Добродеев Колебания и оптика. Атом и атомное ядро 2011

битам движутся электроны под действием силы электрического притяжения (подобно движению планет вокруг Солнца под действием гравитационного притяжения). Поэтому модель атома по Ре-

зерфорду называют планетарной ядерной моделью атома.

Однако в такой модели атом оказывается неустойчивым. Действительно, электроны, двигаясь вокруг ядра с ускорением, должны излучать электромагнитные волны, терять свою энергию и, в конце концов, упасть на положительно заряженное ядро. Оценки показывают, что это должно произойти за времена порядка 10−11 с. На самом деле этого не происходит – атомы в отсутствие внешних воздействий являются устойчивыми.

Следующий шаг в развитии представлений о строении и свойствах атома сделал датский физик Н. Бор (1913 г.). Развивая квантовые представления Планка и Эйнштейна, он перенес представления о дискретности энергии на атомы и предложил три постулата.

Первый постулат Бора. Существуют стационарные состояния атомов, в которых атом не излучает.

В стационарном состоянии атом характеризуется определенной полной энергией. Энергии стационарных состояний образуют дискретный набор значений Е1, Е2, Е3, … Набор энергетических уровней атома изображен на рис. 20.1.

Излучение кванта происходит, если En > Em, в противном случае происходит поглощение кванта электромагнитной волны.

101

Третий постулат. В стационарном состоянии атома электрон может иметь лишь квантованные значения момента импульса

Ln =n ,

где n = 1, 2, 3, … (для круговых орбит L = mrυ).

С помощью этих постулатов Н. Бор построил теорию атома с одним электроном – водородоподобного атома и объяснил закономерности спектров таких атомов.

Водородоподобный атом – это либо атом водорода, либо ион с одним электроном. Заряд ядра водородоподобного атома равен Ze, где Z – число протонов в ядре.

Если считать, что единственный электрон такого атома движется по круговой орбите, то:

Здесь m = 0,91·10–30 кг – масса электрона, е = 1,6·10–19 Кл – эле-

ментарный электрический заряд, ħ = 2hπ = 1,05·10–34 Дж·с – посто-

янная Планка перечеркнутая, с = 3·108 м/с – скорость света, ε0 = = 8,85·10–12 Ф/м – электрическая постоянная.

Число n, определяющее энергию стационарного состояния ато-

ма, называется главным квантовым числом.

В случае атома водорода (Z = 1) энергия:

Состояние атома с наименьшей энергией называется основным. Другие состояния атома являются возбужденными.

Энергия основного состояния атома водорода:

102

причем 1 эВ = 1,6 10–19 Дж.

Скорость электрона в основном состоянии

Радиус орбиты электрона в основном состоянии атома водорода: r1 = a = 4meπε20Z2 = 0,53 10−10 м .

Эта величина называется первым боровским радиусом.

Исходя из второго постулата Бора, получим частоту излучения атома водорода при переходе из состояния с главным квантовым числом n в состояние с квантовым числом k:

Полученную формулу для частоты можно записать в виде

ν = R k12 − n12 ,

где R − постоянная Ридберга:

Если на основе последней формулы для ν рассчитать частоты излучения атома водорода, получаются численные значения, хорошо согласующиеся со спектроскопическими данными.

Однако в рамках только представлений Бора оказалось невозможным построить всеобъемлющую теорию микрочастиц.

Следующий шаг в изменении представлений о свойствах микрочастиц был сделан в 1924 г. французским физиком Л. де Бройлем. Он выдвинул гипотезу, что волновыми свойствами обладает не только свет, но и микрочастицы, − атомы, молекулы, электроны, атомные ядра.

Л. де Бройль частице, движущейся с энергией Е и импульсом р, сопоставил волновой процесс, для которого:

103

λ = hp ,ν = Eh .

Эта гипотеза в дальнейшем была подтверждена многочисленными опытами, например, наблюдалась дифракция электронного пучка на поликристаллах. На основе этой гипотезы в 1930-х годах была создана теория, адекватно описывающая свойства микрочастиц – квантовая механика.

Примеры решения задач

Пример 20.1. Атом водорода поглощает фотон, вследствие чего электрон. находившийся в состоянии с главным квантовым числом n = 2, вылетает из атома со скоростью υ = 600 км/с. Чему равна частота ν фотона?

Решение. Запишем закон сохранения для процесса (этот процесс называют атомным фотоэффектом):

где Есв – энергия связи электрона в атоме водорода, равная

m – масса электрона. Из этого закона получаем частоту кванта:

Пример 20.2. Энергия связи электрона в основном состоянии атома Не равна Е0 = 24,6 эВ. Найти энергию Е, необходимую для удаления обоих электронов из этого атома.

Решение. Энергия Е, необходимая для удаления двух электронов из атома гелия, складывается из энергии удаления одного (из двух) электрона из атома – она равна энергии связи Е0 – и энергии удаления Е1 оставшегося электрона от ядра: Е = Е0 + Е1.

104

Атом гелия после удаления одного электрона – это водородоподобный атом с зарядом ядра qя = +2e.

Энергия связи электрона в водородоподобном атоме

В данном случае n = 1, Z = 2, поэтому

Пример 20.2. Атом массой m в возбужденном состоянии имеет полную внутреннюю энергию на Е больше, чем в основном состоянии. Определить минимальную энергию Емин электрона массы mе, который мог бы перевести атом в указанное возбужденное состояние.

Решение. Законы сохранения энергии и импульса для данного процесса в системе отсчета, где первоначально атом покоится,

ности начальной энергии электрона полагаем его скорость после

Пример 20.4. Гамма-квант с энергией Е = 1 МэВ рассеивается под углом φ = 90° на протоне. Определить кинетическую энергию K рассеянного протона.

105

Решение. Применим для рассмотрения этого процесса законы сохранения энергии и импульса в системе отсчета, где первоначально протон покоится:

E + mc2 = E1 + Ер, p = p1 + pp .

Здесь mc2 – энергия покоя протона, E, p и E1, p1 − энергия и импульс гамма-кванта до и после рассеяния на протоне, Ер и pp −

полная энергия и импульс протона после рассеяния.

Связь между энергией и импульсом гамма-кванта E = pc, между энергией и импульсом протона − Ер2 = p2pс2 + m2c4 .

Для нахождения кинетической энергии рассеянного протона закон сохранения импульса запишем в виде:

pp = p − p1

и возведем в квадрат, умножив на с2:

Выражение для закона сохранения энергии запишем в виде

Ер = E − E1 + mc2,

и возведем в квадрат:

Из сравнения (1) и (2) получаем

(E − E1) mc2 = ЕЕ1(1 − соs φ),

откуда

Так как K = Ер − mc2 = E − E1, то

K = Е 1 − 1 + (1 − cos1ϕ) E(mc2 ) .

Учитывая, что cos 90° = 0, Е << mc2, то используя приближенное равенство (1 + х)−1 ≈ 1 – х, окончательно получаем:

106

Задачи для решения в классе и дома

20.1.На какое минимальное расстояние приблизится α-частица с кинетической энергией Т = 0,4 МэВ при лобовом соударении к покоящемуся ядру атома свинца?

20.2.На какое минимальное расстояние приблизится α-частица с ки-

нетической энергией Т = 0,4 МэВ при лобовом соударения к первоначально покоившемуся свободному ядру 7Li?

20.3.Полный заряд ядра атома q = 2,08·10−18 Кл. Что это за элемент?

20.4.При облучении паров ртути электронами энергия атома ртути увеличивается на Е = 4,9 эВ. Какова длина волны излучения, которое испускают атомы при переходе в основное состояние?

20.5.Для ионизации атома кислорода необходима энергия Е = 14 эВ. Найти частоту излучения, которое может вызвать ионизацию.

20.6.Фотон с энергией Е = 15 эВ выбивает электрон из покоящегося атома водорода, находящегося в основном состоянии (энергия связи электрона Е0 = 13,6 эВ). С какой скоростью υ движется электрон вдали от ядра?

20.7.Покоившийся возбужденный атом массой m = 1,67·10−27 кг испустил фотон с энергией Е = 10,2 эВ. Какую скорость приобрел атом?

20.8.Чему равна кинетическая энергия движения электрона в атоме водорода на боровской орбите с квантовым числом п = 2? Полная энергия электрона в основном состоянии Е0 = 13,6 эВ.

20.9.Чему равна потенциальная энергия электрона в атоме водорода на боровской орбите с квантовым числом п = 2? Полная энергия электрона в основном состоянии Е0 = −13,6 эВ.

20.10.Определить скорость движения электрона в атоме водорода на боровской орбите с квантовым числом п = 3.

20.11.Какому элементу принадлежит водородоподобный спектр, длины волн линий которого в четыре раза короче, чем у атомарного водорода?

20.12.Во сколько раз увеличится радиус орбиты электрона в атоме водорода при возбуждении его фотоном энергии Е = 12,09 эВ? Энергия основного состояния Е0 = −13,6 эВ.

20.13.Во сколько раз изменяется энергия атома водорода при переходе электрона со второй орбиты на четвертую?

20.14.Радиус орбиты электрона при поглощении кванта возрастает в 9 раз. Как изменяется энергия электрона?

107

21. Атомное ядро. Элементарные частицы

Состав ядра. Атом состоит из электронной оболочки и атомного ядра. Атомные ядра разных элементов имеют размеры RЯ ~

~10−14÷10−15 м.

Вядрах сосредоточена практически вся масса атомов, так как

масса электрона me << mат.

Заряд ядер положителен и равен qЯ = + Ze, где Z − порядковый номер химического элемента в периодической системе Д.И. Менделеева

Атомные ядра состоит из протонов и нейтронов (общее название – нуклоны). Атомные ядра называют также нуклидами.

Протон и нейтрон имеют очень близкие массы:

Заряд протона qp = + e, заряд нейтрона qn = 0.

Число протонов в ядре Z определяет заряд ядра и число электронов в электронной оболочке и тем самым химические свойства элемента. Число нейтронов N в ядрах одного элемента может быть разным, полное число нуклонов А = Z + N – также разным.

Обозначение ядра: ZA X , где Х – символ элемента.

Разновидности химически элементов, атомы которых различаются по массе, называют изотопами.

У водорода – три изотопа: 11H – обычный водород, 21H – тяжелый водород (дейтерий), 21H – сверхтяжелый водород (тритий). Последний изотоп в природе не существует и получен искусственно.

Углерод в естественном состоянии имеет два изотопа: 126 C, 136 C . Масса атома изотопа М(126 C ) принимается за основу атомной

единицы массы (а.е.м.):

1 а.е.м. = 121 M (126 C) .

Масса протона в а.е.м. равна mp = 1,0073 а.е.м. и близка к единице, масса нейтрона – mn = 1,0087 а.е.м. таже близка к единице,

108

поэтому масса ядра в а.е.м. в первом приближении равна числу нуклонов А.

Многие атомные ядра имеют форму, близкую к шарообразной. Средний радиус ядра с числом нуклонов А

RA = r0 A1/3 ,

где r0 = 1,3 10-15 м.

Энергия связи атомных ядер. Полная энергия системы частиц

всвязанном состоянии всегда меньше, чем энергия этих же частиц

всвободном состоянии. Причина состоит в том, что для разделения связанной системы на свободные частицы необходимо затратить некоторую энергию, чтобы преодолеть силы притяжения между связанными частицами.

Вядре эти силы возникают из-за ядерного взаимодействия между нуклонами, превышающего электрическое отталкивание между протонами.

Минимальная энергия, которую необходимо затратить для разделения атомного ядра на составляющие его нуклоны, называется

энергией связи ядра.

Энергия связи атомного ядра может быть выражена через массы частиц:

где mp, mn – массы протона и нейтрона; mя – масса ядра. Величина m = Zmp + Nmn − mя

называется дефектом массы атомного ядра.

При объединении протонов и нейтронов в атомное ядро за счет работы сил ядерного притяжения выделяется энергия, равная по модулю энергии связи ядра.

Радиоактивный распад. Некоторые ядра могут самопроизвольно распадаться, превращаясь в ядра других элементов путем испускания одной или нескольких легких частиц. Такие ядра назы-

ваются нестабильными или радиоактивными.

Различают три основных вида радиоактивности:

1) альфа-распад – атомное ядро испускает α-частицы (ядро атома гелия 42 He ), превращаясь в ядро другого элемента;

109

2)бета-распад – атомное ядро испускает электрон е− или позитрон е+, превращаясь в ядро другого элемента;

3)гамма-излучение – испускание ядром гамма-квантов, т.е. фото-

нов с большой энергией и малой длиной волны λ 10−10÷10−14 м. При радиоактивном распаде происходит превращение части

энергии покоя атомного ядра в кинетическую энергию осколков. Если происходит распад ядра Х на две частицы Y и Z, то со-

гласно закон сохранения энергии:

mXc2 + mYc2 = mZc2 +TY +TZ ,

где TY и TZ – кинетические энергии ядер Y и Z.

Отсюда получаем энергетическое условие, необходимое для протекания радиоактивного распада:

mX > mY + mZ .

Аналогичное условие должно выполняться при распаде на более чем две частицы.

Радиоактивный распад – процесс статистический (как и все процессы в микромире), т.е. нельзя предсказать, когда именно распадется конкретное нестабильное ядро. Характеристикой этого про-

цесса является период полураспада.

Период полураспада Т½ определяется как время, в течение которого распадается половина ядер.

Если взять большое число N0 одинаковых радиоактивных ядер, то их число уменьшается со временем из-за распада

− t ln 2

N(t) = N0e Т½ .

Эту зависимость называют законом радиоактивного распада.

Ядерные реакции. С атомными ядрами могут происходить и искусственные превращения – ядерные реакции.

Схема таких превращений записывается в виде

А + а → В + b,

где А – исходное ядро, а – бомбардирующая частица, b – испускаемая частица, В – ядро-продукт. Например:

147 N + 42 He → 178 O +11 H .

При протекании ядерных реакций выполняются законы сохранения: энергии, импульса, заряда, числа нуклонов и др.

110