Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Орловский Определенный интеграл.Практикум ч.1 2010

.pdf

Скачиваний:

230

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3620 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

следовательно,

∫03 sgn(x − x3) dx = ∫01 dx − ∫13 dx = 1 − 2 = −1.

2310.

∫02

[ex] dx.

Нетрудно видеть, что подынтегральная функция

0 6 x < ln 2,

2, ln 2 6 x < ln 3,

3, ln 3 6 x < ln 4,

[e ] =

4, ln 4 x < ln 5,

ln 5

x < ln 6,

6, ln 6 6 x < ln 7,

ln 7 6 x 6 2.

Отсюда получаем:

ln 2

ln 4

ln 5

ln 6

∫ [ex] dx =

∫

dx + 2 ∫

dx + 3 ∫

dx + 4 ∫ dx + 5 ∫ dx+

ln 2

ln 3

ln 4

ln 5

ln 7

∫

dx + 7

∫

dx = ln 2 + 2(ln 3 − ln 2) + 3(ln 4 − ln 3)+

ln 6

ln 7

+4(ln 5 − ln 4) + 5(ln 6 − ln 5) + 6(ln 7 − ln 6) + 7(2 − ln 7) =

= ln 2 + ln (

)

+ ln (

)

+ ln (

)

+ ln

(

)

e14

+ ln (

)

+ ln (

)

= ln

= 14 − ln 7! .

191

					6
	2311.			∫0		[x] sin					πx				dx.

											6
	Подынтегральная функция
																											0πx,							0 6 x < 1,
																													6


																													πx
																													πx

																									sin					,				1 6 x < 2,
																																				6
																													πx
																													πx
															6
															6
																									2 sin				6		,		2					x < 3,
														πx															6
														πx															6
								[x] sin									=																			6
								[x] sin									=

																									3 sin						,			3 6 x < 4,
																													6
																													6

																													πx
																													πx
																													πx
																									4 sin						,		4			6		x < 5,
																																				6
																													6
																													6




																									5 sin						,		5					x < 6,
	следовательно,
6											2																		3															4
∫0	[x] sin			πx			dx =					∫1			sin			πx					dx + 2						∫2		sin				πx			dx + 3						∫3			sin		πx		dx+

					6													6																		6													6
	5					πx									6						πx									6							πx				2	12							πx			3
	4					πx					5										πx									6							πx				2	12							πx			3

+4∫ sin						6		dx + 5∫ sin													6				dx =−					π		cos					6		1−				π			cos			6	2			−

	18					πx			4 24										πx						5 30								πx				6					6				1			√3
																																											(								)−
−			cos						3−						cos										4−				cos								5= −											−
−		π	cos			6			3−		π				cos					6					4−	π			cos				6				5= −					π				2		−	2
											12									1					18								1
										−					(0			−						) −						(−						− 0)−
										−		π			(0			−				2		) −				π		(−				2		− 0)−
							24						√							1					30												√							30
							24						√							1					30												√		3					30
						−				(−			3			+						) −							(−1 +											)		=						.
						−	π			(−			2			+					2	) −					π		(−1 +								2			)		=			π			.

∫π

2312. x sgn(cos x) dx.

192

π/2

∫π x sgn(cos x) dx = ∫

x sgn(cos x) dx + ∫π x sgn(cos x) dx =

π/2

x2 π

π2

π2 π2

π2

=∫ x dx −

∫ x dx =

−

π/2=

− (

−

) = −

π/2

n∫+1

2313. ln[x] dx, где n – натуральное число.

Согласно свойству аддитивности определенного интеграла

n+1

k+1

∑ k

∑

∫

ln[x] dx = k=1

∫

ln[x] dx = k=1 (ln k)∫

dx = k=1 ln k =

= ln 1 + ln 2 + . . . + ln n = ln(1 · 2 · . . . · n) = ln n!.

2314.

∫01 sgn [sin(ln x)] dx.

+∞

e k

∫

sgn [sin(ln x)] dx = k=0

∫(k+1)

(−1)k−1 dx =

∑e

+∞

(e−πk − e−π(k+1))

(

+∞

)

∑

)∑(

k .

= k=0(−1)k−1

= − 1 − e−π

k=0

−e−π

Суммируя геометрическую прогрессию, находим

+∞

)

∑(

−e−π

1 + e−π

k=0

193

Таким образом,

1 − e−π

eπ/2 − e−π/2

sgn [sin(ln x)] dx =

−eπ/2 + e−π/2

∫0

−

1 + e−π

−

2315. Найти

∫

| cos x|√

dx,

sin x

где E – множество тех значений сегмента [0; 4π], для которых подынтегральное выражение имеет смысл.

Так как E = [0; π] [2π; 3π], то

3π

∫

| cos x|√

dx =∫

| cos x|√

dx +∫ | cos x|√

dx =

sin x

2π

π/2

= ∫ cos x√

dx −

∫πcos x√

dx+

sin x

π/2

5π/2

∫ cos x√

dx − ∫3πcos x√

dx.

sin x

2π

5π/2

Неопределенный интеграл вычисляется с помощью замены

t= sin x:

∫cos x√sin x dx = ∫ √t dt = 23 t3/2 + C = 23 sin3/2 x + C.

По формуле Ньютона – Лейбница

π/2

∫

| cos x|√sin x dx = 3 sin3/2 x 0

− 3 sin3/2 x π/2

5π/2

3π

sin3/2 x 2π

−

sin3/2 x 5π/2

194

Глава 4

Теоремы о среднем

Средним значением функции f на отрезке [a; b] называется величина

	1	∫a	b
M[f] =			f(x) dx.

	b − a

Среднее значение любой интегрируемой функции всегда лежит между ее точной нижней гранью и точной верхней гранью. В общепринятых курсах анализа показывается, что для непрерывной функции среднее значение является одним из ее значений: M[f] = f(ξ), где ξ [a; b]. Однако положение точки ξ можно уточнить.

Задача 14. Доказать, что если функция f C[a; b], то существует такая точка ξ (a, b), что

M[f] = f(ξ).

На практике часто встречается необходимость оценить знак или величину интеграла от произведения двух функций. В учебных курсах обычно приводятся две теоремы о такого рода оценках, которые называются традиционно первой и второй теоремами о средних значениях.

195

Первая теорема о среднем утверждает, что
∫ab f(x)g(x) dx = µ ∫ab g(x) dx,		(4.1)
где	f(x) 6 µ 6 sup f(x).
inf	f(x) 6 µ 6 sup f(x).
a6x6b	x [a;b]

Для справедливости соотношения (4.1) достаточно, чтобы функции f и g были интегрируемы на [a; b], а функция g, дополнительно, либо неотрицательной, либо неположительной на [a; b]. Если функция f непрерывна на отрезке [a; b], то число µ является одним из ее значений.

Вторая теорема о среднем обобщает две формулы Бонне. Если функции f и g интегрируемы на [a; b], а g монотонно неубывает и неотрицательна на [a; b], то существует такая точка ξ [a; b],

что

∫b ∫ξ

f(x)g(x) dx = g(a)	f(x) dx.	(4.2)
a	a

В том случае, когда f и g интегрируемы на [a; b], а g монотонно невозрастает и неотрицательна на [a; b], то применима другая

формула:

∫b ∫b

f(x)g(x) dx = g(b)	f(x) dx.	(4.3)
a	ξ

От условия неотрицательности функции g можно отказаться, тогда формулы (4.2) и (4.3) нужно видоизменить. Если функции f и g интегрируемы на [a; b], а функция g монотонна на [a; b], то существует такая точка ξ [a; b], что

∫b	f(x)g(x) dx = g(a) ∫ξ	f(x) dx + g(b) ∫b f(x) dx.	(4.4)
a	a	ξ

196

Формула (4.4) носит название второй теоремы о среднем. Относительно этой формулы можно сделать следующее замечание. Если изменить значения функции g в точках x = a и x = b, взяв вместо них произвольные числа A и B, удовлетворяющие условиям

A > g(a + 0),	B 6 g(b − 0),	если g убывает,
A 6 g(a + 0),	B > g(b − 0),	если g возрастает,

то значение интеграла не изменится, а функция g останется монотонной. Поэтому справедлива несколько более общая формула

∫b ∫ξ ∫b

f(x)g(x) dx = A f(x) dx + B f(x) dx

a a ξ

(значение ξ зависит, разумеется, от выбора чисел A и B). Эту формулу часто записывают только для предельного случая

∫b	f(x)g(x) dx = g(a + 0)	∫ξ	f(x) dx + g(b − 0)	∫b f(x) dx. (4.5)
a		a		ξ

Так как в формулу (4.5) входят только предельные значения g(a + 0) и g(b − 0), то достаточно чтобы функция g была монотонна только в интервале (a; b).

В некоторых примерах можно пользоваться более простыми свойствами интеграла. Приведем их в виде задач.

Задача 15. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b], неотрицательна и не тождественно равна нулю. Тогда

∫b

f(x) dx > 0.

197

Задача 16. Пусть функции f, g C[a; b], при всех x [a; b] выполнено неравенство f(x) > g(x) и функции f не совпадает с g хотя бы в одной точке. Тогда

∫b ∫b

f(x) dx > g(x) dx.

Переходим к задачам.

2316. Определить знаки следующих интегралов:

2π

а)

∫0

x sin x dx;

б)

∫0

sin x

dx;

в)

∫2 x32x dx;

г)

∫1

x2 ln x dx.

−2

1/2

а). Определить знак интеграла проще всего вычислив его зна-

чение. Интегрируя по частям, получаем

2π

∫0

x sin x dx = − ∫0

x d(cos x) =

2π

= −2π < 0.

= − x cos x 0

+ ∫0

2πcos x dx = −2π + sin x 0

интеграл на два

б). Разобьем

2π

sin x

2π

sin x

I = ∫0

∫0

dx + ∫π

dx =

и во втором интеграле сделаем замену y = x − π:

sin y

I = ∫

sin x

− ∫

dy =

π + y

198

π	sin x	π	sin x		π	sin x
= ∫0		dx − ∫0			∫0
				dx = π			dx.
	x		π + x			x(π + x)

В полученном интеграле подынтегральная функция непрерывна, неотрицательна и не равна тождественно нулю, следовательно, этот интеграл положителен. Таким образом,

2π	sin x
∫0		dx > 0.

	x
в). Разобьем интеграл на два
I = ∫2 x32x dx = ∫0 x32x dx + ∫2 x32x dx
−2	−2	0

и в первом интеграле сделаем замену y = −x:

∫2 ∫2

I =	−	y3	2−y dy + x32x dx =
	−

=− ∫2 x32−x dx + ∫2 x32x dx = ∫2 x3 (2x − 2−x) dx.

∫2

x32x dx > 0.

−2

г). В интеграле стоит непрерывная, неположительная и не равная тождественно нулю функция, следовательно, этот инте-

199

грал отрицателен:			∫1
				x2 ln x dx < 0.
			1/2
2317. Какой интеграл больше:
π/2			π/2
a) ∫0	sin10 x dx или		∫0	sin2 x dx?
б) ∫01 e−x dx или		∫01 e−x2 dx?
π				2π
в) ∫0	e−x2 cos2 x dx или			∫π	e−x2 cos2 x dx?

а). Функции f(x) = sin10 x и g(x) = sin2 x непрерывны на отрезке [0; π/2], всюду на этом отрезке f(x) 6 g(x) и f(x) ̸≡g(x), следовательно, интеграл от f(x) меньше, чем интеграл от g(x), т. е.

π/2		π/2
∫0	sin10 x dx <	∫0	sin2 x dx.

б). Функции f(x) = e−x и g(x) = e−x2 непрерывны на отрезке [0; 1], всюду на этом отрезке f(x) 6 g(x) и f(x) ̸≡g(x), следовательно, интеграл от f(x) меньше, чем интеграл от g(x),

т. е.

∫1 ∫1

e−x dx < e−x2 dx.

в). Пусть

π		2π
I1 = ∫0	e−x2 cos2 x dx ,	I2 = ∫π	e−x2 cos2 x dx.

200

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3620 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.20132 Мб134Никитин Шемотехника интегралных шем ТТЛ, ТТЛШ и КМОП 2010.pdf
#
16.08.20131 Мб65Никифоров Взаимосвяз открытых систем 2010.pdf
#
16.08.2013646 Кб33Нормы радиационной безопасности (НРБ-99) 1999.pdf
#
16.08.201332 Мб132Нурушев Введение в поляризационную 2007.pdf
#
16.08.20137 Мб218Оганесян Введение в физику тяжелых ионов 2008.pdf
#
16.08.20131 Мб230Орловский Определенный интеграл.Практикум ч.1 2010.pdf
#
16.08.20133 Мб813Орловский Определенный интеграл.Практикум Част 2 2010.pdf
#
16.08.20133 Мб63Ошурко Химическое и биологическое действие 2008.pdf
#
16.08.20138 Мб68Ушаков Метод. рекомендации к вып. работ по курсу Биофизический практикум 2002.doc
#
16.08.2013759 Кб90Федоров Высокотемпературная сверхпроводимост.Тлеюсчий разряд 2010.pdf
#
16.08.20133 Мб343Федоров Лабораторный практикум 2008.pdf