Орловский Определенный интеграл.Практикум ч.1 2010

φ(x) = f(x) −

A

x.

T

Достаточно доказать, что эта функция T -периодична. В самом

деле,

φ(x + T ) − φ(x) = (f(x + T )

−

A

(x + T ))−

T

x+2π

x

F (x + 2π) − F (x) =

∫

sinn t dt −

∫

sinn t dt =

0

0

=

sinn t dt = sinn t dt.

(3.15)

G(x + 2π) − G(x) =

cosn t dt − cosn t dt =

=

cosn t dt =

cosn t dt.

(3.16)

2π

2π

∫0

sinn t dt = − ∫0

sin2k t d(cos t) =

2π

1

= − ∫0

(1 − cos2 t)k d(cos t) = −

∫1

(1 − u)k du = 0.

2π

0

= ∫0

(1 − sin2 t)k d(sin t) =

∫0

(1 − v)k dv = 0.

2π

2π

A1 = ∫0

sinn t dt ,

A2 = ∫0

cosn t dt.

x+T

x

x+T

T

F (x + T ) − F (x) = ∫

f(t) dt −∫ f(t) dt =

∫

f(t) dt =

∫ f(t) dt.

x0

x0

x

0

Вычислить интегралы:

2268.

∫01 x(2 − x2)12dx.

Делая замену t = 2 − x2, получаем

1

1

1

2

∫0

1

∫2

∫1

x(2 − x2)12dx = −

t12dt =

t12dt =

2

2

t13

2

8191

1

1

= 26

=

26

= 315 26 .

1

∫

x dx

2269.

.

x2 + x + 1

−1

e

e

x3

1

e

2

e

∫(x ln x)2dx =∫ ln2 x d (

3

) =

3

x3 ln2 x 1

−

3

∫ x2 ln x dx =

1

e

1

1

e

e3

2

1

x3

3

2

1

e

1

x3 ln x 1

1

∫ x2dx

=

−

∫

ln x d (

)

=

e

−

−

=

3

3

3

3

3

3

3

e

(

3

2

2 x3

e3

2

)

5

2

9

= 9

+ 27 e3 − 1 = 27 e3 − 27 .

= e3 −

9 e3 + 9 ( 3 ) 1

2271.

∫1

x√3

dx.

1 − x

После замены

t = √3

, x = 1 − t3 , dx = −3t2dt

1 − x

получаем

9

−2

0

∫ x√3

dx = −3 ∫

(1 − t3)t3dt = 3 ∫ (t3 − t6)dt =

1 − x

1

0

−2

0

468

6

t4

7

−

t

= 3 (

4

−

7

)

2 = −

7

= −66

7

.

−1

2272.

∫

x√

dx

.

x2 − 1

−2

Выполним замену переменной t = 1/x. Учитывая, что при

x < 0 величина

√

= |x| = −x, получаем

x2

−1

−1

dt

−

1

π

π

π

dx

∫

−

−

= −

2 + 6 = − 3 .

x√x2

1

√1 t2

1/2

∫

=

= arcsin t

−

−

2

1/2

−

∫1 x15

2273.

1 + 3x8 dx.

0

√

Выполняем замену переменной

t = √

, x8 =

t2 − 1

, 8x7 dx =

2

t dt , x7dx =

t dt

,

1 + 3x8

3

3

12

x15dx = (x8)x7dx =

t2 − 1

t dt

=

(t2 − 1)t dt

.

(

3

) 12

36

Получаем

1

√

2

2

0

1

∫

1

∫ (t2

1

t5

3

29

x15

1 + 3x8 dx =

36

− 1)t2dt =

36

( 5

− t3 ) 1=

270 .

3

2274.

∫0

arcsin √

x

dx.

1 + x

Интегрируя по частям, получаем

3

3

0

x

x

∫ arcsin √

1 + x

dx = x arcsin √

1 + x

0

−

1

3 √

dx

1

3 √

dx

x

x

−

∫0

= π −

∫0

.

2

1 + x

2

1 + x

3 √

√

√

)dt =

dx

3

t2dt

3

1

x

∫0

= 2 ∫0

= 2

∫0

(1 −

1 + x

1 + t2

1 + t2

√

3

=2(t − arctg t) 0

= 2

(√3 − 3 ).

π

Окончательно получаем

3

(

)

0

∫ arcsin √

1 + x dx = π − 2 · 2

√3 −

3

=

3 − √3.

2π

x

1

π

4π

2275.

∫

dx

.

(2 + cos x)(3 + cos x)