Орловский Определенный интеграл.Практикум ч.1 2010
.pdfрассматривая их как функции параметра α, если:
∫1
а) I = x|x − α| dx;
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0 |
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π |
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sin2 x |
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б) I = ∫0 |
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dx; |
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1 + 2α cos x + α2 |
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π |
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sin x dx |
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в) I = ∫ |
√ |
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. |
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1 |
− |
2α cos x + α2 |
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0 |
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а). Если α < 0, то |
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1 |
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x3 |
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αx2 |
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1 |
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1 |
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α |
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0 |
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I(α) = ∫ x(x − α) dx = |
( |
|
3 |
− |
2 |
|
) 0 |
= |
|
3 |
− |
2 |
. |
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|||||||||||||||||||||
При 0 6 α 6 1 |
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I(α) = ∫0α(αx − x2)dx + ∫α1(x2 − αx)dx = |
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αx2 |
|
x3 |
|
α |
|
|
x3 |
|
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αx2 |
|
1 |
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α3 |
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α 1 |
||||||||||||
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||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
− |
) α = |
|
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|||||||||||||||||||||||||
= ( 2 |
− |
3 ) 0 + |
( 3 |
2 |
|
|
3 − 2 |
+ 3 . |
|||||||||||||||||||||||||||
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При α > 1 |
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|
1 |
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αx2 |
|
|
x3 |
|
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|
1 |
|
α |
1 |
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||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
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||||||||||||||||
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||||||||||||||
I(α) = ∫ x(α − x)dx = |
( |
|
|
2 |
|
|
− |
3 |
) 0 |
= |
2 |
− |
3 |
. |
|||||||||||||||||||||
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График интеграла представлен на рис. 3.17. |
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||||||||||||||||||||||||||
б). При α = 0 |
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||
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|
π |
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|
1 |
|
π |
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|
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||||||
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I = ∫0 |
sin2 x dx = |
∫0 |
(1 − cos 2x)dx = |
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
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111
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x |
1 |
|
π |
|
π |
||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|||||||||||
|
|
|
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|
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|
|||
|
|
|
|
= ( |
2 |
− |
4 |
sin 2x) 0 |
= |
2 |
. |
|||||||||
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||
При α ̸= 0 делаем замену t = tg |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
: |
|
|
|
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|||||||||||||||
2 |
|
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|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
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|
2dt |
|
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|
|||
I = |
|
− |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
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||||
|
|
|
(α 8 1)2 |
|
(1 + t2)t2(t2 + A2) , α ̸= 1 ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
2 |
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
t dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
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||
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|
(1 + t2)2 , α = 1 , |
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где A = α + 1 .
α − 1
|
6I(α) |
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1/3 |
q |
|
|
|
|
|
1/6 |
q |
|
q |
q |
|
|
|
|
-α |
||||
O |
|
pq2 |
1q |
|
||
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
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Рис. 3.17
Вычисляем полученные интегралы. Рассмотрим случай α ≠ ≠ 1. Найдем разложение подынтегральной функции на элементарные дроби относительно переменной u = t2:
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t2 |
|
|
= |
|
|
u |
= |
|
(1 + t2)2(t2 + A2) |
(1 + u)2(u + A2) |
||||||||
= |
a |
+ |
|
b |
|
+ |
c |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
1 + u |
(1 + u)2 |
u + A2 |
|
112
Для неизвестных коэффициентов a, b, c получаем систему
a + c = 0;
(1 + A2)a + b + 2c = 1;
A2a + A2b + c = 0.
Решая эту систему, находим: |
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|
|
||
|
A2 |
1 |
|
A2 |
|
a = |
|
, b = |
|
, c = − |
|
(1 − A2)2 |
1 − A2 |
(1 − A2)2 |
(при любом α величина A = (α + 1)/(α − 1) ≠ 1 и при любом α ≠ 0 значение A ≠ −1). Используя формулу понижения (задача 1921), получаем:
∫ |
|
dt |
= |
|
|
t |
|
|
|
+ |
1 |
|
∫ |
|
dt |
= |
|
|
t |
+ |
1 |
arctg t + C. |
|||||||||||||||
|
(1 + t2)2 |
|
2(1 + t2) |
|
2 |
|
1 + t2 |
|
2(1 + t2) |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
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|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
a ∫ |
|
|
|
dt |
|
|
+ b ∫ |
|
|
|
dt |
∫ |
|
|
|
dt |
|
|
||||||||||||
|
I = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ c |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||
|
(α |
1)2 |
1 + t2 |
|
(1 + t2)2 |
t2 + A2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
|
|
8 |
|
|
|
[a arctg t + |
b |
( |
|
t |
|
+ arctg t)+ |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(α |
− |
1)2 |
|
|
2 |
1 + t2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2c |
|
|
||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
arctg |
|
] 0 |
|
|
= |
|
2π |
|
(2a + b + |
|
|
). |
|
|
|||||||||||||||||||
|
A |
A |
|
|
(α |
1)2 |
|
A |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
| | |
|
|
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
Подставляя сюда значения коэффициентов a, b и c, находим
2π(1 − |A|)2
I = (α − 1)2(1 − A2)2 .
Нетрудно видеть, что при |α| > 1 величина A > 0 и
I = |
2π |
= |
π |
. |
|
(α − 1)2(1 + A)2 |
2α2 |
||||
|
|
|
113
При |α| < 1 величина A < 0, следовательно
I = |
2π |
= |
π |
. |
|
(α − 1)2(1 − A)2 |
2 |
||||
|
|
|
При α = −1 значение A = 0 и величина I также равна π/2. Осталось вычислить значение интеграла I при α = 1. После
интегрирования по частям получаем
|
|
+∞ |
|
t2dt |
|
|
|
+∞ |
( |
1 |
|
) = |
|
|
||||
I = 2 ∫0 |
|
|
= − |
∫0 |
t d |
|
|
|
||||||||||
|
(1 + t2)2 |
1 + t2 |
|
|
||||||||||||||
|
t |
|
+ |
∞ |
+∞ |
|
dt |
|
|
|
|
+ |
∞ |
π |
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
1 + t2 |
0 |
|
|
+ ∫ |
1 + t2 |
|
= 0 + arctg t 0 |
= |
2 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно получаем:
|
π |
|
|
|α| 6 1; |
||
|
|
2 |
|
|||
I = |
2 , |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
, |
α |
> 1. |
||
|
|
|||||
|
2α |
|
|
| | |
|
График функции I = I(α) приведен на рис. 3.18;
6I(α)
qπ/2
−q1 |
O |
1q |
-α |
Рис. 3.18
114
в). Если α = 0, то
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
I = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= 2. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
sin x dx = − cos x 0 |
|
|
|
|||||||||||||
При α ̸= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
π |
− |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
π |
|
||||||
|
1 |
0 |
(1 |
2α cos x + α2) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
I = |
∫ |
− |
= |
|
|
1 − 2α cos x + α2 |
0 |
= |
|||||||||||||||
2α |
|
d√1 |
2α cos x + α2 |
α |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |1 + α| − |1 − α| = |
|
22, |α| 6 1; |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
α |
|
|
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|||||
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|α| |
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График функции I = I(α) приведен на рис. 3.19.
6I(α) q 2
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−q1 |
O |
1q |
-α |
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Рис. 3.19
Применяя формулу интегрирования по частям, найти следующие определенные интегралы:
115
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ln 2 |
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2239. |
∫0 |
xe−xdx. |
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ln 2 |
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ln 2 |
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ln 2 |
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ln 2 |
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||||||||
|
∫ |
xe−xdx = − ∫ |
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∫ |
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|||||||||
|
x d e−x |
) |
= −xe−x 0 |
|
+ |
|
|
e−xdx = |
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0 |
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0 |
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( |
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0 |
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ln 2 |
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ln 2 |
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ln 2 |
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1 |
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|
|
e |
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|||||
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|
−e−x 0 |
= |
|
1 |
|
|
= |
|
ln |
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||||||||||||||
|
|
|
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= − |
2 |
|
− 2 + |
2 |
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2 |
|
2 . |
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π |
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2240. |
∫0 |
x sin x dx. |
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π |
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π |
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π |
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|||
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∫ |
x sin x dx = − ∫ |
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||||||||
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|
x d(cos x) = −x cos x 0 |
+ |
||||||||||||||||||||||||||
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0 |
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|
0 |
|
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π |
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π |
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|||
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+ ∫ |
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||||
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|
cos x dx = π + sin x 0 |
|
= π. |
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|||||||||||||||||
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|
0 |
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2π |
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2241. |
∫0 |
x2 cos x dx. |
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||||||
2π |
|
|
|
|
2π |
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|
|
2π |
|
|
|
2π |
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||||||||
∫ |
x2 cos x dx = ∫ |
|
|
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|
|
|
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|
|
|
∫ |
|
|
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|||||||||
|
x2d(sin x) =x2 sin x 0 |
|
|
− 2 |
x sin x dx = |
|||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
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|
0 |
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2π |
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|
2π |
|
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|
∫ |
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= 2 |
x d(cos x) =2x cos x 0 |
− |
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||||||||||||||||||
|
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|
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|
0 |
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|
|
2π |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
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|
|
−2 |
∫ |
cos x dx = 4π −2 sin x 0 |
|
= 4π. |
|
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|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
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|
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116
∫e
2242. | ln x| dx. Интегрируя по частям, находим
1/e
∫∫
|
|
|
|
|
|
ln x dx = x ln x − |
|
|
|
dx = x ln x − x + C. |
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|
||||||||||||||||||
Отсюда следует, что |
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||||||||
e |
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|
1 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
||||||
∫ |
| ln x| dx = − ∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ln x dx + |
|
ln x dx = −(x ln x |
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||
|
− x) 1/e |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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1/e |
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|
1/e |
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1 |
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|
|||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
e |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
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|||||
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1 |
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|
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|
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|
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|||
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|
= (1 − e) + 1 = 2 (1 − e). |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
+(x ln x − x) 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫0 |
|
|
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|
|
|
|
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||
2243. |
arccos x dx. |
|
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|
|
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|||||||||
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
1 |
|
|
|
x dx |
|
|
|
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|||
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||||||
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||||||
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|
|
|
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|
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|
|
|
|||
|
|
∫ |
arccos x dx =x arccos x 0 |
+ ∫ |
|
√ |
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
|
|
|
√ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x dx |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
√ |
1 x2 |
= − 1 |
− x2 |
0 |
= 1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2244. |
∫0 |
x arctg x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
∫0 |
x arctg x dx = ∫0 |
arctg x d ( |
) = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
117
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
arctg x 0 |
|
|
− |
2 |
∫ |
|
|
|
1 + x2 |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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2 |
− |
2 |
∫ (1 − |
1 + x2 |
)dx = |
2 |
− |
2 |
(x − arctg x) 0 |
= |
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2π |
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π |
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= |
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(√3 − |
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) = |
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2 |
2 |
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3 |
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3 |
2 |
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Применяя подходящую замену переменной, найти следующие |
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интегралы: |
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2245. |
∫ |
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√ |
x dx |
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4x |
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После замены |
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t = 5 − 4x , x = |
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(5 |
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− t |
) , dx = |
− |
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t dt |
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2 |
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получаем: |
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1 |
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∫ |
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√ |
x dx |
= − |
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∫ (5 − t2)dt = |
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5 |
− |
4x |
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− |
1 |
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3 |
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1 |
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3 |
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1 |
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t3 |
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3 |
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1 |
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= |
8 |
∫ (5 − t2)dt = |
8 |
(5t |
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− |
3 |
) 1 = |
6 |
. |
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0 |
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√ |
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2246. |
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a2 − x2 dx. |
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∫a x2 |
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Полагая x = a sin t при 0 6 t 6 π/2, получаем: |
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a |
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π/2 |
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π/2 |
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∫ |
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∫ |
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a4 |
∫ |
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x2 |
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a2 |
− x2 dx = a4 |
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sin2 t cos2 t dt = |
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sin2 2t dt = |
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4 |
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0 |
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√ |
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0 |
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0 |
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118
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a4 |
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π/2 |
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|
a4 |
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sin 4t |
|
π/2 |
πa4 |
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0 |
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= |
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8 |
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∫ (1 − cos 4t)dt = |
8 |
(t − |
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4 |
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) 0 |
= |
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16 |
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. |
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0,75 |
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|||||||
2247. |
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∫0 |
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dx |
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|
. |
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|||||||
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(x + 1)√ |
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x2 + 1 |
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Первообразная подынтегральной функции вычислена в зада- |
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че 1858: |
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∫ |
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√ |
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||||||||||
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dx |
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1 |
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1 |
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x + |
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2(1 + x2) |
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= |
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− |
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+ C. |
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(x + 1)√x2 + 1 |
−√2 ln |
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1 + x |
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Согласно формуле Ньютона – Лейбница |
имеем: |
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∫ |
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√ |
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0 |
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|
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|||||
0,75 |
|
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|
dx |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x + |
|
2(1 + x2) |
|
0,75 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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(x + 1)√x2 + 1 |
= |
−√2 ln |
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− |
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
1 1 + 5√ |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
7(1 + |
√ |
2) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
= −√ |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
ln(1 + |
|
|
2) = √ |
|
|
ln |
|
1 + 5√ |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= |
1 |
|
|
ln |
7(1 + |
|
2)(5 2 − 1) |
= |
|
1 |
|
ln |
9 + 4 |
2 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√2 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2248. |
|
∫0 |
|
√ |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
||||||||||||
|
|
ex − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||
После замены |
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = ex , x = ln t , dx = − |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 √ex − 1 dx = ∫1 |
|
|
√tt− 1 dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
119
Последний интеграл рационализируется подстановкой
√
u = t − 1 , t = u2 + 1 , dt = 2u du.
Применение этой подстановки приводит к следующему результату:
2 √ |
|
|
|
|
1 |
2du |
|
|
1 |
(1 − |
1 |
)du = |
|||
t |
|
1 |
|
|
|
||||||||||
∫1 |
|
− |
|
dt = 2 |
∫0 |
u |
= 2 |
∫0 |
|
||||||
|
t |
|
1 + u2 |
1 + u2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2(u − arctg u) 0 |
= 2 − |
2 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
∫ln 2
√ex − 1 dx = 2 − π2 .
0
2249. |
∫1 |
arcsin √ |
|
|
dx. |
|
x |
|
|||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(1 − x)
0
Выполняя последовательно замены получаем:
1 |
arcsin |
√ |
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|||||||
0 |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
|
x(1 |
|
|
x) dx = 2 |
||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
+ x2 |
|
||||
2250. |
∫ |
dx. |
|||||||||
|
1 |
+ x4 |
|||||||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
arcsin t |
|
||||
∫ |
dt = 2 |
|||||
√ |
|
|
|
|||
1 |
− |
t2 |
||||
0 |
|
|
|
|
√
t = x и u = arcsin t,
π/2 |
|
π/2 |
|
π2 |
||
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
∫ |
u du =u2 |
0 |
= |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Первообразная подынтегральной функции вычислена в зада-
че 1712: |
∫ |
1 |
+ x2 |
1 |
|
x2 |
1 |
|
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
dx = √ |
|
arctg |
x√− |
|
|
+ C. |
|
|
1 |
+ x4 |
||||||||
|
2 |
2 |
120