2.3 Кинематический анализ зубчатых передач с неподвижными осями

Основной кине­матической характеристикой зубчатой пе­редачи является передаточное отношение

, (2.1)

выражающее отношение угловых скоро­стей ω₁ и ω₂ колес при передаче движе­ния от колеса 1 к колесу 2 (рис.22).

Зубья равномерно расположены на теле колеса, и поворот ведущего колеса на один зуб вызывает поворот ведомого колеса тоже на один зуб. Несложно убе­диться, что

(2.2)

Отношение числа зубьев большего ко­леса к числу зубьев меньшего колеса (шестерни) называют передаточным чис­лом и обозначают буквой и.

По геометрическим и конструктивным соображениям желательно, чтобы колесо имело не меньше 10...13 зубьев и не боль­ше 100...130 зубьев. При этом передаточ­ное отношение зубчатой пары в среднем будет лежать в пределах от 10 до 0,1. Если в конструкции необходимо реализовать передаточное отношение, выходящее за эти пределы, применяют несколько последовательно расположенных зубчатых пар – ряд зубчатых колес.

Предположим, что требуется передать движение от вала 1 к валу 3 (рис.22) с передаточным отношением, выходящим за пределы, допускаемые одной парой ко­лес. Тогда, располагая между этими ва­лами вал 2 и закрепляя на валах колеса z₁, z₂, z₃, z₄, получим ряд зубчатых колес, состоящий из двух ступеней: z₁, z₂ и z₃, z₄.

Если угловая скорость вала1 равна ω₁, то угловая скорость вала 2

Угловая скорость вала 3

С учетом этих равенств получим

(2.3)

Таким образом, угловая скорость ведомого вала ряда равна угловой скорости ведущего вала, умноженной на дробь, в числителе которой стоит произведение числа зубьев ведущих колес ступеней, а и знаменателе – произведение чисел зубьев ведомых колес.

Общее передаточное отношение ряда

(2.4)

равно произведению передаточных отно­шений отдельных пар колес (ступеней).

2.4 Кинематический анализ планетарных передач и дифференциалов

Зубчатые передачи, в которых хотя бы одно колесо имеет подвижную ось, называют сателлитными (планетарными) зубчатыми передачами.

Сателлитные зубчатые передачи с одной степенью подвижности называются планетарными передачами, или планетарными редукторами.

Сателлитные зубчатые передачи с двумя или более степенями подвижности называются дифференциалами.

Рассмотрим зубчатую передачу, в состав которой входят следующие звенья (рис.23): центральные зубчатые колеса 1 и 2, сателлит 3 и водило Н.

При исследовании планетарных механизмов используют метод обращения движения (метод Виллиса).

Пусть звенья механизма, входящие в кинематические пары со стойкой, движутся с угловыми скоростями ω₁ , ω₂ , ω_Н (рис.23). Относительное движение звеньев не изменится, если этим звеньям механизма сообщить дополнительное вращение с какой-либо угловой скоростью.

Сообщим звеньям механизма 1, 2, Н дополнительное вращение с угловой скоростью –ω_Н . Тогда угловая скорость водила станет равной нулю; для остальных звеньев получим:

звено 1: ;

звено 2: .

Следовательно, после сообщения звеньям механизма дополнительного вращения с угловой скоростью –ω_Н звено Н будет неподвижно и рассматриваемый механизм превращается в обыкновенный зубчатый механизм с неподвижными осями. Полученный механизм называют обращенным; верхний индекс в скобках указывает на остановленное звено.

Передаточное отношение обращенного механизма будет равно

Для передаточного отношения имеем:

Окончательно получаем:

(2.5)

Полученная формула связывает между собой угловые скорости вращения ω₁ , ω₂ , ω_Н . Задав две из них, например ω₁ и ω₂, можно определить третью, например ω_Н. Таким образом, рассматриваемый зубчатый механизм представляет собой дифференциал с двумя степенями подвижности.

Затормаживание какого-либо звена уменьшает степень подвижности механизма до единицы. Затормозив центральное колесо2 (ω₂=0) (рис.24), получаем планетарный редуктор, для которого

С учетом того, что , получаем формулу для передаточного отношения планетарного редуктора:

(2.6)

Планетарные передачи по сравнению с обычными имеют меньшие габариты и могут иметь две и более степеней подвижности. Вместе с тем они имеют более низкий КПД из-за относительных перемещений звеньев, вызванных подвижностью осей. Кроме того, они требуют более высокой точности изготовления.