Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

.pdf

Скачиваний:

1393

Добавлен:

15.08.2013

Размер:

13.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3729 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

282	ГЛ. VII. ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

а «новый» лагранжиан (как функция «новых» переменных) может быть вычислен по формуле (64), если известен «старый» лагранжиан (как функция «старых» переменных) и формулы преобразования (62). Из формулы (64) следует, что «новый» лагранжиан получается из «старого» простой заменой переменных


		L(q,		dq/dt, t*) = L(y,		d(p/d\p, гр)	(65)
тогда	и только		тогда,	когда	время не преобразуется, т. е. когда
Разумеется,			как в том случае, когда			время не преобразуется
и L*	может	быть вычислен			по формуле	(65), так и в том случае,
когда	время	преобразуется			и L* вычисляется по формуле		(64),

«новый» лагранжиан (как функция «новых» переменных), вообще говоря, отличается от «старого» лагранжиана (как функции «старых» переменных). Именно поэтому мы говорим о ковариантности (а не об инвариантности) уравнений Лагранжа по отношению к любым преобразованиям вида (62). Но, разумеется, среди преобразований (62) содержатся и преобразования специального вида, такие, что для них L* как функция «новых» переменных имеет совершенно такой же вид, что и L как функция «старых» переменных, т. е.

L*(q*, dq*/dt*, t*) = L(q*, dq*/dl*, t*),

и «новый» лагранжиан можно получить из «старого» просто «приписыванием звездочек» ко всем переменным. По отношению к таким специальным преобразованиям уравнения Лагранжа не только ковариантны, но и инвариантны. Эти соображения будут использованы в следующем параграфе при формулировке теоремы Э. Нётер.

Обратим теперь внимание читателя на то, что лагранжиан динамической системы определен с точностью до добавления к нему полной производной от произвольной функции q и t. Это утверждение имеет следующий смысл: динамические системы с лагранжианами L и L-\-dFjdt имеют один и тот же прямой путь, какова бы ни была функция F (q, t).

Действительно, рассмотрим действие

lJ\Ldt

и действие

- I'	с1	с1	"
1 = \{L-\- dF/dt) di—	) Ldl -,'- ] dF =

	§ 5 ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА					283
Вариации	б/и 6/ равны, поскольку 6F \t =t, = б/7 \|,= / о				= 0	в силу
того, что как	при t — t0,	так	и при t = tx все кривые	рассматри-
ваемого пучка (рис. VI		1.2)	проходят через одну и ту		же	точку

расширенного координатного пространства. Поэтому из того факта,

что	на прямом пути б/ = 0, следует, что на том		же пути б/ = О,
а это значит,		что одна и та же кривая является		прямым путем
для	уравнений	Лагранжа с лагранжианом L	и	с лагранжиа-
ном	L.

Вернемся теперь к принципу Гамильтона и выясним, какого типа стационарная точка —максимум, минимум или точка пере- гиба—достигается действием на прямом пути. Ответ на этот вопрос тесно связан с указанными в начале этого параграфа особенностями краевой задачи, которая возникает при проведении прямого пути.

Если точка В достаточно близка к точке А, то эта краевая задача всегда имеет лишь конечное число решений : ). При удалении точки В от точки А может, однако, оказаться, что существуют такие точки, что, выбрав их в качестве точки В, мы получим краевую задачу с бесконечным числом решений. Такого рода точки расширенного координатного пространства называются

кинетическимифокусами,сопряженными с точкой А.

Рассмотрим какой-либо		прямой путь, идущий из точки А
в точку В. Если	на этом	прямом пути между точками А и В
нет кинетического	фокуса, то интересующий нас экстремум дей-

ствия по Гамильтону является минимумом. В том же случае, когда между точками Л и В на прямом пути расположен кинетический фокус, то действие по Гамильтону хотя и экстремально на прямом пути, но утверждение, что этим экстремумом всегда является минимум действия, уже не верно; в зависимости от условий исследуемой динамической задачи это может быть минимум, максимум или экстремум иного типа2 ).

Приводя здесь без доказательства эти краткие сведения о связи между особенностями возникающей стационарной точки с особенностями краевой задачи, определяющей прямой путь, приведем лишь два примера, разъясняющих, каким образом в задачах механики появляются кинетические фокусы.

i) Более того, обычно в этом случае решение единственно. Если существует несколько решений, то пучок, изображенный на рис. VII.2, строится так, чтобы он содержал лишь один из прямых путей (при а = 0), а окольные пути выбираются в окрестности этого прямого пути.


	г) Эти	утверждения		верны	только в том		случае,	когда на выбор околь-
ных	путей	не накладываются			какие-либо дополнительные условия. Если же
при	наличии на		прямом	пути	кинетического		фокуса	ограничиться выбором
окольных		путей,	также	проходящих		через этот фокус, то на прямом пути
будет достигаться			минимум действия			по Гамильтону,

284

ГЛ

VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

П р и м е р

Рассмотрим

движение

материальной

точки

по

инерции на сфере (рис. VI 1.3);

известно, что траекториями

такого

движения

всегда служат дуги

больших

кругов. Выберем на сфере

произвольную

точку

и отметим диаметрально

противоположную

ей

точку

А'.

Через

точку

А и любую

иную

точку В

сферы,

не

совпадающую

А',

можно

провести

лишь один боль-

шой

круг, а через точки А и А' —

бесконечное

множество

больших

кру-

гов.

качестве

обобщенных

координат

возьмем

углы

ср

о|)— «долготу»

«широту». В расширенном

координатном

пространстве

ср, г|5,

отметим

момент

Рис. VII.3.

А) координаты

/0,

ерд,

$А

точки

А.

Будем

считать

далее,

что

момент

материальной

точке

придана

на-

чальная

скорость

что

момент

to-\-T

материальная

точка впервые

достигает точки А' с координатами to-\-T, (рд-, г|;д'.

Отметим

расширенном

координатном

пространстве

точки

(t0,

Фд,

•фд), (to + T,

фл-, г Ы .

('о-Ь27\

Фд, •фл), (to

+ 3T, ц>А', орд-)

и т. д.

Если

изменять

направление начальной

скорости

г»0, со-

храняя

ее величину, то в расширенном

координатном

простран-

стве

будет

определено

множество

прямых

путей,

проходящих

через все эти точки. Через

любую иную

точку

расширенного

координатного

пространства'

проходит

лишь

один

из

прямых

путей.

Теперь

непосредственно

видно,

что

точка

tn-\-T,

фд<, \рА> яв-

ляется

кинетическим фокусом

для

точки

t0,

ц>А, tyA.

Обратимся

вновь

рис. VI 1.3.

Из точки

в точку В ведут

два

прямых

пути — по

меньшей и

по

большей

дугам

большого

круга; выбор одного из них определяется направлением

началь-

ной скорости. Путь по меньшей

дуге не проходит через точку

А',

и на этом пути действие

по

Гамильтону достигает

минимума;

путь по большей дуге проходит через

кинетический фокус А', и

на этом

пути

действие

также

достигает

стационарного

значения,

но уже

не минимально.

П р и м е р

Рассмотрим

линейный осциллятор, т. е. линей-

ную

колебательную

систему

с одной

степенью

свободы,

описы-

ваемую

уравнением

a'q -\-cq = O.

Если	в момент ^= 0	положить	д(0) = 0,	то	все возможные
пути q(t),	отличающиеся	значением начальной			скорости	сЦО),
пересекаются в моменты t = T/2,T,			3772, . . . ,	где	Т = 2л	Уа/с~

5 ВЛРИЛ11И0ННЫП ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА

285

период

колебаний

(рис.

VI 1.4).

Поэтому

точка

<7= 0,

t =

является кинетическим фокусом для

начальной точки q — О, /= 0;

если

прямой путь

выбирается,

исходя из краевых

условий q = 0,

( = 0

<7= <7'>O, ?= ^ < 7 7 2 ,

тоназтом

пути действие минимально (по сравнению

с окольными

путями);

если

же прямой

путь

определяется

краевыми

условиями

<7= 0, /= 0 и ?

= ^ < 0 ,

t =

tl,T/2<tl<

<Т,

ТО по-прежнему

прямой

путь

явля-

ется

единственным,

по-прежнему

на этом

пути

действие

достигает

стационарного

значения, но уже не минимума.

Этот

пример

легко

обобщить.

Рас-

Р и с -

VI 1.4.

смотрим малые колебания консервативной

системы, имеющей п степеней свободы, около положения

ус-

тойчивого равновесия. В

гл. VI

было показано,

что при движе-

нии

такой системы

<?= 2

Afv, sin со//+ 2 3/V/ cos со;/,

где Vy — амплитудные

векторы.

Рассмотрим два несовпадающих прямых пути, ведущих из

точки (q0, t0) в точку (qu

^). Этим двум прямым путям соответ-

ствуют

два несовпадающих

набора

чисел {А), В}}

и {А)1,

В}1}:

— 2

Л/V/ sin со// +

£ В\\) cos (o,t,

Из условия

= L АУ*1 s i n

<*>/* + X fi/4 cos d»,t.

получаем

ql(t0)

qlHio),

^ A)vf

sin co//0 + ^

B)vf COS «//о = S

^ " v / s i n

ш/^о+ 2

B)\/

cos со/^,

или

£ v, [(A) -

Л1/) sin co//o+ (B/ - B)1) cos co,/0] == 0.

Амплитудные

векторы

линейно независимы; поэтому все выра-

жения в квадратных скобках должны быть равны нулю:

(Л} — Л}1) sin со,/0 -г-(В^ —В'1) cos CD/^O= 0

(/=1

я).

Аналогично изусловия

получаем

II)

( 1

I ) ^ 1

- * 0

(/= 1, ...,

п).

Итак,	мы получили систему	из 2п уравнений	относительно
А\-А\[	и В)-ВУ (/ = 1, ...,	п). Пусть А) = А)1	и в ; = В ) '

286		ГЛ VII	ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ
всех /,	кроме /= s,		тогда	в этой системе из 2/г уравнений 2(п — 1)
уравнений		обращаются в		тождества		вида 0 = 0,			и остаются		два
уравнения
		(А\ - All) sin (Ost0 + (B\ -				fi")		cos ast0	= 0,
		(Al-Al1)	sin u		l - B l 1		)	cos а>^ =
с «неизвестными» A\ — A\l				и В\ —б'1. Если
			cos со А					0 _	= 0,
		д			=			0 _	= 0,
то эта система имеет лишь тривиальное							нулевое		решение и иссле-
дуемые	прямые пути совпадают
Если As		= 0, то	существует		бесчисленное множество решений
(при t0	— ^ = ?1п/щ), для			которых А\ф				А\1 И В\фВ\1.		В	этом
случае	краевым условиям
удовлетворяют несовпадающие					пути
= Alsvs		sin	COS						B)v, COS CO
			cos					sin	В)^ ;	cos
			cos					sin

Перебирая таким образом индексы s = l, ..., п, в случае п несоизмеримых частот находим п кинетических фокусов, сопряженных с начальной точкой Ао.

§ 6. Связь законов сохранения (первых интегралов) со свойствами пространства и времени.

Теорема Эммы Нётер

В этом параграфе вариационный подход к задаче механики и, в частности, полученная в § 4 общая формула для вариации функционала будут использованы для того, чтобы установить связь между законами сохранения, которые были получены в предыдущих главах, и общими свойствами пространства и времени, которые находят свое выражение в инвариантности законов механики относительно преобразований систем отсчета. Установление этой связи позволит понять внутреннюю природу законов сохранения и причины, по которым эти законы существуют. Такое понимание особенно важно, ибо оно иногда позволяет предвидеть первые интегралы и тем самым облегчить исследование уравнений, описывающих движение.

TEOPFM>\

ЭММЫ

НЁТЕР

287

Приступая к подготовке материала, коюрый требуется

для

того, чтобы сформулировать теорему Эммы Нётер,

устанавли-

вающую

эту

связь, рассмотрим

какое-либо

однопараметрическое

семейство

преобразований

системы

отсчета,

т.

е.

координат

времени:

<7/=Ф/(<?>

U а)

(/ = 1,

..-,

п),

t* =

ty(q,

a),

(66)

где индекс * приписан «новым»

координатам

и «новому»

времени,

а а —некоторый

параметр. Предположим, что преобразование

(66)

удовлетворяет

двум следующим

условиям:

1°

Это

преобразование тождественно при

а = 0,

т.

е.

<р,(q,

0)=q,

(/=1,

.... п),

ty(q,i,O)=t.

(67)

2°

Для

этого

преобразования

существует

обратное:

<7/= Ф/(<7*. I*.

«)

(/=1

п),

t = $(q*,t*,a).

(68)

Теперь мы можем сформулировать теорему

Эммы Нётер.

Т е о р е м а

Н ё т е р .

Пусть

задана

система

движущихся в по-

тенциальном

поле материальных

точек,

имеющая

лагранжиан

L (q,

dq/dt,

t),

пусть

существует

однопараметрическое семей-

ство

преобразований

(66),

удовлетворяющее

условиям

1°

2°.

Пусть,

далее, лагранжиан

L инвариантен

по отношению к

таким

преобразованиям,

т. е. «новый» лагранжиан

(вычисленный по

формуле (64))

не

зависит

от

как

функция

q*,

dq*/dt*,

имеет совершенно такой

же вид,

как

«старый»

лагранжиан

как функция q, dq/dt, t.

Тогда

существует

функция

Ф (q,

t),

которая

не

изменяется

во время

движения этой

системы,

т.

е.

является

первым интегралом движения. Эта функция

имеет

вид

(69)

где Н — гамильтониан

рассматриваемой

системы.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

два

расширенных коорди-

натных пространства; одно из них соответствует

«старым»,

дру-

гое «новым»

координатам

и времени,

полученным

результате

преобразования (66). В первом из этих пространств (в простран-

стве q, t)	выберем	две произвольные точки (q0, t0)	и (qlt	tt) и
проведем между этими точками какую-либо кривую			q(t).	Тогда
однопараметрическое		семейство преобразований (66)	порождает
во втором	расширенном координатном пространстве		q, t	одно-

параметрическое семейство кривых q*(i*, а) (рис. VII.5). Оно получается, если из равенств (66)

7/=Ф/[<7(0> U «] ( / = ! . •••» п), t*=qlq(t),t,a] (70) исключить t.

288	ГЛ VII	ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ
В	силу первого	условия,		т. е.	в силу	формул (67), пара-
метру	а = 0 соответствует		исходная		кривая, т. е. при а = 0
		=	<?/('*)	(/ = 1		я).

Началу и концу кривой q(t), т. е. точкам (д0, t0) и (qlt tL) из пространства (q, /), соответствуют в пространстве q*, t* кривые,

заданные параметрически (параметр а) формулами

\|	, к, а]\|
( / = 1 , -.., п), J и	( / = 1 , . . . . я), J	(71)

Эти формулы получаются из формул (70), если вместо / подставить /0 и /х соответственно.

t*(e)

Рис. VI 1.5.

Примем	в	качестве	кривой	q(t)	отрезок		от t = t0	до t = tt
прямого пути		системы с лагранжианом L.				Рассмотрим		действие
по Гамильтону		на этом пути:
				, q(t), t\dt.				(72)
Заменив	в	интеграле (72)		переменную		t	на /*,	получим
(см. стр. 281)
		/ =	L(q,	dq/dl, t)dt,
где функция L* строится по формуле (64).						С учетом новых обо-
значений (см. условие			2°):
		L* = L($, dqydijj,			y)d$/dt*.			(73)

В силу условий теоремы Э. Нётер L* не зависит от а и как функция своих аргументов совпадает с L:

L*(q*, dq*/dt*, l*) = L(q*, dq*/dt*, (*).

	§ 6. ТЕОРЕМА ЭММЫ НЁТЕР			289
Таким образом, если выполнены условия теоремы				Нётер, то
интеграл (72) можно записать следующим			образом:
/ =	$ L{q, dqldt, t)dt*.			(74)
Рассмотрим теперь	интеграл (74) как		функционал, заданный
на однопараметрическом семействе		кривых	q* (t*, а). В равенстве
(74) левая часть не	зависит от	а. Это	очевидно, так как при

замене переменной интегрирования значение определенного интег-

рала	не меняется. Поэтому в рассматриваемом		случае	интеграл
(74)	имеет одно и то же значение на всех кривых из семейства
q* (t*, а) и, следовательно, при всех а
		6/ = 0.
Интеграл (74) имеет		вид действия по Гамильтону, заданного
на однопараметрическом		семействе кривых, и	поэтому	можно

воспользоваться общей формулой (60) для вариации действия б/. В силу (60) имеем

		(75)
Равенство (75) верно		при любом а, но мы воспользуемся им
лишь при а = 0.	В силу	условия 1° при а = 0 равенства (66)
превращаются в	тождества, т. е. q(t, 0) зависит от t* точно
так же, как q (t)	зависит	от t. Но q (t)—прямой путь и нанем

t	ldt)	UU	(l	~	П)	-
~did(dq	ldt)	d^~		~		-

Следовательно, при а = 0 обращаются в нуль и все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формулах (75).

Поэтому
{ (2 Pi 6<7/- Я* Ы*)рДа_о	=0.	(76)
Напомним, что сначала надо подставить	пределы t*(d)	и t% (a)

в q*(t*, a), a затем выполнить операции б, т. е. дифференцирования по параметру. Но при а = 0

и в соответствии с формулами	преобразования (66)
<7*(Ма), a) = ((,f(q(t1), tlt а),	qf(to{a)s а) = <(/{q(tQ), t0, а).

10 М. А Айзерман

290 ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Поэтому

Щ (tf (а), а) =	да>. [а ил, tlt	a)	da,
	^

& ( А ( ) 0

Учитывая при подстановке пределов эти равенства и тот факт, что (pJ)a-o = P/>a **(0) = ^i и ^о(0) = ^о' после сокращения на независимое приращение da из равенства (76) получаем

где верхний индекс указывает, берется ли соответствующая функ-

ция при t = t0 или t = tt.

Вспомним, что прямой путь и точки t0 и t1 на нем были выбраны произвольно. Отсюда следует, что функция (69) вообще не меняется вдоль кривой g(t), т. е. на любом прямом пути.

Теорема Эммы Нётер доказана.

Покажем теперь, как, используя только теорему Нётер, можно получить все законы сохранения (первые интегралы), которые были установлены выше из иных соображений.

З а к о н с о х р а н е н и я м е х а н и ч е с к о й	э н е р г и и для
к о н с е р в а т и в н о й системы . Рассмотрим	консервативную

(или обобщенно консервативную) систему. В качестве семейства преобразований (66) возьмем «сдвиг по времени»:

<7f = <7/ 0 = 1 . . . . . л); t* = t + a .

(78)

Непосредственно видно, что преобразование (78) удовлетворяет условиям 1° и 2°. Лагранжиан (так же как и гамильтониан) консервативной системы не зависит явно от времени, a dt*—dt, т. е. функция dty/dt* в данном случае равна единице. Поэтому преобразование (66) заведомо не меняет вид лагранжиана (и, разумеется, гамильтониана) и из теоремы Нётер следует, что консервативная система должна иметь первый интеграл вида (69). Но в данном случае все функции <ру в силу преобразования (78) тождественно равны ду, т. е. не зависят от а, и, следовательно, производные от них по параметру а равны нулю, а д\1р/да=1 и формула (69) принимает вид

—Ф = Н = const.

Таким образом, из теоремы Нётер следует, что при движении обобщенно консервативной системы ее обобщенная энергия И не меняется. При движении же консервативной системы H —T-^-V и не меняется ее полная механическая энергия.

			§ 6 ТЕОРЕМА ЭММЫ НЁТЕР								291
З а к о н с о х р а н е н и я и м п у л ь с а д л я									ц и к л и ч е с к и х
к о о р д и н а т .	Рассмотрим теперь					систему		с	циклической коор-
динатой <7Х и покажем, что импульс, соответствующий											цикли-
ческой координате,			не	меняется.		Для	этого		используем		«сдвиг
по циклической		координате»:
ql = <7i+ «,				q] = qj	(/ = 2, ... ,			л);	/* = t.		(79)
Непосредственно		видно,		что	это	преобразование				удовлетворяет
условиям 1°	и	2°.	Лагранжиан			(а	значит,		и	гамильтониан)

системы не зависит от циклических координат, и следовательно,


вид	этих	функций		не меняется			при преобразовании (79). Следо-
вательно,		в силу		теоремы		Нётер имеет			место	первый	интеграл
вида	(69).	Но	при		преобразовании			(79)	З ф 1 / 5 а = 1 ,		остальные
дфу/да = 0		(/ = 2 , . . . ,			п) и	dty/da = Q. Следовательно,					в данном
случае формула			(69)		принимает		вид
					Ф = р1		= const.
Далее		мы получим два закона сохранения,								имеющие место
при	рассмотрении			замкнутых систем.				В	связи	с этим сделаем

следующее общее замечание. Требование замкнутости системы означает, что все силы, действующие на материальные точки


системы,	зависят лишь от			взаимного		расположения точек					и рас-
стояний между ними. В связи					с	этим	любые преобразования
координат, сохраняющие взаимное расположение точек и расстоя-
ния между ними, не изменяют					уравнения			движения,		т. е. не
меняют	вид лагранжиана.
З а к о н с о х р а н е н и я к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я											д л я
з а м к н у т ы х			с и с т е м .	Рассмотрим		теперь		замкнутую		систему,
движущуюся		в	потенциальном		поле. В		качестве		обобщенных
координат примем декартовы координаты точек и применим «сдвиг
вдоль одной		из	осей координат»,		например		вдоль оси		х:

xf	= Xi + a , tf! = y	h	z t = Zi 0 = 1 , 2 , . . . , N); t* =
(здесь	N — число точек	системы).

В связи с тем, что при сдвиге начала координат вдоль какойлибо оси расстояние между точками системы не меняется, не


меняется		и потенциальная				энергия системы, а значит, и функция
Лагранжа. Очевидно,					преобразование (80) удовлетворяет						условиям
1° и 2°.		Таким		образом,		все условия, которые теорема Нётер
накладывает			на	однопараметрическое				семейство	преобразований,
выполнены.			В	силу	этой теоремы имеет место				первый		интеграл
(69).	В	данном		случае все dq>i/da для				координат у		и	г, так же
как и dip/da, равны нулю,						а	функции ф; для координат х таковы,
что	d<Pi/d<x=l. Поэтому					в	формуле	(69) член,		содержащий
гамильтониан, обращается						в	нуль, а оставшаяся в			правой части

10*

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3729 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика