть пример f(x) = arctg x.
Применяя правило Лопиталя и учитывая, что
∫x ′
f(x) dx = f(x),
0
находим
|
|
|
x |
|
lim |
1 |
|
∫ |
f(x) dx = lim |
|
x→+∞ x |
x→+∞ |
∫x
f(x) dx
0= lim f(x) = A.
x x→+∞ 1
Отсюда следует, что
∫x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) dx = x arctg x − |
|
ln(1 + x2) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
[arctg x |
|
ln(1 + x2) |
] = |
π |
lim |
|
f(x) dx = |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ x ∫0 |
|
|
x→+∞ |
− |
2x |
2 . |
Этой же величине равен и |
|
lim |
|
|
|
f(x). |
|
|
|
|
|
|
2322. Пусть |
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∫0x f(t) dt = xf(θx). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти θ, если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) f(t) = tn (n > −1); |
б) f(t) = ln t; |
в) f(t) = et. |
Чему равны |
lim |
θ и |
lim |
θ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
xn+1 |
|
|
|
|
|
|
а) ∫ f(t) dt = ∫ tn dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение для θ имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x(θx)n, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решая это уравнение, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ = n |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
В данном случае величина θ не зависит от x и поэтому
lim θ = |
lim |
θ = θ = n |
1 |
. |
|
x→+0 |
x→+∞ |
√n + 1 |
|
205 |
|
|
б). Интегрируя по частям, находим:
x |
x |
|
x |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
f(t) dt = ∫ |
ln t dt = t ln t 0 |
− ∫ |
dt = x ln x − x = x ln |
e |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
Уравнение для θ имеет вид
x ln xe = x ln(θx),
решая это уравнение, находим:
θ= 1e .
Вданном случае величина θ также не зависит от x и поэтому
lim θ = |
lim |
θ = θ = |
1 |
. |
|
x→+0 |
x→+∞ |
|
e |
∫x ∫x
в) f(t) dt = et dt = ex − 1.
00
Уравнение для θ имеет вид
ex − 1 = xeθx,
решая это уравнение, находим
θ = x1 ln ex x− 1 .
Предел θ при x → +0 находим, применяя трижды правило Лопиталя,
lim θ = lim |
x |
|
|
|
= lim |
|
ex |
1 |
|
|
|
xe |
|
|
− e |
|
+ 1 |
= |
x |
|
|
|
ex − 1 − x = lim |
|
|
|
|
ln |
e |
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
x→+0 x→+0 |
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(ex − 1)x |
|
|
|
|
|
|
|
xex |
|
|
|
ex + xex |
|
1 |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
xex + ex − 1 |
2ex + xex |
|
|
|
|
x→+0 |
|
x→+0 |
|
2 |
|
|
|
|
Аналогично вычисляется и предел на +∞:
lim θ = lim |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− e |
|
|
+ 1 |
= |
|
|
|
|
= lim ex − 1 |
− x = lim xe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
e |
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
x→+∞ x→+∞ x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(ex − 1)x |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
xex |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
ex |
+ xex |
|
= lim |
|
1 + x |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xex + ex − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + x |
x→+∞ |
|
|
|
x→+∞ 2ex + xex |
x→+∞ |
|
|
|
Пользуясь первой теоремой о среднем, оценить интегралы: |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2323. |
∫0 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 0,5 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По первой теореме о среднем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 0,5 cos x |
1 + 0,5 cos ξ |
|
|
|
|
|
|
|
Так как −1 6 cos ξ 6 1, то 1/2 6 1 + 0,5 cos ξ 6 3/2 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
6 |
|
|
|
2π |
|
|
6 4π, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 + 0,5 cos ξ |
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|
|
|
|
6 4π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 + 0,5 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2324. |
√ |
|
x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По первой теореме о среднем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
1 |
∫0 |
x9 dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
√ |
10√ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
1 + ξ |
1 + ξ |
|
|
|
|
где ξ [0; 1]. Неравенства 0 6 ξ 6 1 влекут за собой оценку
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
√ |
|
|
|
|
2 |
1 + ξ |
и, таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
x9 |
|
|
|
|
6 |
∫0 |
|
|
|
|
|
|
10√ |
|
√ |
|
|
|
|
|
2 |
1 + x |
|
100 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
x |
|
|
|
|
|
|
2325. |
− |
dx. |
|
|
|
|
|
|
x + 100 |
|
|
|
|
|
|
По первой теореме о среднем
100 |
|
|
|
100 |
|
|
|
|
∫0 |
e−x |
dx = |
1 |
e |
|
x dx = |
1 − e−100 |
, |
|
|
|
|
x + 100 |
|
ξ + 100 |
∫0 |
− |
|
ξ + 100 |
|
где ξ [0; 100]. Из неравенств 0 6 ξ 6 100, следует оценка
|
1 − e−100 |
|
6 |
|
1 − e−100 |
6 |
1 − e−100 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
ξ + 100 |
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
e−100 |
e x |
|
|
1 |
|
e−100 |
|
∫0 |
|
|
|
|
|
− |
|
6 |
|
− |
dx 6 |
|
|
− |
. |
|
200 |
|
x + 100 |
|
|
100 |
|
2326. Доказать равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/2 |
|
|
а) n→+∞ ∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→+∞ |
∫0 |
|
|
|
1 + x dx = 0; б) |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
sinn x dx = 0; |
а). Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
xn |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 6 ∫ |
|
dx 6 ∫ xn dx = |
|
, |
|
|
1 + x |
n + 1 |
|
00
то отсюда следует, что при n → +∞
∫1 xn
1 + x dx → 0.
0
б). Проверим определение предела. Пусть ε > 0. Выберем в интервале (0; π/2) точку xε так, чтобы
|
|
π |
|
ε |
|
|
|
|
|
− xε < |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
и разобьем рассматриваемый интеграл на два |
|
In = I(1) |
+ I(2) |
, |
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
x" |
|
|
|
|
|
|
π/2 |
In(1) = ∫0 |
sinn x dx, |
In(2) = x∫" |
sinn x dx. |
Оценим первый из полученных интегралов. Пусть
q= sin xε.
Всилу монотонного возрастания функции y = sin x
|
|
x" |
x" |
x" |
π/2 |
|
π |
|
In(1) 6 |
∫0 |
sinn xε dx = ∫0 |
qn dx = qn ∫0 |
dx 6 qn ∫0 |
dx = |
|
|
qn. |
|
2 |
Так как 0 < q < 1, то последовательность an = π2 qn → 0
при n → +∞. Следовательно, по определению предела, существует такое натуральное nε, что при всех n > nε будет справед-
ливо неравенство |
|
π |
|
|
ε |
|
|
|
|
|
qn |
< |
|
, |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
и, соответственно, |
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
In(1) < |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценим второй интеграл. Так как | sin x| 6 1, то |
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In(2) 6 x∫" |
dx = |
π |
|
|
ε |
|
|
− xε < |
|
. |
|
2 |
2 |
|
Отсюда получаем, что при всех n > nε |
|
|
|
|
|
|
−ε < 0 6 In = In(1) + In(2) < |
ε |
|
|
ε |
|
|
+ |
|
= ε, |
2 |
2 |
и поэтому −ε < In < ε, т. е.
|In − 0| < ε.
Таким образом, действительно
|
π/2 |
lim |
sinn x dx = 0. |
n→+∞ |
∫0 |
2326.1. Найти:
|
1 |
|
|
а) ε→0 |
∫0 |
dx |
εx2 + 1 |
lim |
|
|
; |
где a > 0, b > 0 и f(x) C[0; 1]. а). По теореме о среднем
|
bε |
|
dx |
|
|
lim |
f(x) |
, |
|
|
б) |
ε→0aε∫ |
|
x |
|
1 |
|
|
1 |
|
∫0 |
dx |
= |
, |
|
|
εx2 + 1 |
εξ2 + 1 |
где ξ [0; 1]. Из неравенства 0 6 ξ 6 1 следует, что
