Добродеев Колебания и оптика. Атом и атомное ядро 2011

Ответ: φ = 65°.

Задачи для решения в классе и дома

17.1.Два точечных когерентных источника излучают свет с длиной волны λ = 0,6 мкм. Источники лежат на прямой, параллельной экрану, на расстоянии L = 3 м от него. Определите

минимальное расстояние ∆х от точки, расположенной на экране на равных расстояниях от источников, до следующего максимума освещенности. Расстояние между источниками d = 0,5 мм.

17.2.На бипризму Френеля (рис.

17.5) с углом φ << 1 и показателем преломления n падает широкий пучок света

параллельно ее оси. На каком расстоянии а от бипризмы надо располагать экран, чтобы можно было наблюдать интерференцию? Размер бипризмы L.

17.3.На поверхности стекла находится тонкая пленка воды. На нее нормально падает свет с длиной волны λ = 0,68 мкм. Найти скорость υ, с которой уменьшается толщина пленки из-за испарения, если интенсивность отраженного света меняется так, что промежуток временя между последовательными максимумами интенсивности отраженного света ∆t =

=15 мин.

17.4.Тонкую собирающую линзу (рис.

монохроматическим светом на экране, расположенном на удалении b = 220 см от билинзы, наблюдается интерференционная картина с расстоянием ∆х = 1 мм между максимумами. Найдите длину волны λ.

17.5. На дифракционную решетку, имеющую период d = 4 мкм, нормально падает монохроматическая волна. Оценить длину волны λ, если угол между спектрами второго и третьего порядков α = 2°30'. Углы откло-

91

нения волны от первоначального направления распространения считать малыми.

17.6.На дифракционную решетку, имеющую N = 500 штрихов на миллиметр, падает плоская монохроматическая волна (λ = 500 нм). Опре-

делить наибольший порядок спектра Kмакс, который можно наблюдать при нормальном падении лучей на решетку.

17.7.На дифракционную решетку, имеющую период d = 2 мкм, падает нормально свет, пропущенный сквозь светофильтр. Фильтр пропус-

кает длины волн от λ1 = 500 нм до λ2 = 600 нм. Будут ли спектры разных порядков перекрываться?

17.8.На дифракционную решетку, имеющую период d = 4 мкм, падает нормально монохроматическая волна. За решеткой расположена линза, имеющая фокусное расстояние F = 40 см, которая дает изображение дифракционной картины на экране. Определить длину волны λ, если первый максимум получается на расстоянии l = 5 см от центрального.

17.9.Луч белого света падает под углом α = 30° на призму, преломляющий угол которой φ = 45°. Определить угол β между крайними лучами спектра по выходе из призмы, если показатели преломления стекла призмы для крайних лучей видимого света пкр =1,62 и пф =1,67.

18.Кванты. Фотоэффект

В 1900 году немецкий физик Макс Планк высказал предположение, что электромагнитное излучение нагретого тела происходит не непрерывно, а порциями – квантами, энергия которых пропорциональна частоте излучения:

E = hν,

где h = 6,62·10−34 Дж·с – постоянная Планка.

В дальнейшем было доказано также, что электромагнитное излучение поглощается и распространяется в виде квантов (или фотонов).

Фотон имеет энергию E = hν и импульс р = Ec = hcν = λh . Ско-

рость электромагнитного излучения в вакууме с = 300000 км/с. Примером явления, в котором электромагнитное излучение про-

являет себя как поток фотонов, может служить фотоэффект. Внешний фотоэффект – явление испускания электронов веще-

ством под действием света.

92

Если на катод (рис. 18.1) направить поток света, то с него будут вылетать электроны (фотоэлектроны) и двигаться к аноду. В цепи пойдет ток (фототок).

Основные закономерности фотоэффекта:

1)при увеличении напряжения фототок достигает насыщения;

2)ток насыщения пропорционален потоку энергии падающего света (интенсивности);

3)при перемене полярности при некотором значении напряжения Uз (задерживающее напряжение) фототок прекращается.

4)фототок возникает только при облучении светом с частотой,

большей некоторой граничной частоты νкр (красная граница), причем νкр определяется только веществом облучаемой поверхности.

Сквантовой точки зрения явление фотоэффекта в 1905 году объяснил А. Эйнштейн.

Согласно предположению А. Эйнштейна квант, падающий на поверхность, поглощается электроном в веществе. При этом электрон получает энергию, равную энергии кванта hν, часть которой

Авых затрачивается им на преодоление связи с веществом, оставшаяся часть составляет кинетическую энергию вылетевшего электрона.

Всоответствии с этой картиной взаимодействия можно записать закон сохранения энергии, которое носит название уравнения Эйн-

штейна для фотоэффекта:

mV 2

hν = max + Авых. 2

Энергия Авых, называемая работой выхода, – это наименьшая энергия, необходимая для того, чтобы электрон мог покинуть вещество.

Отметим, что работа выхода различна для различных веществ. Уравнение справедливо для самых быстрых электронов, выле-

тающих непосредственно с поверхности.

Минимальная частота (длина волны) фотона, при которой начинается фотоэффект, называется красной границей:

93

Пример 18.1. Сколько фотонов видимого света испускает электрическая лампочка мощностью Р = 100 Вт за время t = 1 с? Длина волны излучения, соответствующая средней энергии фотона, λ = = 600 нм, а световая отдача лампы η = 3,3%.

Решение. Число N фотонов, испускаемых лампочкой, N = ηE/ε, ηE – энергия светового излучения лампочки, ε – энергия фотона, E = Рt, ε = hc/λ, поэтому

Ответ: N = ηhcРtλ = 0,997·1019 фотонов.

Пример 18.2. Красная граница фотоэффекта для вещества фотокатода λ0 = 290 нм. При облучении катода светом с длиной волны λ фототок прекращается при напряжении между катодом и анодом U = 1,9 В. Определить длину волны λ.

Решение. Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

Связь красной границы и работы выхода hc = Авых, запирающее

λ0

mυ2

напряжение связано с кинетической энергией электрона 2max =еU.

Определяя из этих соотношений длину волны излучения, получим:

94

1

Ответ: λ = λ0 1+ еUhcλ0 = 200 нм.

Задачи для решения в классе и дома

18.1.Определите число квантов N, излучаемых лазером в импульсе, если средняя мощность излучения Р = 1, 43 кВт при длительности импульса τ = 4 мс. Длина волны излучения λ = 0,69 мкм.

18.2.Найдите энергию Е и импульс р кванта света, длина волны которого λ = 500 нм.

18.3. Мощность точечного источника монохроматического света Р0 = 10 Вт при длине волны λ = 500 нм. На каком максимальном расстоянии этот источник еще будет замечен человеком, если глаз реагирует на световой поток N = 60 фотонов за время τ = 1 с? Диаметр зрачка

d= 0,5 см.

18.4.Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов, вылетаю-

щих из рубидия при его освещении ультрафиолетовыми лучами с длиной волны λ = 317 нм, равна Kм = 2,84·10−19 Дж. Определите длину волны λкр, соответствующую краcной границе фотоэффекта для рубидия.

18.5.До какого максимального потенциала φ зарядится удаленный от других тел медный шарик при облучении его излучением с длиной волны

λ= 150 нм? Работа выхода электрона для меди А = 4,5 эВ.

18.6.Под действием света с длиной волны λ = 400 нм фотоэлектрон

вылетает с поверхности медного шарика радиусом R = 50 cм, имеющего заряд q = 1,11·10−10 Кл. Считая, что электрон вылетел в радиальном направлении, найти расстояние r0, на которое он удалится от центра шарика.

18.7.При поочередном освещении поверхности некоторого металла

светом с длинами волн λ1 = 350 нм и λ2 = 540 нм обнаружили, что соответствующие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в n = 2 раза. Найти работу выхода с поверхности этого металла.

18.8.Во сколько раз отличается давление света, производимое на идеально белую поверхность, от давления, производимого на идеально черную поверхность, при прочих равных условиях?

95

19. Основные положения теории относительности

Новые представления о пространстве и времени введены А. Эйнштейном в 1905 г. и названы специальной теорией относительности (релятивистской теорией).

В ее основе лежат два принципа – принцип относительности и принцип постоянства скорости света.

Принцип относительности А. Эйнштейна: все инерциальные системы отсчета физически равноправны – любые физические процессы протекают в них одинаково (при одних и тех же начальных условиях).

Принцип относительности А. Эйнштейна является обобщением механического принципа относительности Галилея на все другие физические процессы.

Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакуу-

ме одинакова в любой инерциальной системе отсчета и не зависит от скорости источника или приемника.

Из этих двух принципов следуют относительность понятия одновременности событий и относительность длины.

Назовем собственным время τ0 между двумя событиями, происходящими в одной точке. Тогда время τ между этими событиями в другой инерциальной системе, движущейся относительно первой со скоростью υ,

1 − υ2 c2

Cобственной назовем длину l0 стержня в той инерциальной системе отсчета, где он покоится. Тогда его длина l в другой инерциальной системе, движущейся относительно первой со скоростью υ,

Релятивистский закон сложения скоростей имеет вид:

96

где υx – скорость частицы в инерциальной системе 1; υx' – скорость частицы в инерциальной системе 2; Ux – скорость инерциальной системы 2 относительно инерциальной системы 1.

Релятивистское выражение для полной энергии частицы массой m, имеющей скорость V:

Из этого выражения следует, что любая покоящаяся частица с

массой m имеет энергию покоя

Е0 = mс2.

Кинетическая энергия К частицы определяется как

и при малых скоростях V << c переходит в классическое выражение

К ≈ m2υ2 .

Релятивистское выражение для импульса p частицы, имеющей скорость υ:

Непосредственная связь между полной энергией и импульсом

частицы:

Е2 − р2с2 = (mс2)2.

Примеры решения задач

Пример 19.1. Имеется треугольник, собственная длина каждой стороны равна а. Найти периметр этого треугольника в системе отсчета, движущейся относительно него с постоянной скоростью υ вдоль одной из его биссектрис (рис. 19.1).

97

Решение. В собственной системе отсчета периметр треугольника равен Р0 = 3а. В системе отсчета, относительно которой треугольник движется, уменьшаются размеры вдоль направления

Периметр треугольника в системе отсчета, движущейся относительно него с постоянной скоростью υ вдоль одной из его биссектрис:

В пределе υ << c имеем

Пример 19.2. Два протона движутся навстречу друг другу с кинетической энергией Т = 10 ГэВ каждый. Какова будет кинетическая энергия Т0 протона в системе отсчета, где другой покоится?

Решение. Определим сначала скорость частицы в той системе отсчета, где другая покоится, то есть относительную скорость υо.

98

По правилу сложения скоростей (υ – скорость каждого протона с кинетической энергией Т)

При скорости υо кинетическая энергия

Подставив в последнее равенство выражение υо через υ, получим

Задачи для решения в классе и дома

19.1.Стержень движется в продольном направлении с некоторой скоростью υ. При каком значении υ длина стержня будет на α = 0,5 % меньше его собственной длины?

19.2.Какую продольную скорость υ нужно сообщить стержню для того, чтобы его длина стала равной половине длины, которую он имеет в состоянии покоя?

19.3. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы τ0 = 10 нс. Найти путь, который может пролететь эта частица до распада в лабораторной системе, где ее время жизни τ = 20 нс.

19.4. Мюон, движущийся со скоростью υ = 0,99с относительно Земли, пролетел от места своего рождения до точки распада расстояние l = 3 км. Определить собственное время жизни мюона.

19.5. С какой скоростью двигались часы, если за время t = 0,5 с, измеренное по неподвижным часам, их отставание составило ∆t = 0,1 с?

99

19.6. Протон движется с импульсом р = 10 ГэВ/с, где с − скорость света. На сколько процентов отличается скорость этого протона от скорости света?

19.7. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями υ1 = 0,5с и υ2 = 0,75с. Найти относительную скорость частиц.

19.8.Космический корабль движется относительно Земли со скоростью υ = 0,6 с. Во сколько раз уменьшается его длина для наблюдателя на Земле?

19.9.Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в n = 2 раза превышает ее классический импульс.

19.10.При какой скорости кинетическая энергия частицы равна ее энергии покоя?

19.11.Найти зависимость импульса частицы с массой т от ее кинети-

ческой энергии Т. Вычислить импульс протона с кинетической энергией

Т= 500 МэВ.

19.12.Найти скорость частицы, кинетическая энергия которой

Т= 500МэВ и импульс р = 865 МэВ/с, где с − скорость света.

19.13.Частица массой m в момент t = 0 начинает двигаться под действием постоянной силы F. Найти скорость частицы в зависимости от времени t.

19.14.Масса тела т = 1кг. Какое время за счет энергии покоя этого тела могли бы гореть лампочки мощностью Р = 100 Вт у каждого москвича? Считать, что в Москве 10 млн. жителей.

19.15.При скорости частицы V0 импульс частицы равен р0. Во сколько раз нужно увеличить скорость частицы, чтобы ее импульс удвоился?

19.16.Какую работу надо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой т от 0,6с до 0,8с?

20.Строение атома

Известно, что все тела состоят из молекул и атомов. Размеры атомов составляют 10−10 м . В состав атомов входят отрицательно

заряженные электроны. Поскольку атом в целом обычно электрически нейтрален, встает вопрос о том, как по объему атома распределены положительные и отрицательные заряды. На этот вопрос ответ дали опыты Э. Резерфорда (1911 г.).

Эти опыты показали, что в центре атома находится небольшое массивное положительно заряженное ядро, вокруг которого по ор-

100