Орловский Определенный интеграл.Практикум ч.1 2010

Так как она разрывна при x = 0, то определенный интеграл необходимо разбить на два:

а). Из формулы замены находим x = ±t3/2 и формальная (точнее, необдуманная) замена (при любом выборе знака) дает

в то время как прямое вычисление приводит к другому результату:

Надуманность этого примера очевидна. Необходимым условием любой замены является вычисление новых пределов интегрирования. Выполнение этого действия сразу ставит все на свои места. При выборе формулы x = t3/2 нельзя найти такое значение

121

переменной t, которое бы дало величину x = −1. Аналогично, при выборе формулы замены x = −t3/2 нет такого значения переменной t, которое бы дало величину x = 1. На промежутке x [−1; 0] необходимо выбирать x = −t3/2, а на отрезке x [0; 1] величина x = t3/2. Поэтому правильный подход состоит в том, чтобы интеграл разбить на два:

∫1 ∫0 ∫1

В первом интеграле величина x неположительна и нужно сделать замену x = −t3/2:

Во втором интеграле значения x неотрицательны и поэтому x =

= t3/2:

00

Таким образом,

∫1

dx = 1 + 1 = 2.

−1

б). Непосредственное вычисление дает

Формальная замена дает другой результат:

122

Обратная замена дается формулой t = 1/x. Эта функция разрывна при x = 0, лежащей внутри отрезка интегрирования, поэтому формула замены переменной неприменима к данному случаю. Тем не менее указанную замену можно осуществить, если разбить исходный интеграл на два:

и в каждом из полученных интегралов, воспользоваться заменой x = 1/t, сводя интегралы к несобственным:

в). Выполняя формально указанную замену

123

приходим к следующему результату:

Однако функция t = tg x разрывна в точке x = π/2, лежащей внутри отрезка интегрирования, и формальное примение формулы замены переменной неправомочно. Полученный ответ, как мы сейчас увидим, неверен. Для корректного примения формулы замены, исходный интеграл нужно разбить на два:

и в каждом из полученных интегралов сделать замену t = tg x, сводя эти интегралы к несобственным:

= sin t?

124

Нельзя, так как в интеграле величина x меняется в пределах от 0 до 3, а все значения функции x = sin t не превосходят 1.

2253. Можно ли в интеграле

∫1 √

1 − x2 dx

0

при замене переменной x = sin t в качестве новых пределов взять числа π и π/2?

Функция x = sin t непрерывно дифференцируема и обратима на отрезке [π/2; π]. При этом x(π) = 0 и x(π/2) = 1, следовательно, такая замена допустима.

2254. Доказать, что если f(x) непрерывна на [a; b], то

∫b ∫1

f(x) dx = (b − a) f(a + (b − a)x)dx.

a 0

Делая замену переменной x = a + (b − a)t, получаем:

∫b ∫1

f(x) dx = (b − a) f(a + (b − a)t)dt.

a 0

Заменяя в последнем интеграле букву t на букву x, получаем утверждение задачи.

2255. Доказать равенство

Выполняя замену переменной x2 = t и учитывая, что a > 0, получаем

125

Заменяя в последнем интеграле букву t на букву x, получаем утверждение задачи.

2256. Пусть f(x) – непрерывная функция на сегменте [A;B][a; b]. Найти

d ∫b

dx

f(x + y)dy

a

при [a + x; b + x] [A; B].

Сделаем замену переменной t = x + y, получим

aa+x

Дифференцируя полученное равенство по формуле (3.8), находим

2257. Доказать, что если f(x) непрерывна на [0; 1], то

126

Заменяя в последнем интеграле букву t на букву x, получаем требуемое утверждение задачи.

б). Делая замену x = π − t, получим

2258. Доказать, что для непрерывной на [−l; l] функции f(x)

имеем:

∫l ∫l

1) f(x) dx = 2 f(x),

−l 0

если функция f(x) четная, и

∫l

2)f(x) dx = 0,

−l

если функция f(x) нечетная. Дать геометрическую интерпретацию этих фактов.

127

В первом интеграле делаем замену t = −x. Используя четность подынтегральной функции, получаем

В первом интеграле делаем замену t = −x. Используя нечетность подынтегральной функции, получаем

128

Приведем геометрическую интерпретацию результатов. Рассмотрим случай четной неотрицательной функции f, ее график симметричен относительно оси ординат. Величина

∫0

S1 = f(x) dx

−l

равна площади под графиком функции на отрезке [−l; 0], а ве-

личина

∫l

S2 = f(x) dx

0

равна площади под графиком функции на отрезке [0; l]. В силу симметрии графика функции S1 = S2. Величина

∫l

S = f(x) dx

−l

равна площади под графиком функции на отрезке [−l; l], т. е.

Рис. 3.20

В случае нечетной функции f ее график симметричен относительно начала координат (рис. 3.21).

129

Рис. 3.21

Пусть функция f неотрицательна на отрезке [0; l], тогда на отрезке [−l; 0] она неположительна и интеграл

∫0

f(x) dx = −S1,

−l

где S1 – площадь фигуры, заключеной между графиком функции на отрезке [−l; 0] и осью абсцисс. Площадь фигуры, заключеной между графиком функции на отрезке [0; l] и осью абсцисс

∫l

S2 = f(x) dx.

0

В силу симметрии графика функции относительно начала координат S1 = S2. Следовательно, интеграл от f по всему отрезку

∫l

f(x) dx = −S1 + S2 = 0.

−l

130