Добродеев Колебания и оптика. Атом и атомное ядро 2011
.pdfЛюбой закон сохранения заключается в том, что физическая величина, для которой справедлив закон сохранения, должна быть одинаковой до и после взаимодействия частиц.
Например, для реакции а + А → b + В закон сохранения энергии записывается в виде
mac2 +Ta + mAc2 +TA = mbc2 +Тb + mВс2 +ТВ ,
где буквой Т обозначена кинетическая энергия частицы. Величина Q = (ma + mA – mB – mb)с2 называется энергией реакции. Если Q > 0, то реакция называется экзоэнергетической, т.е. идет
с выделением энергии.
Пример такой реакции – синтез легких ядер дейтерия и трития (так называемой термоядерной):
12 H + 13H → 42He + 01n +Q, Q =17 МэВ.
При Q < 0 реакция называется эндоэнергетической.
Особое значение имеют реакции деления тяжелых ядер под действием нейтронов. Они составляют основу атомной энергетики. Энергия, выделяемая при таких реакциях, используется для получения электроэнергии. При делении ядра урана 92235 U под действием нейтрона образуется два ядра-осколка (с отношением масс примерно 2/3) и от одного до трех нейтронов с энергией 2 МэВ:
92235 U +10 n → 14055 Cs +3794 Rb + 2 10 n .
Поскольку при делении образуются новые нейтроны, можно осуществить самоподдерживающуюся цепную реакцию.
Например, при делении всех ядер, содержащихся в 140 г урана, высвобождается 1013 Вт энергии, что эквивалентно сжиганию тысячи тонн нефти.
Заметим, что необходимым условием осуществления цепной реакции является наличие достаточно большого количества урана, так как в образцах малых размеров большинство нейтронов пролетает через образец, не попав ни в одно ядро.
Минимальная масса урана, достаточная для осуществления цепной реакции, называется критической. Для урана-235 она составляет примерно 50 кг. При плотности урана 1,895 104 кг/м3 радиус шара такой массы равен примерно 8,5 см.
111
Элементарные частицы. Частицы, входящие в состав атомов − электрон е−, протон 11 p и нейтрон 10 n − относят к так называемым
элементарным частицам. Это стабильные элементарные частицы. К ним относятся также фотон γ (гамма-квант) и нейтрино ν, которые не имеют массы покоя и движутся со скоростью света. У этих частиц, кроме фотона, есть античастицы: позитрон е+, антипротон
−11 р, антинейтрон 10 n , антинейтрино ν. Фотон является истинно
нейтральной частицей.
Характерной особенностью частиц и античастиц по отношению друг к другу является вероятность их превращения при взаимодействии в истинно нейтральные частицы − реакция аннигиляции, на-
пример:
е− + е+ → γ + γ.
Экспериментально обнаружено также более сотни нестабильных частиц – частиц, которые живут очень короткое время – от 10–6 до 10–23 с, а далее испытывают ряд превращений, заканчивающийся образованием стабильных частиц.
Кстати, нейтрон в свободном состоянии (вне ядра) является нестабильной частицей со временем жизни порядка 10 мин, распадаясь по схеме
10 n → 11 p + е− + ν.
Более подробные представления об элементарных и фундаментальных частицах – вне рамок настоящего пособия.
Примеры решения задач
Пример 21.1. Нейтрон испытывает упругое соударение с первоначально покоившимся дейтоном. Найти долю η энергии, теряемую нейтроном, если он отлетает под прямым углом к первоначальному направлению. Скорости частиц малы по сравнению со скоростью света.
Решение. При упругом столкновении частиц выполняются законы сохранения энергии и импульса:
Tn0 = Tn + Td , pn0 = pn + pd .
112
Здесь Tn0, pn0 − начальные кинетическая энергия и импульс нейтрона, Tn , pn − кинетическая энергия и импульс нейтрона после соударения, Td, pd − кинетическая энергия и импульс дейтона.
Чтобы ввести угол между импульсами нейтрона, перенесем pn в другую сторону соответствующего равенства и возведем в квадрат:
pd2 = pn20 + pn2 − 2pn0рn cosφ = pn20 + pn2 ,
так как угол между импульсами нейтрона равен 90°.
Разделив последнее равенство на массу нейтрона mn и учитывая,
что масса дейтона вдвое больше mn , а T = p2 , получим: 2m
2Td = Tn + Tn0 .
Учитывая закон сохранения энергии, получим, что Tn = Tn0 /3, и по-
теря энергии η = |
|
Tn0 −Tn |
= 2/3. |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
Tn0 |
|||
Ответ: η = 1 |
− |
Tn |
= 2/3. |
|||
T |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n0 |
|
|
|
Пример 21.2. Покоившаяся нейтральная частица распалась на протон с кинетической энергией Т = 5,3 МэВ и π−-мезон (mπ−c2 = = 140 МэВ). Найти энергию покоя M0с2 нейтральной этой частицы.
Решение. Так как при распаде частиц изменяется энергия покоя, при решении подобных задач надо учитывать релятивистские законы.
Законы сохранения энергии и импульса имеют вид:
M0с2 = mрc2 + Т + mπ−c2 + Тπ, 0 = рр − рπ.
Так как для протона Т<< mрc2 ( = 940 МэВ), то можно принять
p2
Т = 2mpp .
Для π−-мезона
Тπ = Еπ − mπ−c2 = mπ−2 c4 + pπ2c2 −mπc2 = mπ−2 c4 +2mpc2T −mπc2 .
Окончательно для энергии покоя неизвестной частицы получаем
M0с2 = mрc2 + Т + mπ−2 c4 +2mpc2T .
113
Расчет дает
M0с2 = 938 +5,3 + 1402 +2 940 5,3 = 1115 МэВ
(в данном случае все энергии выражены в МэВ).
Ответ: M0с2 = mрc2 + Т + mπ−2 c4 +2mpc2T = 1115 МэВ.
Задачи для решения в классе и дома
21.1. Во сколько раз радиус ядра урана 92238 U больше радиуса ядра атома водорода?
21.2.Найти плотность ядерного вещества. Считать, что в ядре все ну-
клоны плотно упакованы, а радиус ядра увеличивается с ростом числа нуклонов А как r = r0А1/3, где r0 = 1,3·10−15 м?
21.3.Радиус Солнца R0 = 695 Мм, а средняя плотность ρ0 = 1410 кг/м3. Каким был бы радиус Солнца, если при той же маcсе его плотность равнялась бы ядерной плотности?
21.4.Вычислить энергию связи ядер 31 H и 23 H e . Какое из этих ядер
более устойчиво? m ( 23 H e ) = 3,01602 a.е.м., m( 11 H ) = 1,00783 a.е.м., масса нейтрона mn = 1,00867а.е.м., m( 31 H ) = 3,01605 a.е.м.
21.5. Какая доля радиоактивных ядер кобальта, период полураспада которого T½ = 71,3 сут, распадется за время t = 1 мес.
21.6. Какая энергия выделяется при термоядерной реакции
31 H + 21 H = 42 H е + 01 n ? Массы атомов m( 21 H ) = 2,01410 a.е.м., m( 42 H е ) =
=4,00260 a.е.м.
21.7.При делении одного ядра 92235 U на два осколка выделяется в
среднем энергия Е = 200 МэВ. Какое количество энергии выделяется при сжигании в ядерном реакторе m = 1 г этого изотопа?
21.8. Определить возраст древних деревянных предметов, если удельная активность изотопа 146 С у них составляет 3/5 удельной активности этого же изотопа в только что срубленных деревьях. Период полураспада 146 С равен T½ = 5570 лет.
21.9. Альфа-частица с кинетической энергией Тα = 7 МэВ упруго рассеялась на первоначально покоившемся ядре 36 Li . Определить кинетическую энергию ядра отдачи, если угол разлета φ = 120°.
114
21.10.Нейтрон испытал упругое соударение с первоначально покоившимся дейтоном. Найти долю энергии, теряемую нейтроном, если удар центральный.
21.11.Доказать, что свободный электрон не может поглотить γ-квант.
21.12.Отрицательные π-мезоны с кинетической энергией Т = 100 МэВ пролетают от места рождения до распада в среднем расстояние l = 11 м. Найти собственное время жизни этих мезонов.
21.13.При аннигиляции электрона и позитрона образуются два одинаковых γ-кванта. Найти длину волны этих γ-квантов, пренебрегая кинетической энергией частиц до реакции.
21.14. Ускоритель сообщает протонам кинетическую энергию Т = 10 ГэВ. На сколько скорость протона отличается от скорости света?
22. Дополнительные задачи (для проверочных и контрольных работ)
22.1.Небольшое тело совершает гармонические колебания. Зная, что
его максимальная скорость равна υm = 9,42 м/с, найти величину средней скорости тела за время, в течение которого оно перемещается из одного крайнего положения в другое.
22.2.Точка, совершающая гармонические колебания вдоль оси 0х, в некоторый момент времени имеет смещение х = 4 cм из положения равновесия (х0 = 0) и скорость υ = 0,05 м/с. Циклическая частота колебаний
ω= 4,5 рад/с. Определить амплитуду колебаний.
22.3.Точка, совершающая гармонические колебания вдоль оси 0х с частотой ω = 4,5 рад/с, в некоторый момент времени имеет смещение
х= 4 см из положения равновесия (х0 = 0) и скорость (проекция на ось 0х) υx = 0,05 м/с. Определить фазу в рассматриваемый момент времени.
22.4.Точка, совершающая гармонические колебания вдоль оси 0х, в не-
который момент времени имеет смещение х = 4 см из положения равновесия (х0 = 0) и ускорение а = 0,8 м/с2. Определить период колебаний точки.
22.5.Однородный цилиндр длиной l плавает в вертикальном положе-
нии на границе двух несмешивающихся жидкостей с плотностями ρ1 и ρ2 соответственно и делится этой границей пополам. Пренебрегая трением, найти период малых вертикальных колебаний цилиндра.
22.6.К оси легкого блока на жестком стержне подвешен груз (рис. 22.1). Масса стержня и груза вместе т. Блок подвешен на нити, один конец которого прикреплен к потолку непосредственно, а другой − через
115
легкую пружину жесткостью k. Груз совершает малые незатухающие колебания вдоль вертикали. Найти период этих колебаний.
Рис. 22.1 |
Рис. 22.2 |
Рис. 22.3 |
22.7.Жесткая конструкция состоит из трех стержней с закрепленными шариками на концах и может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси 0, перпендикулярной плоскости конструкции (рис. 22.2). Определить период малых свободных колебаний в вертикальной плоскости.
22.8.На наклонной плоскости с углом α находится кубик (рис. 22.3). К кубику прикреплена легкая пружина, другой конец которой закреплен в неподвижной точке А. В исходном состоянии кубик удерживается в положении, при котором пружина не деформирована. Кубик отпускают без начальной скорости. Определить максимальную скорость кубика в процессе движения. Маcса кубика т, жесткость пружины k, коэффициент трения μ (μ < tg α).
22.9.Два когерентных точечных источника звука колеблются в оди-
наковых фазах. В точке, отстоящей от 1-го источника на S1 = 2 м и от 2-го на S2 = 2,5м, звук не слышен. Вычислить максимальную частоту колебаний источников, которая принадлежит слышимому ухом диапазону от 16 Гц до 20 кГц. Скорость звука υ = 340 м/с (в воздухе).
22.10.По струне слева направо бежит поперечная гармоническая волна со скоростью υ = 40 м/с. Длина волны λ = 60 см, амплитуда А = 2 мм.
Найти ускорение точки О струны
υв момент времени, соответствующий рис. 22.4.
22.11. На рис. 22.5, а и б, показаны области видимости изображения некоторых точек А и В в плоских зеркалах. Определить место-
нахождение этих точек.
22.12. Сколько изображений источника света S можно наблюдать в системе, состоящей из двух зеркал, параллельных друг другу (рис. 22.6). Построить эти изображения.
116
|
|
Рис. 22.6 |
|
Рис. 22.5 |
|||
|
|
||
|
|
|
22.13. На рис. 22.7, а и б показано изображение А'В' некоторого непрерывного прямого отрезка АВ. Изображение состоит из двух частей, одна из которых действительная, а другая − мнимая. Обе части изображения полубесконечные. Определите расположение отрезка АВ.
Рис. 22.7
22.14. Под водой солнечные лучи образуют с вертикалью угол α = 48°. Вычислить, под каким углом к горизонту находится Солнце. Показатель преломления воды п = 1,33.
22.15. Под каким углом падения должен падать луч, идущий из воздуха в жидкость, на границу раздела двух сред, чтобы угол преломления был в 2 раза меньше угла падения? Скорость света в жидкости
υ= 1,73·108 м/с.
22.16.На дне водоема глубиной Н = 1,2 м находится точечный источник света. Найдите наибольшее расстояние от источника до того места на поверхности, где лучи выходят из воды. Показатель преломления воды
п= 1,33.
22.17.На каком расстоянии друг от друга находится предмет и его действительное изображение, создаваемое собирающей линзой с фокусным расстоянием F = 60 см, если изображение в Г = 3 раза больше предмета?
22.18.С помощью собирающей линзы на экране получают четкое изображение Солнца диаметром d = 2 мм. Диаметр Солнца в 100 раз меньше расстояния от Солнца до Земли. Вычислите оптическую силу линзы.
22.19.Каков диаметр изображения Солнца на фотопленке, если фо-
кусное расстояние объектива камеры F = 50 мм? Диаметр Солнца
d= 1,4·106 км, расстояние от Солнца до Земли L = 1,5·108 км.
22.20.Предмет находится на расстоянии х1 = 10 см от переднего фокуса собирающей линзы, а экран, на котором получается действительное
117
изображение предмета, расположен на расстоянии х2 = 40 см от заднего фокуса линзы. Каково фокусное расстояние линзы?
22.21.Широкий световой пучок падает на плоское основание стеклянного полушара с показателем преломления п = 1,4 перпендикулярно плоскости основания. Каков максимальный угол отклонения прошедших через полушар лучей от их первоначального направления?
22.22.На собирающую линзу с фокусным расстоянием F1 = 40 см падает параллельный оптической оси пучок лучей. На каком расстоянии от нее следует помесить рассеивающую линзу с фокусным расстоянием
F2 = −15 см, чтобы пучок после прохождения двух линз остался параллельным?
22.23.Найдите показатель преломления среды, в которой свет с энергией фотона Е = 4,4·10−19 Дж имеет длину волны λ = 3·10−7 м.
22.24.Рубиновый лазер излучает в импульсе N = 2·1019 квантов с длиной волны λ = 6,9·10−5 см. Чему равна мощность излучения, если длительность импульса l = 2·10−3 с? Постоянная Планка h = 6,6·10−34 Дж·с, скорость света в вакууме с = 3·108 м/с?
22.25.Определить длину волны света, которым освещается поверх-
ность металла, если фотоэлектроны имеют кинетическую энергию
Е= 4,5·10−20 Дж, а работа выхода электрона из металла А = 3,3·10−19 Дж?
22.26.В некоторый момент времени счетчик радиоактивного излучения, расположенный вблизи радиоактивного препарата, зафиксировал
n1 = 1000 распадов в секунду. Через время t = 22 мин показание уменьшилось до п2 = 87 распадов в секунду. Определить период полураспада препарата.
22.27.Частица массой 2т, летевшая со скоростью υ и имевшая внут-
реннюю энергию W0 , распалась на два осколка одной и той же массы т с
одинаковыми внутренними энергиями W1. Найти максимально возможный угол разлета осколков, если известно, что mυ2 > W0.
22.28.Протон массой тр налетает со скоростью υ0 по прямой с большого расстояния на покоящееся ядро некоторого химического элемента и упруго рассеивается на нем. Оказалось, что после такого взаимодействия разлетевшиеся частицы имеют равные по величине и противоположные по направлению скорости. Найти эти скорости и массу ядра. Какому химическому элементу принадлежит это ядро?
22.29.В ядерной реакции образуется медленно движущаяся по срав-
нению со скоростью света альфа-частица и гамма-квант с энергией Еγ = 19,7 МэВ. Пренебрегая скоростями вступающих в реакцию ядер, найти скорость образовавшейся альфа-частицы. Энергию покоя альфачастицы считать равной Еα = тαс2 = 3730 МэВ.
118
ОТВЕТЫ
1.1.А = 5 см; ω = 2 с−1; ν = 0,32 Гц; 3,14 с; φ0 = 0.
1.2.А = 3 sin 2 = 2,7 м; х0 = 1 м.
1.3.х(t1) = 8,1 см.
1.4.1) φ0 = − π/2; 2) φ0 = 0.
1.5.1) φ0 = 0; 2) φ0 = π/2.
1.6.х(t) = Аcos π(2nt/τ − l/3).
1.7.η = 1/4; 2) η = 1/12; 3) η = 1/6.
1.8.τ = (2πν)−1arcsin(S/A) = 0,03 с.
1.9.υm = Аω = 10 см/с; am = Аω2 = 10 см/с2.
1.10.ω(t) = (2παm/T) cos(2πt/T + φ0).
1.11.αm = l/n = 0,1 рад.
1.12.
= gαm.
1.13.а(t)/gαm =
= соs2 (2πt / T ) + α2msin2 (2πt / T )
1.14. υm = Аω = 3 м/с; am = Аω2 = 104 м/c2.
1.15. ω = 10c−1; А = 4 см.
1.17.x(t) = x0cos ω(t−t0) +
+(υ0/ω) sin ω(t−t0).
1.18.τ = 7T/12.
1.19.Aω2>g;
H= g/(2ω2) + A2ω2/(2g).
2.1.Уменьшится в 2 раза.
2.2. |
η = 2 . |
2.3. |
T = 2π A / g ; υm = Ag . |
2.5.k = mω2.
2.6.ω = ρgS / m .
2.7. ω = g 3 / l0 .
2.8.τ = π RЗ / g .
2.9. τ = 2π R / g .
2.10.k = mg/L.
2.11.g = 4π2n2l/τ2 = 8,9 м/с2.
2.12.l1 = ∆l/[(n1/n2)2 – 1] =18 см;
l2 = 50 см.
2.13.r = 2βρ0R/(ρ – ρ0) = 30 км.
2.14. |
aτ = (Ag/l)cos(t |
g / l +φ0); |
an = (A2g/l2) sin2(t g / l +φ0). |
||
2.15. |
1) T = T0 g / (g + a) = 1,9 с; |
|
2) T = T0 g / (g −a) |
= 2,7 с. |
|
2.16.T = 2π 4l / (5g0 ) = 1,8 с.
2.17. T = 2π l / g2 +a2 .
2.18.η = 1+ qE / mg .
2.19.T = 2π m(k1 + k2 ) / (k1k2 ) .
3.1.Е = kА2/2.
3.2.E = mgA2/(2l) = kA2/2.
3.3.E = 2m(πνA)2.
3.4.E = 0,09 Дж; υm = 2πх0/T.
3.5.η = γβ2=12.
3.6.η = 1/8.
3.7.η = M / (M − m) .
3.8.T = πυ0/[gsin(α/2)].
3.9. |
υx = |
Mυ |
|
cos (t |
k / (M + m) ). |
|
M −m |
||||||
|
|
|
|
|||
3.10. |
V 1 =A1 (1 + A2 / A1 )g / l ; |
|||||
V 2 = A2 (1 + A1 / A2 )g / l . |
|
|||||
3.11.η = n12 / ( n12 − 1) = 5,8.
3.13.ATP = E0(е−2ατ − 1) = -6,3 Дж.
3.14.AВН = |ΑТР| = 4μΜgA.
3.15.A = 0,5mgl α2m /(1 − η) = 94Дж.
3.16.υ = (b/2π) kg / P = 6,5 м/с.
3.17.l = b2g/(4π2υ2) = 1,1 м.
3.18.υ = 2L/T = 0,75 м/с.
119
4.2.x(t) = Acos(ωt + φ) =
=А]cos(ωt + φ1) + A2cos(ωt + φ2),
A = A12 + A22 +2A1 A2 cos(ϕ2 −ϕ1 ) ,
tg φ = =(A1sinφ1+Α2sinφ2)/(A1cosφ1+A2cosφ2).
4.3.A = A12 + A22 = 5 см.
4.4.1) y(t) = 7cos5t;
2) y(t) = cos(5t + π/4).
4.5.у = x; A = A1 2 .
4.6.x2+y2=A2.
4.7.1)y = A2x/A1;
2)y = −A2x/A1; 3)x2/ A12 +y2/ A22 = 1;
4)y = A2(x ± A12 −x2 )/(A1 2 ).
4.8.x(t) = υω0 cosα sinωt;
x(t) = υω0 sinα cosωt.
5.2.Δφ = ωΔt = ωr/υ.
5.3.ν = 50 Γц; λ = 6,3 м.
5.4.υm = Aω = 9,4 см/c; am = Aω2 = 30 м/с2.
5.5.υ = сН/ H2 −c2t2 = 580 м/с.
5.6.n = υ2/ υ1 = 4,1.
5.7.υC = l υB/(1− υBτ)=5 км/с.
5.8.υ0 =
=0,5υ( 1 + 2gτctgα / υ −1 )/cosα = =450 м/c.
5.9.J = P/(4πr2); A1/A2 = 2.
5.10.1) A = A1+A2; 2) A = |Al−A2|.
5.11.Δφ = 2πΔx/λ.
5.12. А =A1 2 + 2cos(2πΔx / λ) .
5.13.A = 2аcos(2πx/λ).
5.15.λ = 2l/3; υ = 2l/3ν.
5.16.l2 = 2 l1; υ = 4 l1ν.
6.1.Iт = 0,25 A.
6.2.ε1 = εm sin εmt = 5,25 B.
BSN
6.3.ν = 500 об/мин.
6.4.Um =20 B; φ = −π/6.
6.6.ε1 = 70 B.
6.7.T = 2π BSN / εm = 39 мс.
6.8.Im = π Bma d 2 / (4ρT).
6.9.T/T = 1/2.
6.10.I = Im/2.
6.11. I = Im / 2 .
6.12.U = U0. τ / T .
6.13. |
U = U0 |
τ / 2T . |
6.14. |
U = U0 |
τ / 3T . |
6.15. |
U = U0 |
17τ / 16T . |
6.16.I = I0 / 2.
7.1.R = (2πνC n2 −1 )−1 = 22,5 Ом.
7.2.L = U I2 −I12 /(2πνI1I)=0,13 Гн.
7.3.η = 3/(2πνRC)2 − 1/4 = 0,5.
7.4.R = 160 Ом; L = 0,5 Γн.
7.5.I = 8 A; UR = 170 B; UL =170 B; U = 220 B.
7.6.I = 0,37 А.
7.7.I(t) = ε0(l − cos ωt)/(ωL).
7.8.C(t) = C0(1 − t2/2LC0).
8.1.φ = 37°; Р = 770 Вт.
8.2.L = 0,16 Гн.
8.3. Р = 5U 2/(3R) = 16 Вт.
8.4.n1 = 200; n2 = 6600.
8.5.η= (1 + NPR/U2)−1 = 83%.
8.6.Да.
8.7.U = UlU0/(4U2) = 20 B.
8.8.n1/n2= U1 / U2 = 3.
9.1.I = V F / U = 1000 А.
9.2.ε= PR(1 −α) = 120 B; P1 = 250 Bт.
9.3.ε= (ε0 − IR)n2/n1 = 47 B.
9.4.η = 1-I/I0 = 40%.
9.5.N = UI(1 –I/I0) = 96 Вт.
9.6.Pm = U2/(4R) = 180 Bт; I0 = 3 A.
120