Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

.pdf

Скачиваний:

1256

Добавлен:

15.08.2013

Размер:

13.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 3734 35 36 37 > Следующая >>>

332	ГЛ. VII. ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Интересная аналогия усматривается при сопоставлении принципа Мопертюи — Лагранжа для консервативных систем с известным принципом Ферма, устанавливающим путь луча света в неоднородной среде. Согласно принципу Ферма свет в неоднородной среде распространяется так, чтобы было минимальным время прохождения луча света через среду

t, _ Г ds

J v(s), s ) '

где v (s) — «местная» скорость путь. Если для каждой точки ления

света в каждой точке, a s — его среды ввести коэффициент прелом-

/ ч С

где с — скорость света в пустоте, то время t прохождения луча света можно записать так:

t =~ j n(s) ds.

и принцип Ферма сведется к требованию

б \n(s)ds =0.

Запишем теперь принцип Мопертюи — Лагранжа	для материаль-
ной точки массы т
Это выражение подобно тому, какое было получено из принципа
Ферма; надо только вместо количества движения	то рассматри-
вать функцию п. (s).

3. Уравнение Гамильтона — Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем. В случае консервативной (обобщенно консервативной) системы в уравнение Гамильтона — Якоби входит функция Я, не зависящая явно от времени. Поэтому

уравнение	это принимает вид
	( )	0	-	<1 6 2 >
Пусть,	как и ранее, h — начальная		энергия. Будем	искать
решение уравнения (152) в виде
	(qv ...,<?„;	a t ,	. . . , а„_1 ; Л),	(153)

	§ !0. ДВИЖЕНИЯ В СТАЦИОНАРНОМ ПОЛЕ			333
где	а —константы,	так что общее число констант с		учетом h
равно п. Уравнение		(152) после	подстановки в него выражения
(153) записывается так:
		,^)=	h = const.	(154)
	Уравнение (154)	и является	уравнением Гамильтона —Якоби
для	консервативных	(Н = Е — энергия системы) или		обобщенно

консервативных (Н —обобщенная энергия) систем. Таким образом, чтобы составить уравнение Гамильтона — Якоби для консервативной (обсбщенно консервативной) системы, нужно просто записать закон сохранения энергии (обобщенной энергии) и в выражении энергии заменить все импульсы частными производными искомой функции V по соответствующим координатам.

Предположим, что каким-либо образом удалось найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, т. е. функцию У, зависящую от всех q и от п констант, причем последней из этих констант является an = h. Эта функция V должна удовлетворять условию

det	d*-V	(155)
	dq,dak

Подставив полный интеграл V в формулу (153) и воспользовавшись затем обычными формулами (134) метода Гамильтона — Якоби, получим

dS*	dV	,.	r
P^-W^Sb		0 = 1, ...,л>,

d S *

d V

Ь==--ШГ=-Щ

I- 1	\| ,	, , r C 4
0 = i,	. . . , n - i ) ,	056)

ft	ds*	ds*	—	d v
Vn	дап	dh		dh'

Уравнения (156) представляют собой в неявной форме конечные уравнения движения рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативней) системы. Таким образом, зная полный интеграл уравнения (154), можно сразу получить уравнения движения в конечном виде.

При изучении консервативных и обсбщенно консервативных систем иногда легко найти полный интеграл уравнения в частных производных (154). Такая возможность возникает в тех случаях, когда гамильтониан Н (q, p) имеет специальный вид, допускающий разделение переменных. Будем говорить, что переменные разделяются, если полный интеграл уравнения (154) можно представить в виде

V —2 ^1 (9ьа )-


334	ГЛ. VII. ДВИЖЕНИЕ		В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ
Мы рассмотрим два		случая		такого		рода 1 ) .
С л у ч а й	1. Этот	случай	имеет место, когда Н представляет
собой функцию от п функций fu					...,	fn, каждая из которых зави-
сит только от «своих» гамильтоновых						переменных,
	Н (д, р) = Н [A (?i,			А ) , . . . , / „			(qn, Рп)Ъ	(157)
и притом df/ldp/фО для всех				/ = 1, .... п.			Уравнение	Гамиль-
тона — Якоби	в этом случае имеет				вид

	« [ * ( » . . £ )			'•(»••		& ) ] - * •
Положим
		fj(q,, р,)=а,;					(159)
тогда из	(154) и (157)	следует,	что	Я ( а	ь	..., а„) = Л. Разрешив
систему	равенств (159)	относительно		pf.
	Р/ = / Н * . « / )		(/ = 1			п),	(160)
составим	функцию

Покажем, что в рассматриваемом случае эта функция является полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби (158). Непосредственно видно, что функция (161) тождественно удовлетворяет уравнению (158) и зависит от п констант, а условие (155) сводится в этом случае к виду

ф	^	( 1	6 2 )
Но Off/da/'ФО, если dfj/dpj=£--Q, а это		условие предполагалось
с самого начала. Поэтому неравенство (162) всегда выполняется.
Теперь можно сразу выписать конечные выражения, описывающие
движение2).
П р и м е р . В качестве	элементарного примера рассмотрим
линейный осциллятор, т. е.	точку массы	т, движущуюся вдоль

*) Необходимые и достаточные условия возможности разделения переменных устанавливаются теоремой Штеккеля (подробнее см.: Л у р ь е А. И. Аналитическая механика.—М.: Наука, 1966, с. 546—548).

2) В данном случае удобно сначала по формуле (153) найти функцию 5*, а потом воспользоваться формулами (134). Непосредственно использовать фор-

мулы (156) нельзя, так как при их выводе	мы	считали	h	независимой п-й
константой, а в данном случае мы ввели п констант	av	. . . , а„,	nh	= H {аъ . . . , а „ )
стала функцией от них.

§ 10 ДВИЖЕНИЯ В СТАЦИОНАРНОМ ПОЛЕ

335

оси х (координата q) в упругом поле с коэффициентом упругости с.

В этом случае

т.е. имеет место простейший вариант формулы (157), когда Н совпадает с одной из функций /, а остальные fj равны нулю.

Уравнение Гамильтона —Якоби записывается так:

1 (HL

					Ьп\ dq
равенство			(160)	дает
				p = f*(q,		а) = У 2та — mcq2
и	полный		интеграл		уравнения		Гамильтона — Якоби имеет вид
					V = \ V^ma		— mcq2 dq.
В	силу соотношения (153) при h — a
				S* = — at-\r\y			2ma-mcq4q,
а	в	силу	(134)		р = У 2ma —
					р = У 2ma —
				,	1 Г	dq	, 1
					У	? 2	0)	Л
где		Л2 = 2а/с, a		(o= ]/c/m,		т. е.
					q= A sin [со(< —Р)],

имы получили известный закон движения линейного осциллятора. Случай 2. Этот случай имеет место тогда, когда гамильто-

ниан (полная или обобщенная энергия) выражается последовательно «функцией от функции», где каждая функция зависит только от предыдущей функции и от «своих» переменных:

H—fnUn-l, Цп, Рп],

где

/л-1 — 1п-1ип-2> Qn-U Pn-l\>

где в свою очередь

fn-2 — fn-2[fn-3>		Яп-г, Pn-i]	И Т.	Д.
Предполагается,	что dfj/др^фО	при всех	/ — 1,	. . . , п. Положим
/i(<7i> Л ) = « 1 .	/Л<?2. Pi, ai) = aa , ....		fn(qn,	pn, а „ _ 1 ) = а п

и разрешим эту систему равенств относительно pf:

Pi = f44u «i), p2 = /?(?2, alt а2), .... pn = fn(qn, aa-u ал ).

336	ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ ВПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Введем в рассмотрение функцию

1/=21//(%,а/-.^/)% (163)

/=•1

Непосредственно видно, что эта функция V удовлетворяет уравнению (154), которое в данном случае имеет вид

f /	f if \f (	dv \	dV]	dV\		dV \ — h
fn\-.-h\h[fi[Qi,		-g^j;	q%,^ - J ;		<?з. dqa)	• • •; <7». dqJ -«.
и что	она зависит от п постоянных				а1 ( ...,	а„. Как и в первом
случае, легко проверить, что неравенство (155) выполнено. Поэтому
функция (163) является			полным	интегралом		уравнения Гамиль-

тона— Якоби и,зная ее, можно выписать закон движения вконечной форме.

П р и м е р . В качестве примера		рассмотрим движение мате-
риальной точки в поле	всемирного	тяготения. Взяв в качестве
обобщенных координат	сферические координаты
Чх = г, qt = 6,		?з = я\|5,
имеем

62 +r2 sin2 6 -ф2), П= — £ ,

и поэтому гамильтониан

имеет как раз ту структуру, о которой идет речь в рассматриваемом случае, причем

/ P | f / Р§+

/ £ а /1

Уравнение Гамильтона — Якоби теперь имеет вид

_ I _ i L \ 4 - f(	й е	) -t- s i n 2 0	\3v\|) j J/ 7" "
2m \\ dr J +

так что

и поэтому функция У такова:

§ 10 ДВИЖЕНИЯ В СТАЦИОНАРНОМ ПОЛЕ

337

В соответствии с формулами (156) находим

			(1 6 4 )
= — \	f- \	...	, (loo)
J 2 V a 2 —af/sm2266	J	2 \|/ 2ma3	+ 2my/r — a2 /r2
			(166)

Всегда можно выбрать координаты так, чтобы начальная скорость лежала в меридиональной плоскости, т.е. чтобы dty/dQ = 0. Но тогда из формулы (164) следует, что at = 0, т е. что г|з = = —Pj = const и что движение плоское. Полагая 1/г= х, получаем из формулы (165) при ах = 0

i dx

где с —2та3/аг и & = ту/а2. Несложные вычисления приводят к равенству

arccos ^ ~ = 8+ р\

где р = п/2 -f- 2p2 У<х2. Таким образом,

или

	1 а2	-. /", . с	щ Г,	. 2а2«з
где р=т	= ^ - ,	е= у 1 + _	= у	1 + ^ ф ^ . и мы приходим
к уравнению конических сечений в полярных координатах г, 9
(см. § 7	гл. III).

12 М. А. Айзерман

П р и л о ж е н и е

ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

ИЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ

§1. Введение

Вмеханике приходится иметь дело с векторными объектами: скоростями, ускорениями, силами и т. д. При этом часто оказы-

вается удобным иметь дело не с отдельными векторами порознь,

а сразу		рассматривать и преобразовывать некоторое	множество
(систему)		векторов. Так, например, совокупность всех	сил, дей-
ствующих		на твердое тело, удобно рассматривать и преобразовы-
вать	как	некий единый объект —множество векторов, изображаю-
щих	эти силы.

В связи с задачами такого рода оказывается необходимым дополнить обычные законы векторной алгебры некоторыми новыми законами, связанными с преобразованием множеств (систем) векторов. Установление таких законов невозможно без некоторых ограничений на рассматриваемые множества. Эти ограничения должны быть достаточно широкими для того, чтобы охватить некоторые важные множества векторов, возникающие в задачах механики и достаточно жесткие для того, чтобы для выделяемого ими класса множеств можно было бы установить общие содержательные закономерности. Введение таких ограничений связано с понятием об эквивалентности двух различных множеств векторов.

Однако прежде чем ввести понятие об эквивалентности двух множеств векторов, мы в § 2 введем в рассмотрение две векторные характеристики —главный вектор и главный момент системы, — которые имеют смысл для любого множества векторов. Далее в § 3 дается определение эквивалентности систем векторов, и тем самым выделяется интересующий нас класс таких множеств. Наконец, в § 4 устанавливаются основные свойства множеств векторов выделенного класса.

Последний параграф посвящен приложениям полученных результатов к задачам механики.

§2. Главный вектор и главный момент системы векторов

Вэтом параграфе, говоря о векторе, мы имеем в виду обычное определение вектора как направленного отрезка, заданного длиной, направлением и точкой приложения. Любое число векто-

2 ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР II ГЛ \ВНЫЙ МОМЕНТ

339

ров,

приложенных

к разным

точкам пространства

или к одной

его

точке,

образует

множество

или систему векторов.

Рассмотрим произвольное множество (систему) векторов {F\ =

— \Flt

F2,

••• , Fn\.

Выберем произвольную точку

О и приложим

к этой

точке п векторов Fl, Ft, ... , Fn так, чтобы

каждый век-

тор

FT по величине был равен

F,,

параллелен

ему и направлен

в ту же

сторону.

Сложим эти векторы по обычным правилам

векторной

алгебры

(попарно, по правилу

параллелограмма), т. е.

построим

вектор

Легко

видеть, что при

изменении точки О построенный так

вектор

R —главный вектор

системы

векторов

{/•"} — как бы пере-

носится

в новую точку О:

параллельно

самому

себе (рис П.1).

этом

смысле

вектор R

не

зависит от выбора точ-

ки О и полностью опреде-

ляется

заданной

системой

векторов.

Рассмотрим теперь век-

тор F,

из

системы {/"}.

Выберем

произвольно две

	Рис П 1						Рис П2.
точки: точку А на линии			действия		вектора Ft и точку О вне этой
линии	(рис. П.2). Пусть			гА — радиус-вектор,			проведенный из
точки	О к точке А.	Рассмотрим			вектор,	определяемый		вектор-
ным произведением
		тп (F,)= rAxF,.
Модуль этого вектора		ранен
	(F,)		•=\| F, 11гА		\| sin аА	= <F	pni,
где poi —расстояние		от	точки О		до линии действия вектора Ft
(рис. П.2), т. е. удвоенной				площади треугольника ВОС, построен-
ного на векторе Ft		как		на основании		и имеющего		вершину
12*

340

ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

в точке

О. Вектор

т 0 (/"";) направлен перпендикулярно плоскости,

проходящей через

точку О и линию действия

вектора Ft, так,

что из конца вектора

mo(Fi)

поворот

вектора rt

на меньший

угол до совмещения

Fi представляется

происходящим против

вращения

часовой

стрелки

(рис. П.З).

Так

определенный

вектор т0

(/%•) со-

вершенно

не зависит

от выбора

точки

А — она

играла

лишь

вспомогательную

роль —и зависит

лишь

от

вектора Ft и

от

выбора

точки О.

Рис. П.З,

Точка

О называется полюсом, а вектор

то

{Fi)— моментом вектора Fi относитель-

но полюсаО.

Построим теперь

моменты всех векто-

ров системы {F} относительно

некоторого

полюса О, сложим их

по обычным правилам сложения векторов:

Л10 =

Вектор Жо называется

главным моментом системы {F} отно-

сительно

полюса

О.

Главный

момент — вектор,

приложенный

в точке

О; он зависит

не только от системы

векторов

{F}, но

и от выбора полюса О.

Естественно возникает вопрос: какизменяется главный момент

системы Мо при	изменении полюса 0? Ответ на этот вопрос дает
Т е о р е м а 1	(теорема о переносе полюса). Главный момент

системы векторов относительно нового полюса О' равен сумме перенесенного в новыйполюс главного момента системы,подсчитанного относительно старого полюса О, и момента главного вектора системы относительно нового полюса О' в предположении, что главный

вектор R приложен встаром полюсе:

				(1)
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Рассмот-
рим	вектор	Fi из системы		векто-
ров	{F} и	выберем	произвольно
два	полюса О и О', а		также	точ-

ку АГ на линии действия вектора Ft

(рис. П.4). Из построения следует, что Г; —/*г-{-О'О, где О'О — вектор, проведенный из О' к О.

По определению

§ 2 ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ

341

Подставим сюда выражение для г\:

= (r, +W6) xFi = riXFi + 0'Ъх Ft.

Просуммируем теперь полученные равенства по всем векторам

из \F}:

	£ = 1	( = 1
ИЛИ
				^ ] ^ ,	(3)
где	векторное произведение
		п
		О'Ох 2	Fi =	mo{Ro)
есть	момент относительно О'		вектора /?, приложенного в О. Век-
тор	/Ио'(Я) приложен в точке О'.			Поэтому для выполнения опе-

рации сложения векторов, определяемого формулой (3), вектор Мо должен быть перенесен в О'. Теорема доказана.

Из теоремы 1 сразу вытекают						два важных следствия.
С л е д с т в и е			1. Если главный вектор				системы равен нулю, то
главный момент			не зависит от выбора полюса.
С л е д с т в и е			2. Две системы			векторов, имеющие одинаковый
главный момент			относительно	какого-нибудь полюса, имеют одина-
ковые главные моменты относительно любого полюса тогда									и только
тогда,	когда эти системы имеют				одинаковый главный			вектор.
Докажем		теперь следующую			теорему.
Т е о р е м а 2. Если через полюсы О и О', относительно									кото-
рых берутся		главные моменты,		провести прямую I, то проекции
главных моментов			на эту прямую			равны.
Доказательство . В силу теоремы 1
Умножим		скалярно обе части				этого	равенства	на	в —орт
прямой	/:
			Мо-• е = Мо	• е+(б'О			х R) • е.
Но О'0	и е	коллинеарны, следовательно,

(О'6х/?)-е =0.

Поэтому Мо' • е = Мо-е,	т. е. Пр2Л1<т =Пр/Л14>. Теорема доказана.
Доказанная теорема делает естественным следующее опреде-
ление: главным моментом	системы векторов относительно оси I

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 3734 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика