Добродеев Колебания и оптика. Атом и атомное ядро 2011

15.3.На собирающую (рассеивающую) линзу падает произвольный луч, не проходящий через ее центр. Построением найдите преломленный луч. Рассмотрите несколько возможных случаев.

15.4.Постройте изображение точки, лежащей на главной оптической оси линзы: 1) между фокусом и линзой; 2) за фокусом. Рассмотрите собирающую и рассеивающую линзы.

15.5.Построением установите ход лучей до их преломления в линзах. Положения фокусов отмечены точками на рис. 15.10.

Рис. 15.10

15.6. На рис. 15.11 указаны главная оптическая ось линзы, ход падающего и преломленного линзой лучей. Построением определите положение линзы и ее фокусов.

Рис. 15.11

15.7. На рис. 15.12 указаны главная оптическая ось линзы, положения источника света S и его изображения S'. Построением определите положение линзы и ее фокусов.

Рис. 15.12

15.8. На рис. 15.13 указаны положение спицы АВ и ее изображения А'В' в линзе. Построением найдите положение линзы и ее фокусов.

Рис. 15.13

15.9. Выполняя лабораторную работу, ученик получал четкое изображение горящей свечи на экране, расположенном на расстоянии L = 53 см

81

от свечи. Определите фокусное расстояние F и оптическую силу Ф линзы, если расстояние от свечи до линзы d = 30 см.

15.10.Предмет находится на расстоянии d = 12,5 см от собирающей (рассеивающей) линзы с оптической силой Ф = 10 дптр (Ф = − 10 дптр). На каком расстоянии l от линзы получится изображение и каково поперечное увеличение β изображения?

15.11.На каком расстоянии d от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 12 см надо поместить предмет, чтобы его действительное (мнимое) изображение было в n = 3 раза больше самого предмета?

15.12.С помощью собирающей линзы на экране получают четкое изображение Солнца диаметром d0 = 2 мм. Угловой диаметр Солнца

φ= 30'. Определите фокусное расстояние линзы.

15.13.На собирающую (рассеивающую) линзу падает сходящийся конусом пучок световых лучей. После преломления в линзе лучи пересекаются в точке на главной оптической оси, удаленной от линзы на b = 15 см. Если линзу убрать, точка схождения лучей переместится на х = 50 мм. Найдите фокусное расстояние F линзы.

15.14.С помощью линзы получают на экране четкое изображение предмета. Передвинув линзу вдоль ее главной оптической оси на расстояние b = 30 см, вновь получают четкое изображение. Чему равно фокусное

расстояние линзы F, если расстояние между предметом и экраном l = 50 см?

16. Оптические системы и приборы

Для систем тонких линз есть важное правило: если расстояние между тонкими линзами мало, то оптическая сила системы линз равна сумме оптических сил отдельных линз.

Для характеристики оптических систем часто используют понятие углового увеличения системы, которое равно отношению тангенса угла, под которым виден предмет по выходе из оптической системы, к тангенсу угла, под которым виден предмет невооруженным глазом.

Примеры решения задач

Пример 16.1. Дальнозоркий человек использует для наблюдения вдаль очки оптической силы D = 2 дптр. Минимальное рас-

82

стояние, на котором он хорошо видит в них, d1 = 50 см. Какие очки для чтения он использует?

Решение. Изображение в глазу получается на сетчатке, причем расстояние l между оптическим центром глаза и сетчаткой (глубина глаза) можно считать неизменным при изменении оптической силы глаза. Также будем считать равным нулю расстояние между оптическими центрами глаза и линзы очков, в силу чего оптические силы глаза и линзы очков можно складывать.

Тогда можно записать для случаев, когда используются первые очки:

где Dг∞ − оптическая сила глаза при наблюдении вдаль (она минимальна), Dгм− оптическая сила глаза при наблюдении на минимальном расстоянии.

Обозначим оптическую силу очков для чтения D0 − в них человек читает на расстоянии наилучшего зрения d0 = 25 см. В этом случае

Пример 16.2. Зрительная труба (простейший телескоп) состоит из двух собирающих линз (труба Кеплера) − объектива и окуляра. Задний фокус объектива совпадает с передним фокусом окуляра, причем Foб > Foк. Чему равно угловое увеличение γ трубы?

Решение. Зрительная труба предназначена для рассматривания далеких объектов. На рис. 16.1 это далекий предмет размера d. Изображение имеет размер f, является действительным и расположено в фокальной плоскости. Окуляр дает мнимое изображение, которое и рассматривается глазом. В зрительной трубе задний фокус окуляра и передний фокус окуляра практически совпадают.

83

Рис. 16.1

Угловое увеличение γ, по определению, равно

γ = tgα . tgα0

Тангенсы этих углов соответственно: tgα0 = f / Foб, tgα = f / Foк, откуда

γ= Fo б .

Fo к

Ответ: γ = Foб / Foк = 4 дптр.

Пример 16.3. Определить угловое увеличение микроскопа, если известны фокусные расстояния объектива F1 и окуляра F2 и расстояние между объективом и окуляром L, причем L >> F1, L >> F2. Расстояние наилучшего зрения равно d0.

Рис. 16.2

Решение. Микроскоп предназначен для рассматривания мелких предметов. Такой предмет размером h располагается перед передним фокусом на малом расстоянии от фокуса (рис. 16.2). Изображение в объективе получается действительным и увеличенным (размер H на рисунке). Это изображение служит предметом для окуляра, и окуляр, перемещая, располагают так, чтобы он давал мнимое и увеличенное изображение, которое и рассматривается глазом. Следовательно, угол α – это угол, под которым виден предмет с помощью микроскопа. Из рисунка видно, что tgα = H / F2.

84

16.5.На сколько диоптрий (∆Ф) изменится оптическая сила глаза, если перевести взгляд со звезды на текст книги, находящейся на расстоянии наилучшего зрения d0 = 25 см?

16.6.Рассматривая объект в лупу с фокусным расстоянием F = 3,5 см, человек аккомодирует глаз на бесконечность. Найдите увеличение лупы Г

вэтом случае. Расстояние наилучшего зрения d0 = 25 см.

16.7. Расстояние наилучшего зрения дальнозоркого человека b = 67 см. Определите оптическую силу линз Ф очков, позволяющих этому человеку, читая книгу, держать ее на расстоянии наилучшего зрения нормального глаза d0 = 25 см. Расстоянием между оптическими центрами глаза и линзами очков пренебречь.

16.8.Пределы аккомодации у близорукого человека d1 = 10 см и d2 = 25 см. В пределах каких расстояний l человек может четко видеть предметы, если он наденет очки с оптической силой Ф = −4 дптр?

16.9.Определить оптическую силу Ф объектива фотоаппарата, которым фотографируют местность с самолета на высоте Н = 5 км в масштабе

М= 1:20000.

16.10.Фотограф, снимая красивый ландшафт, настроил фотоаппарат на бесконечность и установил диаметр отверстия диафрагмы D = 2 см.

Определите минимальное расстояние d0 от объектива до предметов, получающихся на фотографии достаточно резко. Допустимое размытие на фотопленке точки предмета составляет а = 0,1 мм, фокусное расстояние объектива F = 5 см.

16.11.Демонстрация кинофильма происходит в зале длиной L = 20 м. Экран имеет высоту Н = 3,6 м. Определите фокусное расстояние объектива кинопроектора, если высота кадра на кинопленке h = 18 мм.

16.12.Фотографируя кратер Луны, фотопластинку располагают в фо-

L= 3,8·105 км.

16.13.Фокусное расстояние объектива телескопа F1 = 4,5 м, а окуляра F2 =45 мм. Настроив телескоп на бесконечность, фотографируют Солнце с помощью фотокамеры с фокусным расстоянием F3 = 30 см. Каков диа-

метр D изображения на фотопластинке, если угловой размер Солнца

φ= 30'?

16.14.Объективом театрального бинокля (труба Галилея) служит со-

бирающая линза с фокусным расстоянием F1 = 8 см, а окуляром рассеивающая линза с фокусным расстоянием F2 = 4 см. Чему равно расстояние

86

между объективом и окуляром а, если изображение рассматривается с расстояния наилучшего зрения нормального глаза d0 = 25 см?

16.15. Под микроскопом рассматривается небольшой предмет. Глаз аккомодирован на бесконечность (изображение, созданное объективом, находится в фокальной плоскости окуляра). Постройте ход лучей в микроскопе и определите размер изображения h' на сетчатке глаза, если известны размер предмета h, фокусные расстояния объектива F1 и окуляра F2, расстояние между их фокусами δ и глубина глаза L. Каким было бы изображение на сетчатке невооруженного глаза h'0 , рассматривающего этот предмет с расстояния наилучшего зрения d0? Определите увеличение микроскопа Γ = h'/ h'0.

17. Интерференция и дифракция света

Видимый свет – это электромагнитные волны в диапазоне длин волн от 750 нм (красный свет) до 400 нм (фиолетовый).

Если две волны одинаковой частоты, накладываясь друг на друга, возбуждают в некоторой точке колебания электрического поля одинакового направления Е1cos(ωt + φ1), Е2cos(ωt + φ2), то амплитуда результирующего колебания получается из соотношения

Е2 = E12 + E22 + 2Е1Е2cos δ, δ = φ2 − φ1.

Если разность фаз δ возбуждаемых волнами колебаний остается постоянной во времени, то волны называются когерентными (при одинаковой частоте волн).

В случае некогерентных волн разность фаз непрерывно хаотически изменяется, принимая с равной вероятностью любые значения, поэтому

<cos δ> = 0, Е2 = E12 + E22 ,

а интенсивность

I = I1 + I2,

так как I ~ Е2.

В случае когерентных волн cos δ имеет некоторое постоянное (но свое для каждой точки пространства) значение, поэтомуе.

I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos δ,

В тех точках пространства, для которых cos δ > 0, интенсивность

I > I1 + I2, а для cos δ < 0 I < I1 + I2.

87

При наложении когерентных волн происходит перераспределение интенсивности света в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсив-

ности. Это явление называется интерференцией световых волн.

Результат интерференции зависит от оптической разности хода ∆, равной разности оптических длин пути l1, l2 двух волн:

∆ = l2 − l1.

Оптическая длина пути l света равна геометрической длине s, умноженной на показатель преломления n среды:

l = ns.

Максимум интенсивности будет наблюдаться в точках, удовле-

Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с огибанием волнами пре-

пятствий.

Дифракцию можно объяснить на ос-

нове принципа Гюйгенса–Френеля (рис. 17.1):

а) любую точку фронта волны можно считать источником вторичных сферических волн. Огибающая фронтов

Рис. 17.1 вторичных волн через небольшой промежуток времени дает новое положение волновой поверхности;

б) вторичные волны являются когерентными.

На явлении дифракции основано устройство оптического прибора – дифракционной решетки.

Дифракционная решетка представляет собой совокупность большого числа узких щелей, разделенных непрозрачными промежутками – штрихами. Число штрихов доходит до нескольких тысяч на 1 мм.

Если ширина прозрачной щели равна а, ширина непрозрачных промежутков b, то величина d = a + b является периодом решетки.

88

Если на решетку падает свет (рис. 17.2), то на экране возникает дифракционная картина – чередование максимумов и минимумов интенсивности (рис. 17.3).

Максимумы будут наблюдаться под углами ϕ, определяемыми условием

d sin φ = kλ, k = 0, ±1, ±2,…

Число k называют порядком максимума.

Примеры решения задач

Пример 17.1. Два когерентных точечных источника S1 и S2 испускают свет с длиной волны λ = 500 нм. Источники находятся на расстоянии d = 1 мм друг от друга. На расстоянии l = 2 м (l >> d) от источников расположен экран (рис. 17.4). В точке А, расположенной на экране на перпендикуляре, проходящем через точку S1, наблюдается интерференционный максимум. На какое минимальное расстояние нужно сдвинуть второй источник, чтобы в точке А появился минимум?

Решение. Найдем оптическую разность хода двух лучей (1 и 2) от когерентных источников. Поскольку источники находятся в воздухе, величина будет совпадать с геометрической разностью хода

(n = 1):

89