Орловский Определенный интеграл.Практикум ч.1 2010
.pdf= |
1 |
( |
ch 4x + 1 |
− 2 ch 2x + 1) = |
3 |
|
1 |
ch 2x + |
1 |
ch 4x, |
|||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
||||||||||
4 |
2 |
8 |
2 |
8 |
|||||||||||||
то |
|
ln 2 |
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
∫ sh4 x dx = ∫ ( |
− |
ch 2x + |
ch 4x) dx = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
8 |
2 |
8 |
00
|
3 |
1 |
|
1 |
|
ln 2 |
3 |
225 |
|
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( |
8 |
x − |
4 |
sh 2x + |
32 |
sh 4x) 0 |
= |
8 |
ln 2 − |
1024 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С помощью формул понижения вычислить интегралы, зависящие от параметра n, принимающего целые положительные значения:
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2281. In = ∫0 |
sinn x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Согласно решению задачи 2011, а) из [7]: |
|
|
||||||||||||||||||||||
∫ |
|
− |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
∫ |
− |
|
|||
sinn x dx = |
|
|
|
cos x sinn−1 x |
+ |
|
n − 1 |
sinn |
|
2 x dx. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Так как при n > 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinn |
|
|
1 |
|
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
− |
x 0 |
= 0, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
cos x n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то |
I |
|
|
= |
n − 1 |
I |
|
|
|
|
|
|
(n |
|
|
2). |
|
|
||||||
|
n |
n |
− |
2 |
|
> |
|
(3.17) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Далее вычисляем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
I0 = ∫0 |
|
dx = |
|
π |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/2 |
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I1 = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|
||||
sin x dx = −cos x 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
151
и из рекуррентного соотношения (3.17) находим:
(2k − 1)!! π
In = |
|
|
· |
|
|
, n = 2k; |
||
|
k)!! |
2 |
||||||
|
(2(2k)!! |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, n = 2k + 1. |
|
|
|
|
|
(2k + 1)!! |
||||
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2282. In = ∫ |
cosn x dx. |
|
|
|
|
0
Согласно решению задачи 2011, б) из [7]:
∫ x + n − 1 ∫ cosn−2 x dx. n
Так как при n > 2
|
|
|
|
|
|
|
cosn |
|
|
1 |
|
|
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
− |
x 0 |
= 0, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
sin x n |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то |
|
I |
|
= |
n − 1 |
I |
|
|
|
|
|
|
(n |
|
|
2). |
|
||||||
|
|
n |
n |
− |
2 |
|
> |
(3.18) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Далее вычисляем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
I0 = ∫0 |
|
dx = |
|
π |
, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/2 |
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
I1 = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
cos x dx = sin x 0 |
|
= 1 |
|
||||||||||||||||||
и из рекуррентного соотношения (3.18) |
находим: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(2k − 1)!! |
|
|
|
π , |
|
n = 2k; |
|
||||||||||||
I |
= |
|
|
|
(2k)!! |
|
|
· |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
|
|
|
|
(2k)!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, n = 2k + 1. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
(2k + 1)!! |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
152
|
|
π/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2283. In = ∫0 |
|
|
tg2n x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
После преобразований получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
π/4 |
|
|
|
|
|
|
π/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
In = ∫0 |
tg2n x dx = ∫0 |
|
|
tg2n−2 x · tg2 x dx = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= ∫0 |
tg2n−2 x ( |
|
|
|
|
1 |
|
− 1) dx = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
π/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= ∫0 |
tg2n−2 x |
|
dx |
|
|
− ∫0 |
tg2n−2 x dx. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos2 x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Полагая t = tg x, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
π/4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
1 |
|
1 |
= 2n |
1 |
1 . |
||||
tg2n−2 x cos2 x = ∫ t2n−2x dt = 2tn − |
1 |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
In = |
|
|
|
|
|
|
|
|
− In−1. |
|
|
|
|
|
|
|
(3.19) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2n |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I0 = ∫0 |
dx = |
π |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
то из рекуррентного соотношения (3.19) находим |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
− |
|
[4 − |
( |
|
− |
|
3 |
|
|
· · · |
|
|
2n − 1 )] |
|
|
|
|||||||||||||||
|
I = ( 1)n |
π |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
+ |
(−1)n−1 |
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2284. In = ∫01 |
(1 − x2)n dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
153
После тождественных преобразований и интегрирования по частям получаем уравнение для искомого интеграла:
∫1 ∫1 ∫1
In = (1 − x2)n dx = (1 − x2)n−1(1 − x2) dx = (1 − x2)n−1 dx−
0 0 0
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|||
= ∫ (1 − x2)n−1x2 dx = In−1 + |
2n |
∫ x d (1 − x2)n = In−1 |
+ |
|||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2n |
x(1 |
− x2)n 0 |
− |
2n |
∫ (1 − x2)n dx = In−1 − |
2n |
In. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая уравнение относительно In получаем рекуррентное соотношение
I = |
2n |
I |
|
. |
(3.20) |
|
2n + 1 |
n−1 |
|||||
n |
|
|
|
Так как
∫1
I0 = dx = 1,
0
то последовательно используя рекуррентное соотношение (3.20) n раз, получаем
(2n)!!
In = (2n + 1)!! .
Данное выражение можно преобразовать. Умножая числитель и знаменатель на (2n)!! и упрощая, находим:
[(2n)!!]2
In = (2n + 1)!!(2n)!! =
[2 · 4 · 6 · . . . · (2n)]2
= [3 · 5 · 7 · . . . · (2n + 1)][2 · 4 · 6 · . . . · (2n)] =
154
= |
[(2 · 1)(2 · 2)(2 · 3) · . . . · (2 · n)]2 |
= |
22n(n!)2 |
. |
2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · . . . · (2n) · (2n + 1) |
|
|||
|
|
(2n + 1)! |
В этой форме ответ приведен в задачнике Б.П. Демидовича.
2285. In = ∫1 √xndx .
1 − x2
0
Замена x = sin t (точнее t = arcsin x) дает
π/2 |
|
In = ∫0 |
sinn t dt. |
Полученный интеграл вычислен в задаче 2281. Подставляя значение этого интеграла получаем окончательный ответ:
|
|
|
(2k − 1)!! |
|
π , |
n = 2k; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I |
= |
|
(2k)!! · |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
|
(2k)!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, n = 2k + 1. |
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
(2k + 1)!! |
|
|
|
|||||||||||||
2286. In = ∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
xm(ln x)n dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Интегрируя по частям, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
xm+1 |
|
|
|
|
xm+1 |
|
1 |
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
In = ∫ (ln x)n d ( |
m + 1 |
) = |
|
m + 1 |
(ln x)n 0 |
− |
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
− |
|
∫0 |
xm(ln x)n−1 dx = − |
|
In−1 |
, |
||||||||||||||
m + 1 |
m + 1 |
|||||||||||||||||||
что дает следующее рекуррентное соотношение |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
In = − |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
(3.21) |
||||||
|
|
|
|
|
In−1. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
m + 1 |
|
|
|
|
155
Так как
|
|
|
|
|
1 |
|
|
xm+1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I0 = ∫ |
xmdx = |
m + 1 |
|
0 = |
m + 1 |
, |
||||||||||||||||
то из (3.21) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
In = |
(−1)nn! |
I0 |
= |
|
|
(−1)nn! |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
(m + 1)n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m + 1)n+1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
π/4 |
|
|
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
I |
|
= |
|
|
sin x − cos x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2287. |
n |
∫0 |
(sin x + cos x) |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Воспользовавшись известными из курса тригонометрии ра- |
||||||||||||||||||||||||||
венствами: |
|
|
|
sin x − cos x = √2 sin |
(x − 4 ), |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
||||
|
|
sin x + cos x = √2 cos (x − |
|
|
), |
|
||||||||||||||||||||
получаем, что |
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π/4 |
( |
|
|
|
|
|
)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 [ |
|
|
|
|
π |
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
In = ∫ |
tg |
x − |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
Выполняя в полученном интеграле замену t = π4 − x, находим
∫π/4
In = − tg2n+1 t dt.
0
Этой формулой воспользуемся для вывода рекуррентного соотношения. Выполняя тождественные преобразования и делая в одном из получающихся интегралов замену u = tg t, имеем
π/4 |
π/4 |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
In = − ∫0 |
tg2n−1 t · tg2 t dt = − ∫0 |
tg2n−1 t ( |
|
− 1) dt = |
|
cos2 t |
156
π/4 |
|
|
|
π/4 |
1 |
|
|||||
= − ∫0 |
tg2n−1 t |
dt |
|
+ |
∫0 |
tg2n−1 t dt = − ∫0 |
u2n−1du − In−1 = |
||||
|
|||||||||||
cos2 t |
|||||||||||
|
|
|
u2n |
1 |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
2n |
0 − In−1 |
= − |
2n |
− In−1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, искомое рекуррентное соотношение имеет следующий вид:
1
In = −In−1 − 2n. (3.22) Интеграл I0 вычисляется заменой v = cos t:
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
1/√ |
|
|
|
|
|
π/4 |
π/4 |
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
v |
|
|
2 |
= − ln |
√2. |
|||||||||
I0 = −∫ |
tg t dt = −∫ |
cos t dt = ∫ |
= ln |v| 1 |
|||||||||||
|
|
|
sin t |
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя рекуррентное соотношение (3.22) n раз и учитывая
вычисленное значение интеграла I0, находим |
|
−n |
)]. |
||||||
In = (−1)n |
[− ln |
√2 + 2 (1 − |
2 + . . . + |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
( |
1)n |
|
2288. Пользуясь формулой Эйлера
eix = cos x + i sin x,
показать, что
2π |
{ |
0, |
если m ̸= n, |
einxe−imxdx = |
|||
∫0 |
2π, |
если m = n |
(n и m – целые).
Согласно формуле Эйлера
einxe−imx = (cos nx + i sin nx)(cos mx − i sin mx) =
157
= (cos nx cos mx + sin nx sin mx)+
+i(sin nx cos mx − cos nx sin mx) =
= cos(n − m)x + i sin(n − m)x,
следовательно,
2π |
2π |
2π |
|
∫0 |
einxe−imxdx = ∫0 |
cos(n − m)x dx + i ∫0 |
sin(n − m)x dx. |
Определенные интегралы вычисляем по формуле Ньютона – Лейбница:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(n |
m)x |
|
2π |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
, m ̸= n, |
||||
∫ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||
cos(n |
|
m)x dx = |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, m = n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
̸ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
m = n, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
{ |
2π, |
|
m = n. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(n |
m)x |
2π |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2π |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
, m ̸= n, |
||||||
∫ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
sin(n |
|
m)x dx = |
|
2π |
|
|
|
|
|
= 0. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
, m = n |
|
|
|
|||||||
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
einxe−imxdx = |
|
|
|
0, |
если m ̸= n, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
{ |
2π, |
если m = n. |
2289. Показать, что
∫b e(α+iβ)x dx = eb(α+iβ) − ea(α+iβ)
α + iβ
a
158
(α и β – постоянные).
Применяя формулу Эйлера, находим
∫b ∫b
e(α+iβ)x dx = (eαx cos βx + ieαx sin βx) dx =
a a
∫b ∫b
= eαx cos βx dx + i eαx sin βx dx.
a a
Согласно решению задач 1828 и 1829 из [7]
|
|
b |
|
|
|
|
|
βx + β sin βx |
|
|
|
b |
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∫ |
|
eαx cos βx dx = |
eαx a , |
|
||||||||||||||
|
|
α cos α2 + β2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α sin βx − β cos βx eαx |
|
b |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a |
|
eαx sin βx dx = |
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
α2 + β2 |
|
|
a |
|
|
|
||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
∫ab e(α+iβ)x dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
βx) + i(α sin βx |
|
β cos βx) |
|
|
|
b |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
a . |
(3.23) |
||||||||||
= (α cos βx + β sin |
α2 + β2 |
|
|
|
|
eαx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, применяя формулу Эйлера и |
выполняя |
деле- |
|||||||||||||||||
ние комплексных чисел, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
e(α+iβ)x |
|
cosβx + i sin βx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
eαx = |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
α + iβ |
|
α + iβ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
(cosβx + i sin βx)(α − iβ) |
eαx |
= |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
α2 + β2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
159
= |
(α cos βx + β sin βx) + i(α sin βx − β cos βx) |
eαx. |
(3.24) |
||||||||||
|
|
|
|
|
α2 + β2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из равенств (3.23) и (3.24) следует, что |
|
|
|
|
|
||||||||
|
∫ |
b |
e(α+iβ)x |
|
b = |
eb(α+iβ) − ea(α+iβ) |
|
|
|||||
|
e(α+iβ)x dx = |
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
α + iβ |
a |
|
α + iβ |
|
|||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь формулами Эйлера: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
(eix + e−ix) , |
|
|
|
1 |
(eix − e−ix) , |
|
||||
|
cos x = |
|
sin x = |
|
|
||||||||
|
2 |
2i |
|
вычислить интегралы (m и n – целые положительные числа):
∫π/2
2290. sin2m x cos2n x dx.
0
Проще всего данный интеграл можно вычислить с помощью метода рекуррентных соотношений. Пусть
|
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
I(m, n) = ∫0 |
sin2m x cos2n x dx. |
|
|
|
Интегируя по частям, получаем: |
|
|
|
||||
|
|
π/2 |
|
|
π/2 |
||
|
|
0 |
|
|
|||
I(m, n) =∫ |
|
|
|
|
− |
||
sin2m x cos2n−1 x d(sin x) = sin2m+1 x cos2n−1 x 0 |
|||||||
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
[ |
|
|
|
] |
|
|
− ∫ |
2m sin2m x cos2n x − (2n − 1) sin2m+2 x cos2n−2 x dx = |
||||||
|
π/2 |
|
π/2 |
|
|
||
= −2m∫0 |
sin2m x cos2n x dx + (2n − 1)∫0 |
sin2m+2 x cos2n−2 x dx = |
160