Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Орловский Определенный интеграл.Практикум ч.1 2010

.pdf

Скачиваний:

198

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

1.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 363 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

прогрессии. Из равенств x0 = 1, xn = 2 определяем величину q = 21/n. Таким образом,

xn = 2i/n

(0 6 i 6 n).

В силу возрастания функции f

mi = inf

f(x) = f(xi) = xi4 = 24i/n,

[xi;xi+1]

Длина отрезка [xi; xi+1]

∆xi = xi+1 − xi = 2(i+1)n − 2i/n = 2i/n (21/n − 1).

Нижняя интегральная сумма

n−1

∑

S n = i=0 mi∆xi = i=0

24i/n2i/n (21/n − 1) =

n−1

∑

(25/n) .

= (21/n − 1) i=0

По формуле суммы геометрической прогрессии

n−1

∑

i=0 (25/n) =

−

25/n − 1

следовательно,

21/n − 1

S n =

2(5/n − 1

)

Так как при n → +∞

21/n − 1

ln 2 , 25/n − 1

ln 2 ,

то

ln 2

lim

= 31

lim

n→+∞

n→+∞ n5

ln 2

2184. Исходя из определения интеграла, найти

∫T

(v0 + gt)dt ,

где v0 и g – постоянны.

Рассмотрим разбиение отрезка [0; T ] на n равных частей точками

T i

τi = n , 0 6 i 6 n.

Выберем точки разметки на левых концах отрезков разбиения:

ξi = τi .

Интегральная сумма для функции f(t) = v0 + gt равна:

n−1

T i T

∑

Sn = i=0 (v0 + gξi)(τi+1 − τi) = i=0 (v0 + g

)

gT n−1

∑i

(v0n +

i).

По формуле суммы арифметической прогрессии

n−1 i =

(n − 1)n

∑i

следовательно,

n +

gT (n − 1)n

= v T +

gT 2(n

n (

)

2n−

Согласно решению задачи 5

(v0 + gt)dt = n→+∞ (v0T +

gT 2(n

gT 2

∫0

= v0T +

2n−

)

2 .

lim

Вычислить определенные интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом:

∫2

2185. x2 dx.

−1

Разобъем отрезок интегрирования на n равных частей:

3i	, 0 6 i 6 n
xi = −1 + n

и выберем точки разметки ξi = xi (0 6 i 6 n−1). Длина каждого из отрезков разбиения

∆xi = xi+1 − xi =

Интегральная сумма

n−1

2 3

∑

(−1 +

)

Sn = i=0 ξi2∆xi = i=0

3 n−1

9i2

6 n−1

n−1

∑

i=0

1 −

)

(n −

i=0

i +

i2).

(

i=0

Для суммы натуральных чисел и суммы их квадратов имеются следующие формулы:

n−1 i =	(n − 1)n	,	n−1	i2 =	(n − 1)n(2n − 1)	.
			∑
∑i				6
2			i=0
=0

Они следуют из соотношений (2.4) и (2.5), рассмотренных перед решением задачи 2182. Применяя эти формулы, находим:

S		=	3	(	n	−	6(n − 1)n	+	9(n − 1)n(2n − 1)	=
			n				2n		6n2
	n									)

= 3

−

9(n − 1)

+ 9(n − 1)(2n − 1) .

2n2

Согласно решению задачи 5

9(n − 1)

9(n − 1)(2n − 1)

x2 dx = lim

= 3 .

2n2

∫

n→+∞

(

−

)

−1

2186.

∫1 ax dx (a > 0).

Разобьем отрезок интегрирования на n равных частей:

xi =	i	, 0 6 i 6 n
	n

и выберем точки разметки ξi = xi (0 6 i 6 n− из отрезков разбиения

				1
	∆xi = xi+1 − xi =						.
	∆xi = xi+1 − xi =				n		.
Интегральная сумма
n−1		1 n−1				1 n−1
∑i			∑					∑
Sn =	aξi ∆xi =	n		ai/n =		n
=0			i=0					i=0

1). Длина каждого

(a1/n)i .

Суммируя геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем q = a1/n, получаем

n−1		a1/n i	= a − 1 .
∑	(	)
i=0	(	)		a1/n − 1

Отсюда следует, что

a − 1

Sn = n (a1/n − 1).

Так как при n → +∞ последовательность

	a1/n − 1					ln a
								,
						n		,
то
1							(a − 1)n			a − 1
ax dx =	lim S		=		lim		(a − 1)n		=	a − 1	.
∫0	n→+∞	n		n→+∞				n ln a		ln a

В задачах 2187 и 2188 используются следующие формулы суммирования из курса тригонометрии, справедливые при α ≠ ≠ 2πn (n – целое):

sin

(k + 1)α

sin

kα

sin α + sin 2α + . . . + sin kα =

(2.7)

sin

(k + 1)α

cos

kα

1 + cos α + cos 2α + . . . + cos kα =

(2.8)

sin

Задача 10. Доказать формулу (2.7).

Задача 11. Доказать формулу (2.8).

π/2

2187.

∫ sin x dx.

Разобьем отрезок интегрирования на n равных частей:

xi =	πi	, 0	6 i 6 n
	2n

и выберем точки разметки ξi = xi (0 6 i 6 n−1). Длина каждого из отрезков разбиения

∆xi = xi+1 − xi = 2n .

Интегральная сумма

n−1

πi

Sn =

(sin ξi)∆xi =

sin

i=0

∑i

∑

Применяя формулу (2.7) с α = π/(2n) и k = n − 1, получаем:

−

sin

(n − 1)π

sin

(n − 1)π

πi

sin

√

sin

∑i

Следовательно,

(n − 1)π

π sin

Sn =

2√

n sin

Так как

(n − 1)π

lim

sin

= sin

n→+∞

√2

sin

(n → +∞) ,

то

π/2

∫

lim

= 1.

sin x dx = n→+∞

n→+∞ 2√2 n·

√2

2188.

∫0x cos t dt.

Разобъем отрезок [0; x] на n равных частей точками

xi =

0 6 i 6 n

и выберем точки разметки ξi = xi (0 6 i 6 n−1). Длина каждого из отрезков разбиения

x ∆xi = xi+1 − xi = n .

Интегральная сумма
n−1	x n−1		xi
∑i		∑
Sn = (cos ξi)∆xi =		cos		.	(2.9)
=0	n		n
=0		i=0

Применяя формулу (2.8) с α = x/n и k = n − 1, получаем (при достаточно большой величине n значение α мало и не может быть кратно 2π, следовательно формула (2.8) применима):

n 1

sin

cos

(n − 1)x

2n .

cos xi

−

sin

∑i

Так как

(n − 1)x

lim cos

= cos

n→+∞

sin

(n → +∞) ,

то из (2.9) находим

∫x

cos t dt =

∫b

2189.

sin

cos

(n − 1)x

lim

Sn = lim

· x

n→+∞

= 2 sin

cos

= sin x.

(0 < a < b).

Пусть x0 , x1 , . . . , xn – произвольное разбиение отрезка [a; b]. Выберем точки разметки

ξi = √xixi+1 (0 6 i 6 n − 1).

Интегральная сумма

n−1

∑i

∑

Sn =

ξi2

(xi+1 − xi) =

xixi+1

(xi+1 − xi) =

i=0

n−1

1 1

∑

(

) =

(

) + (

= i=0

−

xi+1

−

()

+1 − 1 x2 x3

Следовательно

∫b

dx x2 =

∫b

2190. xm dx

+ . . . + (			1	−		1
		xn−1			xn
lim S	n	=	lim			(
n→+∞			n→+∞


)	1				1				1				1
	=				−				=				−		.
			x0			xn						a		b
1	1			)	1				1
	−				=			−			.
a		b					a			b

(0 < a < b ; m ≠ −1).

Рассмотрим разбиение отрезка [a; b] точками, образующими геометрическую прогрессию

xi = aqi , 0 6 i 6 n.

√

Из условий x0 = a, xn = b находим q = n b/a . Выберем точки разметки ξi = xi (0 6 i 6 n − 1). Длина каждого из отрезков разбиения

∆xi = xi+1 − xi = aqi+1 − aqi = aqi(q − 1) .

Интегральная сумма

n−1	n−1	( )
∑	∑i	( )	m aqi(q − 1) =
Sn = ξim ∆xi =		aqi	m aqi(q − 1) =
i=0	=0

= am+1(q − 1) n∑−1 (qm+1)i .

i=0

Так как a < b и m ≠ −1, то величина q ≠ 1. По формуле суммы геометрической прогрессии

n∑−1 (qm+1)i = q(m+1)n − 1 ,

qm+1 − 1

i=0

следовательно,

q(m+1)n − 1

Sn = am+1(q − 1) qm+1 − 1 .

√

Подставляя в эту формулу значение q = n b/a, находим:

m+1

1/n

(

)

− 1

m+1

Sn = a

[(

)

− 1]

(m+1)/n

(

)

− 1

1/n

= (b

)

(

)

− 1

m+1

− a

m+1

(m+1)/n

(

)

−

Так как при n → +∞

1/n

1 b

(m+1)/n

+ 1

(

)

− 1

(

)

− 1

то

n1 ln ab

bm+1 − am+1

xm dx =

bm+1

am+1

lim

(

−

)

m + 1

∫

n→+∞ mn+1 ln ab

	∫	b
2191.		dx	(0 < a < b).
		x

Рассмотрим разбиение отрезка [a; b] точками, образующими геометрическую прогрессию

xi = aqi , 0 6 i 6 n.

√

Из условий x0 = a, xn = b находим q = n b/a . Точки разметки выберем на левых концах отрезков разбиения:

ξi = xi (0 6 i 6 n − 1).

Длина каждого из отрезков разбиения

∆xi = xi+1 − xi = aqi+1 − aqi = aqi(q − 1) .

Интегральная сумма

S = n−1

∆x = n−1

aqi(q − 1)

= (q 1) n−1

1 =

∑i

∑

aqi

−

∑

=0 ξi

i=0

= n(q − 1) = n ((

1/n

− 1).

)

Так как при n → +∞

(

)

1/n

− 1

то

∫a

(0 < a < b) =

lim

= ln a.

n→+∞ Sn = n→+∞ n (n ln a)

2192. Вычислить интеграл Пуассона

∫π ln

1 − 2α cos x + α2

(

)

<<< < Предыдущая 1 23 / 363 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.20132.03 Mб117Никитин Шемотехника интегралных шем ТТЛ, ТТЛШ и КМОП 2010.pdf
#
16.08.20131.14 Mб50Никифоров Взаимосвяз открытых систем 2010.pdf
#
16.08.2013645.64 Кб30Нормы радиационной безопасности (НРБ-99) 1999.pdf
#
16.08.201332.3 Mб118Нурушев Введение в поляризационную 2007.pdf
#
16.08.20137.05 Mб199Оганесян Введение в физику тяжелых ионов 2008.pdf
#
16.08.20131.33 Mб198Орловский Определенный интеграл.Практикум ч.1 2010.pdf
#
16.08.20133.08 Mб745Орловский Определенный интеграл.Практикум Част 2 2010.pdf
#
16.08.20133.05 Mб58Ошурко Химическое и биологическое действие 2008.pdf
#
16.08.20138.03 Mб64Ушаков Метод. рекомендации к вып. работ по курсу Биофизический практикум 2002.doc
#
16.08.2013758.71 Кб83Федоров Высокотемпературная сверхпроводимост.Тлеюсчий разряд 2010.pdf
#
16.08.20132.72 Mб278Федоров Лабораторный практикум 2008.pdf