Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

модуль вектора mN(Ro) «пробежит» всю числовую ось от —оо до +оо. Поэтому всегда можно —и притом единственным образом —выбрать N =N* так, чтобы тц*(к0) — — Мг. При этом выборе полюса N*

т. е.присмене цилиндрической поверхности, Мо, изменяется засчет изменения величины г (рис. ПЛО).

§ 3. Эквивалентность и эквивалентные преобразования систем скользящих векторов

Для того чтобы наиболее удобным образом ввести понятие сб эквивалентности двух множеств векторов и построить затем систему правил, позволяющих упрощать эти множества, определять,

жества — системой скользящихвекторов в том случае, когда, опираясь на физические соображения, можно ввести следующее соотношение эквивалентности: две системы из множества эквивалент-

Задача о том, можно или нельзя в каждом конкретном случае ввести такое соотношение эквивалентности для систем векторов, не может быть решена формально, исходя из свойств этих систем векторов как математических объектов. Установление соотношения эквивалентности — новое аксиоматическое предположение, а вопрос о законности любого предположения такого рода каждый раз решается, исходя из физической сущности объектов, математической моделью которых являются рассматриваемые системы векторов. Например, интуитивно ясно, что при изучении движения (а не внутреннего состояния) твердого тела к совокупности сил, действующих на это тело, можно добавлять (или от нее можно отбрасывать) две силы, равные по величине и действующие вдоль одной и той же прямой в противоположные стороны. Поэтому множество векторов, изображающих систему сил, действующих на твердое тело, образует систему скользящих векторов. Легко видеть, однако, что совокупность сил взаимного притяжения, приложенных к двум разным телам, не составляет системы скользящих векторов, так как хотя силы взаимного притяжения всегда образуют векторный нуль, их отбросить нельзя, поскольку движение тел зависит, в частности, и от этих сил.

Название «система скользящих векторов» принято потому, что только с помощью добавления или отбрасывания векторных нулей

можно церемонии ь любой вектор системы вдоль линии его действия. Чтобы показать это, рассмотрим, например, множество из трех векторов (рис. П.11, а), предположив, что это множество составляет систему скользящих векторов. Выберем произвольную

Рис. П.П.

Векторы / и /" также образуют векторный нуль —отбросим его. В результате получается система, показанная на рис. П.П, в. По определению она эквивалентна исходной, так как мы только

До сих пор мы рассматривали вектор как направленный отрезок, характеризуемый величиной, направлением и точкой приложения. Для системы скользящих векторов понятие точки приложения оказывается излишним. Благодаря постулируемому правилу, разрешающему добавлять и отбрасывать векторные нули, векторы систем как бы освобождаются от точек приложения, наделяются возможностью «скользить» вдоль линии действия 1).

Поэтому для того, чтобы проверить, изображается ли некоторое множество векторных объектов системой скользящих векторов, надо проверить, не изменятся ли изучаемые механические явления, если добавить или отбросить векторный нуль.

348 ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

Система скользящих векторов называется пучком векторов(или просто пучком),если линии действия всех векторов системы пересекаются в одной точке (рис.П.12, а). Воспользовавшись тем, что только за счет добавления или отбрасывания векторных нулей всегда можно перемещать скользящий вектор по линии действия (см. выше), переместим все векторы пучка в точку О пересечения

нить одним вектором Ф — их суммой. Естественно считать, что Ф также является системой скользящих векторов, состоящей из одного вектора, и что эта система эквивалентна исходной.

Преобразования, связанные с добавлением^или отбрасыванием векторных нулей и с заменой пучка вектор'ов одним вектором, назовем элементарными преобразованиями.

Оба элементарных преобразования обратимы. Для добавления нулей это следует из определения —нули можно добавлять и отбрасывать. Для замены пучка суммой это следует из того, что для разложения вектора по заданным направлениям достаточно операции добавления и отбрасывания векторных нулей.

По определению элементарные преобразования переводят систему скользящих векторов в другую, эквивалентную ей, систему.

Т е о р е м а 5. Элементарные преобразования неменяютни главноговектора, ни главного момента системы скользящих векторов.

дение теоремы 5 очевидно: при образовании главного вектора два образующих нуль вектора взаимно уничтожаются. При образовании же главного момента главный момент двух векторов, образующих нуль, равен нулю. Действительно, если полюс О лежит

mo(F2)

где в качестве гА можно взять тот же самый радиус-вектор, так как точка О лежит на линии действия любого из Ft. Подставляя

350 ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

теперь в (6) выражение для Ф, получаем

Итак, для пучка скользящихвекторов момент главного вектора ровен главномумоменту пучка. Это утверждение иногда выделяют в отдельную теорему —так называемую теорему Вариньона.

§ 4. Преобразования систем скользящих векторов. Сведение систем скользящих векторов к простейшим системам

Система скользящих векторов, образующих пучок, всегда экви-

Т е о р е м а 6. Любая система скользящих векторов эквивалентна

поскольку мы пришли к ним элементарными преобразованиями.

Рассмотрим теперь следующую задачу: заданы две различные системы скользящих векторов. Требуется определить, эквивалентны ли они, т. е. можно ли одну из них перевести в другую последовательностью элементарных преобразований. Опираясь на доказанную выше теорему 6, можно доказать следующую теорему, устанавливающую общий критерий эквивалентности двух систем скользящих векторов.

Рис. П.16.

Т е о р е м а 7. Для эквивалентности двух систем скользящих векторов необходимо и достаточно, чтобы эти системы имели равные главные векторы и равные главные моменты относительно произвольно выбранного полюса.

относительно любого другого полюса в силу равенства главных векторов.

До к а з а т е л ь с т в о . Н е о б х о д и м о с т ь . Если две системы эквивалентны, то это означает, что любая из них получается из другой элементарными преобразованиями, а элементарные преобразования не меняют ни главного момента, ни главного вектора системы (теорема 5).

До с т а т о ч н о с т ь . Пусть две системы \F\ и {О\ имеют одинаковые главные моменты и главные векторы. Покажем их эквивалентность. Введем систему {О*} так, чтобы каждый вектор О\