Добродеев Колебания и оптика. Атом и атомное ядро 2011

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

КОЛЕБАНИЯ И ОПТИКА. АТОМ И АТОМНОЕ ЯДРО

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ 11 КЛАССА

Под редакцией Н. А. Добродеева

Рекомендовано УМО "Ядерная физика и технологии" в качестве учебного пособия

Москва 2011

Введение: колебательные процессы

Колебаниями называют процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости.

Таким свойством повторяемости обладают, например, качания маятника часов, колебания струны или ножек камертона, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника и т.п.

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания механические, электромагнитные, электромеханические и т. д.

Если весь цикл колебательного процесса повторяется точно через одинаковые промежутки времени, то такие колебания являются

периодическими.

Периодические колебания характеризуются периодом Т и частотой ν.

Период колебания Т − наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех величин, характеризующих периодическое колебание, то есть время, за которое совершается полный цикл процесса.

Частота колебаний ν – число полных циклов, совершаемых за единицу времени.

Единица измерения частоты в СИ – герц (1 Гц = 1 с−1) Между периодом колебания Т и частотой ν существует связь:

Т= ν1 .

Взависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания и вынужденные колебания.

Свободными называют колебания, которые происходят в системе, однократно выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе.

Вынужденными называют колебания, при которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы.

Простейшим примером по характеру описания являются гармо-

нические колебания.

4

Гармоническими являются колебания, при которых величины, описывающие эти колебания, изменяются со временем по закону

косинуса [или синуса]:

x = Acos(ω t +ϕ0 ) [ x = Asin(ω t +ϕ′0 ) ].

Здесь ω = 2πν – круговая частота, А – амплитуда колебаний. Амплитуда колебаний – это максимальное значение величины,

описывающей гармоническое колебание.

Фазой φ колебания называют аргумент косинуса (или синуса) в законе гармонического колебания:

φ = ωt + φ0.

Здесь φ0 – начальная фаза, то есть значение фазы в начальный момент времени t = 0.

1. Характеристики механических колебаний

В механической системе, имеющей устойчивое положение равновесия, могут происходить периодические колебания.

При описании механических колебаний материальной точки вдоль одного направления обычно принимают это направление за ось 0х, а за начало отсчета координаты х = 0 принимают положение равновесия.

Тогда для гармонических колебаний материальной точки зависимость координаты х от времени t (выберем для определенности закон косинуса) дается выражением

x = Acos (ω t +ϕ0 ) .

Aмплитуда скорости υm = Аω; амплитуда ускорения am = Аω2. Между ускорением aх и координатой х при гармонических коле-

баниях всегда справедливо соотношение aх = − ω2 х.

5

Примеры решения задач

Пример 1.1. За какое время τ тело, совершающее гармонические колебания с периодом Т, проходит n-ю часть пути от среднего положения до крайнего?

Решение. Для упрощения решения выберем закон движения в виде

x = Asinω t = Asin 2Tπt .

Согласно этому закону в начальный момент тело находилось в среднем положении. Весь путь от среднего положения до крайнего равен А, n-я часть пути равна А/n и совпадает с координатой в момент τ, так как движение идет в одном направлении. Поэтому

An = Asin 2Tπτ , 1n = sin 2Tπτ; 2Tπτ = arcsin 1n .

Ответ: τ = 2Tπarcsin 1n .

Пример 1.2. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону х(t) = Acos (ωt + φ0). В начальный момент t = 0 смещение равно х0, проекция скорости равна υ0. Найти амплитуду А и начальную фазу φ0.

Решение. Подставив в закон х(t) = Acos (ωt + φ0) и в зависимость скорости от времени υх(t) = −Aω sin(ωt + φ0) значение t = 0, получим уравнения для определения А и φ0:

х0 = Acos ϕ0 ,

υ0 = − Aω sin ϕ0 .

Для нахождения φ0 разделим второе уравнение на первое:

υ

tg φ0 = − ω 0x0 .

Для нахождения A разделим второе уравнение на Aω, возведем каждое уравнение в квадрат и сложим их почленно. Так как sin2φ0 + cos2φ0 = 1, то в результате

6

7

Задачи для решения в классе и дома

1.1.Материальная точка совершает колебания по закону: х(t) = 5cos2t (х − в сантиметрах, t − в секундах). Укажите значения амплитуды А, частоты ω, , циклической частоты ν, периода Т, начальной фазы φ0.

1.2.Закон колебательного движения небольшого тела дается уравнением: х(t) = 1 + 3sin 2·cos(t/2 +l) (х − в метрах, t − в секундах). Являются ли эти колебания гармоническими? Если да, то каковы амплитуда А и пе-

риод Т колебаний? Укажите координату положения равновесия тела х0 и начальную фазу φ0. Можно ли в этом случае величину х назвать смещением?

1.3.Точка совершает колебания и х(t) = A cos(ωt + φ0). В некоторый момент t1 фаза колебаний φ = 0,2π. Каково смещение х(t1), если за период точка проходит путь s = 40 см?

1.4.Подвешенный на пружине шарик выводят из положения равновесия двумя способами: 1) резким ударом сообщают ему скорость, направленную вертикально вниз; 2) шарик оттягивают вниз и отпускают. Определить начальную фазу колебаний, если колебания описываются функци-

ей x(t) = Acos(ωt + φ0) и момент t = 0 совпадает с началом движения шарика. Ось 0х направлена вертикально вниз.

1.5.Рассмотрите задачу 1.4 в случае, если колебания шарика описываются функцией х(t) = A sin(ωt + φ0).

1.6.Каков закон движения точки, если за время τ = 1 мин она совершает п = 120 колебаний с амплитудой А = 10 см? В момент t = 0 точка двигалась в направлении оси 0х и смещение составляло х(0) = 5 см.

1.7.За какую часть периода η тело, совершающее гармонические колебания, проходит: 1) весь путь от среднего положения до крайнего;

2)первую половину этого пути; 3) вторую половину этого пути?

1.8.Точка колеблется с частотой ν = 0,5 Гц и амплитудой А = 10 см. За какое время τ точка проходит путь s = 1 см, начиная из среднего положения?

1.9.Точка совершает колебания по закону: х(t) = 5 cos2t (х – в санти-

метрах, t – в секундах). Запишите выражения для проекции cкорости υx(t), проекции ускорения ах(t) и найдите амплитудные значения этих величин.

8

Постройте один под другим графики функций х(t), υx(t), ах(t). На какую величину отличаются фазы колебаний смещения, скорости и ускорения?

1.10. Шарик на нити совершает малые колебания с угловой амплитудой αm. Период колебаний Т, начальная фаза φ0 (смещение х(t) описывается синусоидой). Запишите зависимость угла отклонения нити от времени α(t) и зависимость угловой скорости нити от времени ω(t).

1.11. Круговая частота колебаний математического маятника ω0 в n = 10 раз больше максимальной угловой скорости нити маятника ωm. Найдите угловую амплитуду αm колебаний нити маятника.

1.12.Определите максимальную величину тангенциального ускорения аτmах, с которым движется шарик на нити, совершающий колебания с угловой амплитудой αm = 0,1 рад.

1.13.По условию задачи 1.10 найдите зависимость модуля полного ускорения шарика от времени а(t).

1.14.Амплитуда колебаний конца ножки камертона А = 1 мм, а часто-

та колебаний ν = 500 Гц. Напишите зависимости х(t), υх(t), ах(t). Каковы наибольшие значения скорости и ускорения? В каких положениях достигаются эти значения?

1.15.Подвешенное на пружине тело совершает вертикальные колеба-

ния. Максимальное значение скорости тела υт = 0,4 м/с, максимальное ускорение аτ = 4 м/с2. Определите амплитуду и круговую частоту колебаний тела.

1.16.Постройте графики зависимостей υх(х), ах(х), полученных в при-

мер 1.3.

1.17.В момент t0 координата материальной точки, совершающей гармонические колебания с частотой ω0, равна х0, а скорость равна υ0. Получите зависимость координаты этой точки от времени x(t).

1.18.Два одинаковых математических маятника имеют общую точку подвеса. Одному маятнику толчком сообщили некоторую скорость, а затем через Т/6 (Т − период колебаний) второму маятнику сообщили толчком такую же по величине скорость, но в противоположном направлении. Через какое время τ после начала движения первого маятника оба маятника столкнутся?

1.19.На горизонтальной плите лежит груз. Плита начинает совершать

вертикальные колебания с частотой ω0 и амплитудой А из положения равновесия. Скорость плиты в момент начала колебаний направлена вверх. При каком условии груз начнет подскакивать? На какую высоту Н от начального положения плиты подскочит груз после своего отрыва от ее поверхности?

9

2. Причины колебательного движения

Гармонические колебания тела происходят под действием сил, пропорциональных смещению тела из положения равновесия и направленных к этому положению.

Примером таких сил являются упругие силы – силы, возникающие при упругой деформации.

В общем, это могут быть силы любой природы – так называемые квазиупругие силы, для которых справедливо соотношение

Fx = − kx,

где k – коэффициент квазиупругой силы, x – проекция смещения из положения равновесия.

Подстановка квазиупругой силы в уравнение второго закона Ньютона дает значение собственной частоты колебаний ω0 системы путем сравнения с уравнением гармонических колебаний

aх = − ω02 х.

Собственная частота ω0 пружинного маятника (и горизонтального, и вертикального)

ω0 = mk ,

где k – жесткость пружины, m – масса маятника.

Собственная частота ω0 малых колебаний математического маятника (при небольших амплитудах отклонениях нити от вертикали)

где l – длина нити маятника, g – ускорение свободного падения.

Примеры решения задач

Одним из методов для нахождения собственной частоты ω0 колебаний системы является метод, основанный на применении второго закона Ньютона. Последовательность действий в этом методе такова:

1)написать уравнение на основе закона Ньютона;

2)привести его к виду max = − kx;

10