Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

352 ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

противоположны. Поэтому главный вектор и главный момент системы {F, G*} разны нулю.

Рассмотрим систему {F, G*} и элементарными преобразованиями сведем ее к двум векторам (это возможно в силу теоремы 6). Элементарные преобразования не меняют ни главного вектора, ни главного момента, так что главный момент и главный вектор этих двух векторов также будут равны нулю. Но это возможно лишь тогда, когда два вектора образуют векторный нуль. Отсюда

б)

Мы докажем теперь основную теорему теории систем скользящих векторов.

Теорема 8. Произвольная система скользящих векторов эквивалентна одной из простейших.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В §2 было показано, что скалярное произведение R • Мо является инвариантом, т. е. полностью определяется рассматриваемой системой векторов и не зависит от выбора полюса О. По

R • Мо = [ R 11Мо | cosa,

где а —угол между вектором Мо и вектором R, построенным в О, а | Мп j cos а = Mt = ПркМ0 — проекция вектора Мо па направление вектора R.

Разделим теперь весь класс систем скользящих векторов на четыре подкласса, определив их следующим образом:

первыйподкласс —системы, у которых RфO и Мхф0; второй подкласс— системы, у которых R —0 и МфО', третий подкласс — системы, у которых ЛфО и Mi= 0 (в связи

с тем, что Мо — 0, или в связи с тем, что УИ0=т^О,.но ос= я/2); четвертый подкласс —системы, у кэторых /?= М = 0.

Легко видеть, что каждая система скользящих векторов принадлежит одному и только одному из этих подклассов. Рассмотрим теперь каждый из этих четырех подклассов по отдельности.

торов, выбранных так: один из них по величине и направлению совпадает с главным вектором R системы А и действует вдоль

СистемаА Система А

Полюс О выберем на центральной оси. Системы А и А* имеют по построению одинаковый главный вектор /?. Главный момент

/£ = УИ = О. В качестве системы Л* выберем произвольный вектор-

этого подкласса эквивалентна одному вектору; этот вектор называется равнодействующим. Равнодействующий вектор всегда совпадает с главным вектором системы, а линией его действия служит центральная ось. Выберем полюс О на центральной оси. У системы, принадлежащей третьему подклассу, главный момент относительно О равен нулю. Перейдем к полюсу О', не лежащему на центральной оси; тогда в силу теоремы 1

Мо' =М0 + т0' (R0) = m0' (Ro)-

Но /?0, т. е. главный пектор, приложенный в О, и является равнодействующим. Поэтому главный моментсистемы из третьего подклассаотносительно произвольного полюса равен моменту равнодействующего вектора относительно этого же полюса.Эго утверждение иногда называют обобщенной теоремой Вариньона1).

Теперь рассмотрим системы из второго подкласса. Каждая система из третьего подкласса эквивалентна единственной совер-

ров. Рассмотрим систему скользящих векторов, у которых линии действия параллельны. В такой системе R также параллелен ее векторам, а вектор М перпсчщикулярен им. Значит, и в этом случае Мг = 0, и подобная система также не может принадлежать первому подклассу.

Если у системы параллельных векторов /?=^0, то онасводится к равнодействующему вектору. В этом случае для нахождения его линии действия надо лишь найти точку О, относи-

360 ПРПЛОЖПНПГ ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

системы пар одной парой иногда называют сложением пар. Если М = 0, то система уравновешена. Условия равновесия таковы:

остальные три условия равновесия (8') удовлетворяются тождественно.

§5. Применение теории систем скользящих векторов в механике

1.Система сил, приложенных к твердому телу. В качестве первого примера рассмотрим множество векторов, изображающих систему сил, приложенных к твердому телу.

Из физических соображений ясно, что в этом случае добавление и отбрасывание векторного нуля правомерно. В самом деле, две силы, приложенные к твердому телу и образующие векторный нуль, лишь растягивают либо сжимают тело. Они могли бы вызвать деформацию тела (если бы не предполагалось, что оно абсолютно твердо), но заведомо не влияют на его движение. Действительно, с одной стороны, движение центра инерции тела зависит лишь от главного вектора внешних сил, а с другой стороны, в уравнения Эйлера, описывающие движение тела относительно центра инерции, входят главные моменты всех внешних сил. Добавление или отбрасывание двух сил, образующих векторный нуль, не меняет ни главного вектора, ни главного момента системы сил и, следовательно, не отражается на движении тела. Поэтому множество векторов, изображающих любую совокупность сил, приложенных к твердому телу, является системой скользящих векторов, и теоремы, установленные в предыдущем параграфе, могут быть применены к системе сил, приложенных к твердому телу.

Отсюда сразу следует, что любая система сил, действующих на тело, может быть либо уравновешена, либо заменена одной силой — равнодействующей, или парой сил, или, наконец, тремя силами, образующими винт. В этом случае винт называется динамой. Условия, при которых имеет место каждый из этих четырех случаев, указаны в приведенной выше табл. IV.

Анализ условий равновесия (8') при возможных частных расположениях сил (см. конец § 4) составляет предмет геометрической (или элементарной) статики. Эти условия позволяют выяснить, находится ли тело в равновесии под действием заданной совокупности сил, либо, наоборот, предполагая равновесие, найти несколько неизвестных скалярных величин (например, проекций сил, координат точек их приложения и т. д.), если число таких неизвестных величин не превышает числа независимых равенств