Добродеев Колебания и оптика. Атом и атомное ядро 2011

Пример 14.2. Два одинаковых вогнутых сферических зеркала поставлены друг против друга так, что их фокусы совпадают. Светящаяся точка S помещена на их общей оси, на расстоянии а от первого зеркала. Где получится изображение после отражения лучей от обоих зеркал?

Решение. Достаточно аккуратное построение показывает, что изображение будет там же, где источник (построение рекомендуется повторить самостоятельно).

Для строгого доказательства необходимо применить формулу зеркала. По отношению к зеркалу 1 (рис. 14.5) расстояние источника S до него равно а, расстояние изображения S' до первого зеркала a' (в случае, изображенном на рисунке, изображение S' мнимое, то есть a'<0). Связь между ними

1а + а1' = F1 .

Рис. 14.5

Изображение S' в первом зеркале будет предметом для второго, расстояние его до второго зеркала равно (2F − a'). Расстояние изображения во втором зеркале до этого зеркала обозначим через х. Тогда

Из этих соотношений находим х, исключая a':

х = 2F – a.

Расстояние до первого зеркала х1 = 2F – х = a, то есть положение изображения совпадает с положением источника.

Пример 14.3. Металлический шарик подбрасывают вертикально вверх из вершины вогнутого зеркала с радиусом кривизны R = 7,5

71

На высоте, равной фокусному расстоянию F = R/2 , шарик будет в моменты t1 и t2, определяемые из уравнения R/2 = υ0 t – gt2/2:

Задачи для решения в классе и дома

14.1. Построить изображение предмета АВ в вогнутом зеркале, расположенного между вершиной и фокусом зеркала (рис. 14.7).

72

14.2.Найти положение изображения светящейся точки S, расположенной на главной оптической оси вогнутого зеркала (рис. 14.8).

14.3.На рис. 14.9 показаны главная оптическая ось OO' зеркала и положения источника света S и его изображения S'. Построением определите положения вершины и фокуса. Какое это зеркало?

14.4.На рис. 14.10 показаны главная оптическая ось зеркала ОО' и ход падающего АВ и отраженного А'В' лучей. Построением определить положение вершины и фокуса. Какое это зеркало?

14.5. Построить в выпуклом зеркале изображение предмета АВ, расположенного на главной оптической оси (рис. 14.11).

14.6. На главной оптической оси зеркала на расстоянии d (2F > d > F) от его полюса помещен точечный источник света. На каком расстоянии l от вогнутого зеркала нужно поставить плоское зеркало, чтобы лучи, отраженные от вогнутого, а затем от плоского зеркала, вернулись в точку, где находился источник?

14.7.Можно ли будет увидеть в выпуклом зеркале изображение предмета, находящегося на главной оптической оси, если верхнюю половину зеркала, включая полюс, закрыть непрозрачным экраном?

14.8.При каком расположении предмета (d < F, F <d < 2F, d > 2F) его изображение в вогнутом зеркале будет увеличенным и перевернутым?

14.9.Предмет равномерно движется вдоль главной оптической оси вогнутого зеркала от полюса в бесконечность. Какой промежуток времени

больше: а) τ1, в течение которого изображение этого предмета будет мнимым; б) τ2, в течение которого изображение будет действительным и увеличенным?

14.10.Сходящиеся лучи падают на

после отражения от зеркала?

14.11. Предмет расположен на главной оптической оси вогнутого зеркала так, что его мнимое изображение, создаваемое зеркалом, в т1 = 2

73

раза больше самого предмета. Определить, на какое расстояние l надо передвинуть предмет вдоль оптической оси, чтобы его изображение оказалось в т2 = 3 раза меньше самого предмета. Фокусное расстояние зеркала F = 1 м.

14.12. Точечный источник света перемещается равномерно от центра кривизны зеркала до его полюса. Как перемещается при этом изображение источника и как изменяется его скорость? Во сколько раз средняя скорость перемещения изображения больше скорости перемещения предмета на участке от l1 = 1,5F до l2 = 1,1F? В какой точке положения источника при его перемещении скорость изображения наибольшая?

15. Тонкие линзы

Линза – это прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями (рис. 15.1).

Прямая О1О2, на которой лежат центры обоих сферических поверхностей, называется глав-

ной оптической осью линзы.

Одна из поверхностей линзы может быть плоской.

Тонкие линзы – это линзы, тол-

щина которых много меньше радиусов поверхностей, образующих линзу. Тонкую линзу при построениях и расчетах можно заменять одной плоскостью.

Оптический центр линзы –

это точка С (рис. 15.2), проходя через которую, любой луч не изменяет своего направления. Она является точкой пересече-

ния плоскости линзы главной Рис. 15.2 оптической осью.

Оптический центр находится на главной оптической оси в центре линзы.

Побочная оптическая ось – любая прямая, проходящая через оптический центр линзы.

Если линза посредине толще, чем по краям, то такую линзу независимо от формы будем называть выпуклой, если она находится в

74

среде с меньшей оптической плотностью. И вогнутой, если она посредине тоньше, чем по краям.

Если на выпуклую линзу направить узкий пучок света вдоль главной оптической оси, то, пройдя через линзу, он преломится так, что соберется в точке F, которая называется фокусом линзы

(см. рис. 15.2).

Выпуклые линзы называют иначе собирающими.

Если на вогнутую линзу направить узкий пучок света вдоль главной оптической оси, то пройдя через линзу, он будет расходиться так, что продолжения лучей будут пересекаться в одной

точке F, которая является мнимым фокусом линзы (рис. 15.3).

Вогнутые линзы называются

щая на главной оптической оси, в которой пересекается пучок лучей (или продолжений лучей) света, вышедших из тонкой линзы, если эти лучи падают на линзу параллельно главной оптической оси.

Фокальная плоскость – это плоскость, которая проходит через фокус линзы перпендикулярно главной оптической оси.

Фокусное расстояние – это расстояние от оптического центра до фокуса.

Оптическая сила линзы Ф – величина, обратная фокусному расстоянию F:

Ф = 1/F.

Измеряется оптическая сила в диоптриях (дптр).

1 диоптрия – это оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 м:

1дптр = 1 м–1.

Усобирающих линз оптическая сила положительна, у рассеивающих – отрицательна.

Для построения изображений предметов необходимо знать ход основных лучей (рис. 15.4, а – собирающая линза, рис. 15.4, б – рассеивающая линза).

75

1

Рис. 15.4

1.Луч, падающий параллельно главной оптической оси, преломляясь, проходит сам или его продолжение через задний фокус линзы.

2.Луч, идущий через оптический центр линзы, проходит, не изменяя своего направления.

3.Луч, проходящий через передний фокус линзы, преломляясь, проходит параллельно главной оптической оси.

Любой видимый предмет виден только потому, что он испускает или отражает расходящийся пучок света. Такой предмет называ-

ется действительным.

С помощью оптических систем можно получить изображения предметов. Если изображение получается в точках пересечения самих лучей, вышедших из оптической системы, оно будет действительным. Если изображение получается в точках пересечения продолжений лучей, вышедших из оптической системы, то оно будет

мнимым.

Мнимый предмет (для просто-

ты рассмотрим мнимую точку) создается сходящимся пучком лучей, продолжения которых пересекаются в одной точке по другую

сторону линзы (точка Р на рис.

Рис. 15.5 15.5).

76

Мнимые предметы приходится рассматривать в системах линз.

Рис. 15.6

Расположим перед линзой светящийся предмет в виде отрезка длиной h перпендикулярно ее главной оптической оси (pис. 15.6).

Для таких отрезков в приближении параксиальных лучей изображение будет тоже поперечным к оси отрезком, как и в случае сферического зеркала. Обозначим расстояние от предмета до линзы как d, а расстояние от линзы до изображения h′ как f.

Формула линзы определяет связь между d, f и F. Она имеет вид: d1 + 1f = F1 .

Как и для сферического зеркала, применение формулы линзы требует соблюдать правило знаков: если изображение (фокус, предмет) являются действительными, то соответствующее расстояние положительно; в противном случае – отрицательно.

Поперечные размеры предметов и изображений, как правило, разные. Эта разница характеризуется коэффициентом поперечного увеличения

Γ = hh′ .

Из правил построения изображений следует, что

Γ = df .

Примеры решения задач

Пример 15.1. Найти коэффициент увеличения β светящегося отрезка длины L = 70 см, расположенного вдоль главной оптической оси линзы (коэффициент продольного увеличения). Расстоя-

77

ние ближнего к фокусу конца отрезка до фокуса равно a = 10 см, оптическая сила линзы D = 2 дптр.

Рис. 15.7

Отрезок А'В' – изображение отрезка АВ (рис. 15.7). Если длина АВ равна L длина А'В' равна L', то коэффициент продольного увеличения естественно определить как β = L'/L. Длину L' можно определить как разность расстояний точек А' и В' (изображений точек А и В) от линзы, а это можно сделать с помощью формулы линзы. Применим ее:

а) для точки А:

Пример 15.2. Тонкая линза с фокусным расстоянием F = 40 см вплотную прилегает к плоскому зеркалу (рис. 15.8). На оптической оси линзы, на высоте d = 50 см от нее, находится светящаяся точка S. На

каком расстоянии l от зеркала находится изображе-

Рис. 15.8 ние?

78

Решение. Так как, судя по численным данным, d > F, то изображение в линзе (без зеркала) будет действительным и должно находиться снизу от линзы. Расстояние f изображения от линзы определяется из формулы линзы

d1 + 1f = F1

и равно

По отношению к зеркалу это изображение будет мнимым предметом, его изображение в зеркале – действительным и должно было бы находится сверху от зеркала на расстоянии f = 2 м. По отношению к линзе это изображение в зеркале является мнимым предметом (через линзу проходит сходящийся пучок), и его расстояние до линзы d1 = −f. Формула линзы в этом случае имеет вид

−1 + 1 = 1 , f f1 F

откуда

Таким образом, изображение светящейся точки в рассмотренной системе находится сверху от нее на расстоянии l = f1 = 33 см.

Самостоятельно можете рассмотреть случай d < F.

Ответ: l = fF/(f+F) = 33 см.

Пример 15.3. Перемещая линзу вдоль главной оптической оси, получают два отчетливых изображения предмета на экране, находящемся на неизменном от него расстоянии: одно − высотой h1 = = 10 мм, другое − высотой h2 = 40 мм. Найдите высоту предмета h.

Так как отношение поперечных размеров изображения и предмета есть коэффициент поперечного увеличения Γ = h1/h, то один из методов решения задачи сводится к написанию уравнения для Γ.

Исходим из формулы линзы и следующих соотношений: d1 + 1f = F1 , d + f = L; Γ = f/d.

79

Здесь L – расстояние между предметом и экраном, F – фокусное расстояние линзы, другие обозначения − на рис. 15.9.

Рис. 15.9

Из формулы линзы следует, что (d + f)F =d f ; из соотношения

для Γ следует, что f = Γd. Исключая f, получаем два соотношения:

LF = Γd 2; d (1 + Γ) = L.

Исключая d, получим уравнение для Γ:

FL = (Γ +Γ1)2 .

Важно, что уравнение содержит величины L и F, не изменяющиеся при перемещении линзы, поэтому применимо для обоих случаев. Приводим это квадратное уравнение к стандартному виду

Задачи для решения в классе и дома

15.1.На собирающую (рассеивающую) линзу падает параллельный пучок лучей, образующих некоторый угол с главной оптической осью линзы. Укажите ход преломленных лучей.

15.2.На одном чертеже постройте изображение предмета (вертикальная стрелка с началом на главной оптической оси), расположенного на расстоянии d от линзы, для случаев: 1) d > 2F; 2) d = 2F; 3) F < d < 2F;

4)d = F; 5) d < F, где F - фокусное расстояние линзы. Рассмотрите собирающую и рассеивающую линзы.

80