Орловский Определенный интеграл.Практикум ч.1 2010

=

1

(

ch 4x + 1

− 2 ch 2x + 1) =

3

1

ch 2x +

1

ch 4x,

−

4

2

8

2

8

то

ln 2

ln 2

3

1

1

∫ sh4 x dx = ∫ (

−

ch 2x +

ch 4x) dx =

8

2

8

3

1

1

ln 2

3

225

= (

8

x −

4

sh 2x +

32

sh 4x) 0

=

8

ln 2 −

1024

.

In =

·

, n = 2k;

k)!!

2

(2(2k)!!

, n = 2k + 1.

(2k + 1)!!

π/2

2282. In = ∫

cosn x dx.

cosn

1

π/2

−

x 0

= 0,

sin x n

то

I

n − 1

I

(n

2).

n

n

−

2

>

(3.18)

n

Далее вычисляем:

π/2

I0 = ∫0

dx =

π

,

2

π/2

π/2

0

I1 = ∫

cos x dx = sin x 0

= 1

и из рекуррентного соотношения (3.18)

находим:

(2k − 1)!!

π ,

n = 2k;

I

=

·

2

n

(2k)!!

, n = 2k + 1.

(2k + 1)!!

π/4

2283. In = ∫0

tg2n x dx.

После преобразований получаем

π/4

π/4

In = ∫0

tg2n x dx = ∫0

tg2n−2 x · tg2 x dx =

π/4

= ∫0

tg2n−2 x (

1

− 1) dx =

cos2 x

π/4

π/4

= ∫0

tg2n−2 x

dx

− ∫0

tg2n−2 x dx.

cos2 x

Полагая t = tg x, находим

π/4

1

∫

2n

1

1

= 2n

1

1 .

1

0

0

0

−

−

Следовательно,

1

In =

− In−1.

(3.19)

2n

−

1

Так как

π/4

I0 = ∫0

dx =

π

,

4

n

−

[4 −

(

−

3

· · ·

2n − 1 )]

I = ( 1)n

π

1

1

+

+

(−1)n−1

.

2284. In = ∫01

(1 − x2)n dx.

1

1

0

1

)

0

(

= ∫ (1 − x2)n−1x2 dx = In−1 +

2n

∫ x d (1 − x2)n = In−1

+

1

1

1

1

1

0

+

2n

x(1

− x2)n 0

−

2n

∫ (1 − x2)n dx = In−1 −

2n

In.

I =

2n

I

.

(3.20)

2n + 1

n−1

n

=

[(2 · 1)(2 · 2)(2 · 3) · . . . · (2 · n)]2

=

22n(n!)2

.

2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · . . . · (2n) · (2n + 1)

(2n + 1)!

π/2

In = ∫0

sinn t dt.

(2k − 1)!!

π ,

n = 2k;

I

=

(2k)!! ·

2

n

(2k)!!

, n = 2k + 1.

(2k + 1)!!

xm(ln x)n dx.

1

xm+1

xm+1

1

0

In = ∫ (ln x)n d (

m + 1

) =

m + 1

(ln x)n 0

−

1

n

n

−

∫0

xm(ln x)n−1 dx = −

In−1

,

m + 1

m + 1

In = −

n

(3.21)

In−1.

m + 1

1

xm+1

1

1

0

I0 = ∫

xmdx =

m + 1

0 =

m + 1

,

то из (3.21) получаем

In =

(−1)nn!

I0

=

(−1)nn!

.

(m + 1)n

(m + 1)n+1

π/4

2n+1

I

=

sin x − cos x

dx

2287.

n

∫0

(sin x + cos x)

.

Воспользовавшись известными из курса тригонометрии ра-

венствами:

sin x − cos x = √2 sin

(x − 4 ),

π

π

sin x + cos x = √2 cos (x −

),

получаем, что

4

π/4

(

)]

0 [

π

2n+1

In = ∫

tg

x −

4

dx.

π/4

π/4

1

In = − ∫0

tg2n−1 t · tg2 t dt = − ∫0

tg2n−1 t (

− 1) dt =

cos2 t

π/4

π/4

1

= − ∫0

tg2n−1 t

dt

+

∫0

tg2n−1 t dt = − ∫0

u2n−1du − In−1 =

cos2 t

u2n

1

1

= −

2n

0 − In−1

= −

2n

− In−1.

√

1/√

π/4

π/4

1/ 2

v

2

= − ln

√2.

I0 = −∫

tg t dt = −∫

cos t dt = ∫

= ln |v| 1

0

0

1

In = (−1)n

[− ln

√2 + 2 (1 −

2 + . . . +

1

(

1)n

2π

{

0,

если m ̸= n,

einxe−imxdx =

∫0

2π,

если m = n

2π

2π

2π

∫0

einxe−imxdx = ∫0

cos(n − m)x dx + i ∫0

sin(n − m)x dx.

sin(n

m)x

2π

2π

−

, m ̸= n,

∫

−

−

cos(n

m)x dx =

2π

=

, m = n

0

x

0

=

̸

0,

m = n,

{

2π,

m = n.

cos(n

m)x

2π

2π

−

−

, m ̸= n,

∫

−

−

sin(n

m)x dx =

2π

= 0.

0

0

0

, m = n

Отсюда находим

2π

∫0

einxe−imxdx =

0,

если m ̸= n,

{

2π,

если m = n.

b

βx + β sin βx

b

a

∫

eαx cos βx dx =

eαx a ,

α cos α2 + β2

b

α sin βx − β cos βx eαx

b

a

eαx sin βx dx =

.

∫

α2 + β2

a

Таким образом,

∫ab e(α+iβ)x dx =

βx) + i(α sin βx

β cos βx)

b

−

a .

(3.23)

= (α cos βx + β sin

α2 + β2

eαx

выполняя

деле-

ние комплексных чисел, получаем:

e(α+iβ)x

cosβx + i sin βx

=

eαx =