Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

.pdf

Скачиваний:

1256

Добавлен:

15.08.2013

Размер:

13.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3732 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

312	ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

преобразуется: t*ast). Предположим, что равенства (113) могут быть разрешены относительно q и р, т. е. что якобиан преобразования (113) J ФО и поэтому существуют обратные преобразования

		<7 = Ф(<7. р, t),				р = ф(<7, р, /).				(ИЗ')
	Рассмотрим, далее, произвольную систему канонических урав-
нений		Гамильтона с		некоторым		фиксированным				гамильтони-
аном Н и применим к ней преобразование (113). Может случиться,
что	полученные		уравнения		окажутся		уравнениями			Гамильтона
с некоторым гамильтонианом Н*. Но может									случиться итак,
что	уравнения, полученные в результате преобразования, уже не
будут		иметь вид уравнений			Гамильтона.
	Преобразование (113) называется каноническим, если оно пере
водит любуюгамильтонову систему
		dqj	дН	dpj	дН
		~Ж="др~1Л		Ж =	~ dq~j		(	V = 1	-	• • • > " )
в новуюгамильтонову систему
		dq*	дН*	dp*	дН*
		~&Г ~ др* '		~Ж=	~~ ~Щ		У=	' • • • > " ) •
Разумеется, «новый» гамильтониан Н* как функция новых пере-
менных q, р может				отличаться		от «старого» гамильтониана Н
как	функции старых переменных q, p — именно поэтому речь идет
о ковариантности, а не об инвариантности канонических уравне-
ний по отношению к преобразованиям (113).
	Канонические		преобразования			могут		быть	использованы для
того, чтобы упростить систему уравнений Гамильтона, сделать ее
более		удобной для интегрирования. Далее канонические преобра-
зования будут использованы для того, чтобы получить из урав-
нений		Гамильтона иную форму уравнений движения — уравнение
в частных производных				Гамильтона —Якоби.
	В	связи с понятием канонического преобразования естественно
возникают две задачи.
	1°. Задано преобразование (113).						Определить,			является ли
оно каноническим.
	2°. Задано преобразование (113) и известно, что оно канони-
ческое. Задана			также	гамильтонова			система		с гамильтонианом
H(q,		p, t). Определить гамильтониан					H{q,		p*, t) преобразо-
ванной системы.
	Первую задачу решает теорема, устанавливающая									необходимые
и достаточные условия каноничности преобразования.
	Теорема . Для того чтобы преобразование (ИЗ)было кано-
ническим, необходимои достаточно,							чтобы существовали такая
функция F(q, p, 0 и такое					число с, чтобы тождественно выпол-

		5 8 KAHOHHMFCKHE ПРЕОБРАЗОВАНИЯ		313
нялось равенство
		\(fl—c^ipJbqJ	= — 8F (q, p, t).	(114)
В	формуле	(114) б —оператор	дифференцирования	функции
от q,	p, t при	«замороженном» времени, т. е.

Для независимых переменных операции б и с ! совпадают. Поэтому

bq, = dqr
Д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем сначала	необходимость	усло-
вий теоремы. Пусть преобразование (ИЗ)	каноническое.	Тогда

оно преобразует «старую» гамильтонову систему в «новую» гамильтонову систему. Для преобразованной, «новой» системы имеет место универсальный интегральный инвариант Пуанкаре

§ У; Р ;б<7;=const.

(П5)

Используя преобразование (ИЗ), переведем равенство (115) в пространство q, р, t

§ 2 % 6ф/ = const.	(116)
с

При этом замкнутый	контур С* переходит в замкнутый контур С
в этой же плоскости	t = i.

Равенство (116) верно при любом /. Поэтому его левая часть является универсальным интегральным инвариантом первого порядка. По теореме Ли Хуачжуна такой инвариант может отличаться от инварианта Пуанкаре лишь на постоянный множитель с. Следовательно,

или

Это равенство верно при любом выборе I и при любом выборе контура С*, а значит, и С в плоскости t —t. Поэтому оно выполняется лишь в том случае, когда подынтегральное выраже- ние—полный дифференциал некоторой функции при t = t. Обозначим ее —F. Тогда

U ^йф, - с £ р/ bq, = — 6F. Необходимость условий теоремы доказана.

314	ГЛ VII. ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Докажем достаточность этих условий. Пусть существуют число с и функция F (q, р, t) такие, что выполнено тождество (114). Пусть далее задана гамильтонова система

с гамильтонианом Я, и пусть			преобразования	(113)	переводят
эту	систему	уравнений Гамильтона в некоторую		систему диффе-
ренциальных уравнений
		4/= /) (?• Р> 0»	P? — ij(Q> Р> О-		(И7)
В	плоскости	f = / = const пространства q, p, t		выберем произ-

вольный замкнутый контур С и выпустим из него трубку прямых

путей заданной гамильтоновой системы. Преобразование (113) переводит ее в трубку прямых путей системы (117), а контур С — в некоторый замкнутый контур С*, лежащий в той же плоскости t = i (рис. VII.11).

Проинтегрируем теперь равенство (114) по контуру С:

Правая часть этого равенства содержит интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала и, следовательно, равна нулю; поэтому

Контурный интеграл, стоящий в правой части этого равенства, одинаков при любом контуре С в любой плоскости t = t, так как

§ 8 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

315

исходная система гамильтонова и для нее имеет место интегральный инвариант Пуанкаре. Значит, не меняется при этом и интеграл

ф2 % бФ/-

Производя в нем замену переменных с помощью заданного преобразования (113), убеждаемся, что и интеграл

не зависит от выбора контура С* в плоскостях t = t и сохраняется на любых сечениях плоскостями t = t трубки прямых путей уравнений (117). Следовательно, для уравнений (117) имеет место интегральный инвариант Пуанкаре. Поэтому в силу доказанной выше теоремы (см. стр. 298—299) система уравнений (117) является гамильтоновой, т. е. существует гамильтониан Н* (q*, р*, t) такой, что в уравнениях (117)

P*. 0 =- ^ (1=1,

Теорема доказана полностью.

По поводу доказанной теоремы сделаем следующее замечание. Теорема требует, чтобы выражение, стоящее в левой части тождества (114), было полным дифференциалом некоторой функ-

ции от q, р, t при	«замороженном»	времени / = /=const. Пере-
пишем левую часть	тождества (114)	так:
где

Условие того, что левая часть тождества (114) есть полный дифференциал (при t = 1), имеет вид

дц, - dqk '

dPk ~ dPj •

dPk ~ dq,

( / , « - ! . . . .

, л ) .

В связи с этим условие того, что преобразование (113) каноническое, может быть сведено к системе равенств

\dqsdqk

dqkdqs)~~ ' Zi\dpsdpk

dpkdps)~~ '

316	ГЛ VII	ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ
1де s, k—\,	.... п,	а 6^ —символ Кронекера. Если ввести в рас-
смотрение скобки Лагранжа

			[*» У^ — ^дх		ду	ду дх)'
где	в качестве х		и у	могут быть рассмотрены любые переменные b
и р,	то	выписанную		выше систему		равенств можно компактно
записать		так:
		[Qs,	9 * ] = = 0 , IPs, Pft] = 0>			[qs> Pk]= &slfi-

Эти формулы позволяют эффективно установить, является ли

заданное		преобразование				(113) каноническим; в том случае,				когда
преобразование			оказывается				каноническим, они позволяют вы-
числить		величину		с.
Приступим			теперь		к	решению второй		из	сформулированных
выше задач, т. е.				задачи		об определении гамильтониана Н* по
заданному гамильтониану						Н.
Т е о р е м а .			Пусть		преобразование (113)			является каноническим,
причем с и F (q, p, t), при которых удовлетворяется тождество										(114),
известны. Тогда «новый» гамильтониан Н*								определяется по		«ста-
рому» гамильтониану Н,						если в функции
выразить		переменные q			и	р через q* и р*		при	помощи преобразо-
ваний (113'), обратных преобразованиям (113).
Д о к а з а т е л ь с т в о .						Умножим равенство (118) на dt и выч-
тем	результат		из тождества				(114)
или	учитывая,		что	bqj —		dqjt
				-	Н* dt = с ( 2 pj dqj -Hdt)-				dF.	(119)
В пространстве q, p, t					выберем произвольный замкнутый контур С
и выпустим из него трубку прямых путей								гамильтоновой системы
с гамильтонианом				Н. Пусть			преобразования		(113) переводят эту

гамильтонову систему в некоторую «новую» систему гамильтоновых уравнений (по условию теоремы преобразование каноническое!), трубку прямых путей «старой» — в трубку прямых путей «новой» гамильтоновой системы, а замкнутый контур С —в замкнутый же контур С*.

§ 8 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	317
Проинтегрируем равенство (119) по контуру С.	Учитывая,

что интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала dF равен нулю, получаем

ф [ 2 IV d<p, - Н* (	Ф, г\|), t)dt] =
с

Для системы с гамильтонианом Н имеет место интегральный инвариант Пуанкаре —Картана. Поэтому интеграл в правой части выписанного равенства не зависит от выбора контура С на трубке прямых путей этой системы. Значит, не зависит от выбора этого


контура и интеграл в левой	части равенства
- / / * (<р,		dt\=	const.
Произведем теперь в этом		интеграле	замену переменных
с помощью заданного преобразования (113)
Pdq]-H	(<?,р, ОЛ] = const.

Это равенство устанавливает интегральный инвариант Пуанкаре —Картана для «новой» гамильтоновой системы, и в силу обратной теоремы теории интегральных инвариантов функция H*(q*, p*, t) является гамильтонианом этой системы. Теорема доказана.

Условимся теперь о следующей терминологии. Функцию F, входящую в формулы (114) и (119), будем называть производящей функцией(причины такого наименования будут разъяснены далее), а число с, входящее в эти формулы, — валентностью преобразования. Преобразование называется унивалентным,если условие (114) выполняется при с = 1 .

Преобразование (ИЗ) называется свободным, если для первых п его уравнений

	<7/=Ф/(<7. Р- О					(120)
якобиан	отличен от	нуля:
	J 4. II dip		dpi	' "	дрп	(121)
	J 4. II dip
	det -3s-		d(fn
	det -3s-		d(fn			дц>„
		1дР	dpi	' "	дрп
При	выполнении	этого	условия		уравнения (120) можно раз-
решить относительно		р:

Pj = 4i(q, q\t)

( / = 1

»).

(122)

318	гл VII ДВИЖЕНИЕ ВПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ
	гл VII ДВИЖЕНИЕ ВПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ
и в случае свободного преобразования		формулы (113) можно
записать так:
	О, Р/=Ч>/(<7> Р, f) =	=ty(q, q*, t)(123)
	( / = 1 , . . . , п).

В случае свободных канонических, преобразований можно задаваться произвольными старыми и новыми обобщенными координатами q и q* и определить по ним старые и новые импульсы р

и р*. Старые импульсы		находятся изпервой группы	уравнений
(123),	а новые импульсы— из второй группы этих		уравнений
(при	подстановке вместо	р выражений, полученных	ранее из

первой группы уравнений).

В случае свободных преобразований производящая функция F, входящая в правую часть критерия каноничности (114), также может быть представлена как функция только обобщенных координат (старых и новых) и времени

F[q, <p(q, q*, t),t] = S(q,	q*, t),	(124)
и формула (119), выражающая «новый»	гамильтониан Н* через
«старый» гамильтониан Н, принимает вид
[Zpjd^-H*dt]-c[^pjdqj-Hdt}^-dS(q,		<?*, t). (125)
При переходе от формулы (119) к формуле		(125) в первой

квадратной скобке в левой части равенства	%р и <р заменены на
р* и q* в соответствии с формулами (ИЗ).
Запишем теперь выражение для полного дифференциала, сто-
ящего в правой части равенства (125), более	подробно:

dSdt dt.

Приравнивая члены, стоящие слева и справа в качестве множителей при дифференциалах одних итех же переменных, можно записать равенства

dS	dS	( / = 1 П)	(126)
	dq) • = - P i

и, кроме того, равенство, связывающее старый и новый гамильтонианы:

(127)

		§ 8 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ			319
Пусть	теперь	задана некоторая	функция S(q,	q*, f).	Тогда
в силу равенств		(126) р) и р; будут	функциями тех	же аргумен-
тов; обозначим эти функции через %			и фу соответственно:
р*	=- щ =Ъ(<1'Ч')'		Р/ = Щ	= Ъ(Ч>	я***)
		( / = 1 , . . . , я).

Равенства (128) и (123) совпадают. Из этого следует, что выбор функции S(q, q*, t) однозначно определяет свободное преобразование (123), и равенство (127) позволяет по заданному старому гамильтониану Я определить новый гамильтониан Я*. Однако определенный так гамильтониан Я* является функцией «смешанных переменных» q, р, q*, t, ибо Я зависит от q, р, t, a dS/dt является функцией от q, q*, t. Чтобы найти Я* как функцию только от <7*> Р* и t, надо выразить q и р через новые переменные q* и р*. Это можно сделать при помощи равенств (128), но только в том случае, когда первые п из этих равенств можно разрешить относительно q, т. е. когда

			=	det(—1)"		dqf	dq\ФОk .	(129)
Поэтому			произвольно	выбранная		нами функция		S (q, q*, t)
должна удовлетворять условию (129).
Итак, произвольный выбор производящей функции S, удов-
летворяющей			условию (129), сразу позволяет получить как фор-
мулы	для	соответствующих		свободных канонических преобразова-
ний,	так	и	выражение	для	гамильтониана преобразованной
системы через новые гамильтоновы переменные. В								этом смысле
выбор	функции S и числа сфО				задает		свободное каноническое
преобразование.

Наоборот, если задаются «старый» гамильтониан Я и «новый» гамильтониан Я*, то равенство (127) служит для определения производящей функции S. Поэтому в случае свободных преобразований можно, задав гамильтониан непреобразованной системы и желаемый гамильтониан преобразованной системы, найти производящую функцию S и, зная ее, восстановить соответствующее каноническое преобразование.

Установленный выше критерий каноничности требует, чтобы левая часть выражения (114), содержащая параметр сфО, при некотором значении этого параметра являлась бы полным дифференциалом. Иногда этот критерий используют в «упрощенной форме», полагая с = 1 . Ясно, что в такой форме критерий не определяет уже необходимых и достаточных условий каноничности, а является лишь достаточным условием, и естественно возникает вопрос о том, сколь широко такое достаточное условие.

320 ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Чтобы выяснить это обстоятельство, рассмотрим два примера.

П р и м е р 1.	Рассмотрим		гамильтонову		систему с одной сте-
пенью свободы	и	однопараметрическое		семейство линейных пре-
образований
		1			2
	< 7 * 2 7 + a p			p*	q + a p
где а Ф0 — параметр.
Преобразования		эти невырожденные,		так	как
		2	1 а
		А =	2
			2
		1	3 а

Импульсы р и р* выражаются через q и q* так:

Из условия афО следует, что если преобразования этого семейства являются каноническими, то они будут также и свободными.

Поэтому чтобы установить каноничность преобразований, воспользуемся критерием каноничности в форме

dS dS

Все преобразования рассматриваемого семейства будут свободными каноническими преобразованиями, если при любом афО можно подобрать сфО и функцию S(q, q*, t) так, что выполняются равенства

dS	dS	*	о *
dq	дд* =	*	2q*.
	дд* =	— р* —

Тогда из очевидного равенства
д /dS	_ д fdS \
dq* \dq	~ dq \dq*	j

получаем	д
	д
ИЛИ
т. е.

с —а.

Ч КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

321

Учитывая это, из соотношений

dS	( б	. 3	„Д	с т о *
= ср = с	a	а А	а*	= — Ьа 4-За*,

находим и производящую функцию

S = — 3<?2 4- 3qq* -q*2 + W (t).

Новый гамильтониан			Н* вычисляется так:
		и*		— и л. д*У(О
		п		-ал	+	dt .
Таким образом, установлено, что все преобразования рассмат-
риваемого	семейства	при а # 0			являются свободными канониче-
скими преобразованиями				валентности			с = а.	Если бы в этом
простейшем примере мы попытались						использовать			«упрощенный»
критерий	с с = 1 , то	установили			бы каноничность только преоб-
разования	при а = 1	и не могли				бы	установить		каноничность
всех остальных преобразований этого семейства.
Пример 2. Рассмотрим для произвольной гамильтоновой
системы с п степенями свободы					тривиальное			«переобозначение
фазовых координат»
	<7/=Р/>		Р/=<7/		( / = 1 . •••- п).

Непосредственно видно, что любая гамильтонова система с гамиль-

тонианом Н (q,	p, t) в	силу этого преобразования переходит
в гамильтонову	систему	с гамильтонианом Н* = — Н (р, q, t)

и, следовательно, это преобразование каноническое. Из того факта, что Н и Н* отличаются только на постоянный множитель,

следует (см. формулу	(127)), что S не зависит от	t и dS/dt — O.
Но тогда	Н*=сН
	Н*=сН
и с = — 1 , поскольку	Н* = — Н.
Таким образом, в	этом тривиальном примере	каноничность

преобразования вообще не следует из упрощенного критерия каноничности с с= 1.

Оба разобранных примера	свидетельствуют о том, что учет
сф\ является не украшением	теории, а отражает само существо
дела.

В заключение этого параграфа заметим, чго последовательное выполнение нескольких канонических преобразований также представляет собой каноническое преобразование с валентностью с, равной произведению валентностей выполненных преобразований, так что множество канонических преобразований образует группу. Унивалентные преобразования составляют ее подгруппу.

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3732 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика