Орловский Определенный интеграл.Практикум ч.1 2010

т. е.

Переходя здесь к пределу при ε → 0, получаем, что

где ξ находится между точками aε и bε и, поэтому

lim ξ = 0.

ε→0

В силу непрерывности функции f(x)

2327. Пусть f(x) непрерывна на [a; b] и φ(x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b), причем

φ′(x) > 0 при a < x < b.

Доказать вторую теорему о среднем, применяя интегрирование по частям и используя первую теорему о среднем.

Положим

∫x

F (x) = f(t) dt,

a

211

В силу свойств интеграла с переменным верхним пределом, функция F (x) непрервыно дифференцируема и F ′(x) = f(x), следо-

вательно,

∫b ∫b

I = f(x)φ(x) dx = φ(x) dF (x).

a a

Интегрируя по частям, получаем:

Функция F (x) непрерывна (более того, непрерывно дифференцируема), а функция φ′(x) 6 0 и интегрируема, следовательно, применима первая теорема о среднем:

a

(ξ [a; b]). Подставляя (4.7) в (4.6), получаем:

∫b ∫b ∫ξ

f(x)φ(x) dx = φ(b) f(x) dx − [φ(b) − φ(a)] f(x) dx =

a a a

212

Полученная формула и представлет вторую теорему о среднем. Замечание. В условии задачи пропущено условие интегрируемости функции φ′(x). Это условие существенно в том доказательстве, которое требуется провести согласно условию задачи.

Пользуясь второй теоремой о среднем, оценить интегралы:

213

следовательно,

214

∫b e−αx

2329. sin x dx (α > 0; 0 < a < b). x

a

Функция φ(x) = e−αx/x монотонно убывает. Применяя вторую теорему о среднем, получаем

√

В полученном интеграле функция φ(t) = 1/ t убывает. Применяя вторую теорему о среднем, получаем

215

2331. Пусть функции φ(x) и ψ(x) интегрируемы на промежутке [a; b] вместе со своими квадратами. Доказать неравенство Коши – Буняковского:

φ(x)ψ(x) dx 6 φ2(x) dx ψ2(x) dx. (4.8)

Рассмотрим неотрицательную функцию переменной t:

∫b

f(t) = (tφ(x) + ψ(x))2 dx =

a

а) A ≠ 0. В этом случае функция f(t) = At2 + Bt + C представляет собой квадратный трехчлен, который неотрицателен на

216

всей числовой прямой. Это может быть только в том случае, когда его дискриминант

что равносильно неравенству (4.8).

б) A = 0. В этом случае неотрицательна на всей числовой прямой функция f(t) = Bt + C. Это возможно тогда и только тогда, когда B = 0 и C > 0. Неравенство (4.8) в этом случае принимает вид

02 6 0 · C

и, очевидно, выполнено.

2332. Пусть функция f(x) непрерывно дифференцируема на сегменте [a; b] и f(a) = 0.

Доказать неравенство

∫b

M2 6 (b − a) f′2(x) dx,

a

где

M = sup |f(x)|.

a6x6b

Так как f(a) = 0, то

∫x

f(x) = f′(t) dt.

a

217

Применяя к интегралу, стоящему в правой части последнего равенства неравенство Коши – Буняковского (см. задачу 2331), получаем:

что доказывает утверждение задачи. 2333. Доказать равенство

n∫+p

lim sin x dx = 0 (p > 0).

n→+∞ x n

Применяя вторую теорему о среднем (с учетом убывания функции φ(x) = 1/x), получаем:

218

Из этого равенства получаем, что при любом p > 0

219

Глава 5

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы представляют обобщение понятия интеграла на случай неограниченного промежутка интегрирования или неограниченной подынтегральной функции. Для удобства дальнейших формулировок введем понятие локально интегрируемой функции. Пусть X – некоторое подмножество вещественнной прямой. Функцию f, определенную на X, будем называть локально интегрируемой на X, если эта функция интегрируема на любом отрезке, содержащимся в X.

Рассмотрим сначала простейшие несобственные интегралы по промежуткам [a; +∞), [a; b), (−∞; b] и (a; b].

Пусть функция f определена и локально интегрируема на промежутке X = [a; +∞), тогда несобственным интегралом по промежутку X называют величину

Если предел в правой части равенства (5.1) существует, то интеграл называют сходящимся, в противном случае его называют расходящимся. Если функции f непрерывна, а F – первообразная этой функции на промежутке X, то несобственный интеграл

220