Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

скалярными или векторными величинами, рассмотренными в один и тот же момент времени. Задача описания движения в целом сводилась к интегрированию полученных дифференциальных уравнений, и мы уже знакомы с возникающими здесь трудностями.

Такой локальный подход не является единственно возможным при изучении движения. В конечном итоге траектория движения —кривая в некотором пространстве, и поэтому возможен иной подход к изучению движения. При этом подходе интересуются не локальными свойствами движения, а его глобальными свойствами— тем, чем эта траектория движения в целом отличается от других кривых в том же пространстве.

Если локальному подходу соответствовал аппарат дифференциальных уравнений, то глобальному подходу соответствует аппарат вариационного исчисления. В связи с тем, что основы вариационного исчисления обычно незнакомы студентам к моменту, когда изучается классическая механика, автор вынужден предпослать изложению вопросов, связанных с глобальным подходом, некоторые сведения о вариационном исчислении, ограничиваясь лишь самыми необходимыми фактами; мы рассмотрим к тому же не общий, а лишь частный, недостаточный для наших целей случай, когда сравниваются кривые, принадлежащие одному и тому же однопараметрическому семейству (пучку).

Отображение, которое ставит в соответствие каждой функции из некоторого множества определенное число, называется функционалом. (Пример функционала — определенный интеграл.)

Рассмотрим однопараметрическое семейство кривых, определенных в (п + 1 )-мерном расширенном координатном пространстве qu q2, ..., qn, t:

где a —параметр, задание которого однозначно определяет кривую семейства. В качестве функционала условимся рассматривать определенный интеграл от какой-либо функции Ф, зависящей от всех или некоторых из координат q, скоростей q и, вообще говоря, времени t, взятый от момента t0 до t^.

Семейство функций (40) определяет в расширенном координатном пространстве семейство отрезков кривых 1) (рис.VII 1). Возь-

мем нижние концы этих отрезков на некоторой кривой, получающейся подстановкой t0 (а) вместо t в формулы (40). Тогда эти формулы параметрически зададут кривую в расширенном координатном пространстве (а —параметр). Пусть другие концы отрезков кривых (40) будут расположены в расширенном координатном

ренцировать по времени и подставить полученные выражения q и q в функционал (41). Тогда функция Ф, стоящая под знаком интеграла, будет функцией только от времени, так что можно вычислить интеграл (41) и после подстановки пределов определить число—• значение /ф. Таким образом, каждой кривой рассматриваемого пучка (40) функционал (41) ставит в соответствие некоторое опре-

малей.

Таким образом, экстремалями заданного семейства кривых (40) являются те кривые, на которых функционал имеет стационарные значения.

Имея дело с семейством функций (40) от двух переменных, условимся далее обозначать буквой d операцию частного дифференцирования по явно входящему времени (при неизменном параметре а), а буквой б —операцию частного дифференцирования по параметру а (при фиксированном значении времени t):

276 ГЛ VII ДВИЖЕНИИ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

но

В последнем интеграле в формуле (52) пределы интегрирования надо понимать как указание на то, что при подстановке пределов функция, по которой ведется интегрирование, должна быть взята в моменты t0 и tt соответственно. Взяв последний интеграл по частям, получим

Подставим теперь это выражение в формулу (51):

Подставляя далее выражения (54) в формулу (50) и используя определение импульса р}, получаем

h (a) + 2 Р) [Н ]t = Л (а)) - ( ^ о («) + 2 Z3" fИ 1 ='.(а))• (55)

Обратим внимание на то, что в формуле (55) записи

результат следующей операции: в выражении qt (t, а) сначала делается замена t на tt (а) или t0 (а) и лишь после этого вычисляется дифференциал по ос. Дифференциалы (57) имеют смысл линейной части приращений qn вызванных смещением концов

Представив гамильтониан Н в виде (21), это можно записать так:

а в каком-либо ином пространстве х ). В таких случаях потребуется

Пространства, используемые в данной главе, описаны в § 2 гл. VI.

Это:

n-мерное координатное пространство <7;

(п + 1)-мерное расширенное координатное пространство q, t; 2п-мерное фазовое пространство q, p (или, что все равно, q, q);

(2я+1)-мерное расширенное фазовое пространство q, p, t (или q, q, t)

предварительно «перенести пучок» в расширенное координатное пространство, т. е. преобразовать задачу к условиям, при которых выведена формула (60). Первой из этих задач является доказательство так называемого вариационного принципа Гамильтона, т. е. по существу вывод уравнений Эйлера вариационного исчисления. Вторая задача состоит в установлении связей между законами сохранения и инвариантностью уравнений движения по отношению к различным преобразованиям координат и времени. Наконец, третья задача связана с изучением некоторых общих свойств движений в потенциальных полях — с интегральными инвариантами.

точку В, нетривиален. Ведь построение проводится в расширенном координатном пространстве; следовательно, выбор точки в нем

образом, для определения прямого пути получается не задача Коши об интегрировании системы дифференциальных уравнений по полной системе начальных данных, а краевая задача. К вопросу о существовании и единственности решения поставленной так задачи нам еще придется вернуться; пока же будем исходить из предположения, что прямой путь существует и является един-

ственным. Помимо прямого пути проведем произвольное семейство кривых, соединяющих точки А и В так, чтобы они совместно с прямым путем образовывали бы однопараметрическое семейство кривых. Обозначим через а параметр этого семейства и предположим, что прямой путь соответствует а = 0.

Рассмотрим действие по Гамильтону на этом пучке кривых. Сравнивая возникающую так задачу с задачей, рассмотренной в § 4 при выводе общей формулы для приращения действия по Гамильтону, обратим внимание на то, что все кривые введенного сейчас в рассмотрение пучка (рис. VII.2) пергсекаются в начальной и в конечной точках А и В. Эго значит, что в точках А и В ни значения координат, ни значения времени t не меняются при изменении параметра а, т. е.

и общая формула для приращения функционала для такого пучка (рис. VII.2) принимает вид

На прямом пути удовлетворяются уравнения Лагранжа системы; поэтому все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формуле (61), тождественно равны нулю. Отсюда сразу следует, что на прямом пути вариация действия по Гамильтону равна нулю, г. е. что прямой путь является экстремалью рассматриваемой вариационной задачи —на прямом пути действие по Гамильтону достигает стационарного значения.

Установленное выше утверждение о том, что прямой путь доставляет действию по Гамильтону стационарное значение, называется вариационным принципом (илиначалом) Гамильтона. Принцип Гамильтона замечателен тем, что он выделяет прямой путь среди всех окольных путей, которые могут быть проведены между двумя точками расширгнного координатного пространства, устанавливает общее свойство прямого пути, его отличие от иных кинематически возможных, но не реализующихся в рассматриваемом потенциальном поле путей 1).

!) Если система содержит механические голономные связи, a qj —ее обобщенные координаты, то по самому определению обобщенных координат движение по любой кривой, ведущей из точки А в точку В, не противоречит механическим связям.

Обратим внимание теперь на то, что справедливо и обратное утверждение: если соответствующая сс= О кривая из пучка, представленного на рис. VII.2, такова, что действие по Гамильтону достигает на этой кривой стационарного значения и при а = 0 вариация действия равна нулю, то эта кривая удовлетворяет уравнению Лагранжа, т. е. является прямым путем. Действительно, если положить равной нулю вариацию действия в левой части уравнения (61) и вспомнить затем, что вариации координат 8qj независимы и могут быть выбраны произвольно, то отсюда следует, что выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла, порознь равны нулю, т. е. что уравнения Лагранжа удовлетворяются всегда, когда в формуле (61) левая часть обращается в нуль.

вариантную запись — уравнения Лагранжа), а вариационный прин-

ционного принципа, устанавливающего общие свойства движения в глобальных терминах, и уже из этого принципа получать уравнения движения.

Утверждение, обратное принципу Гамильтона, важно и по другой причине: оно позволяет установить, как изменяется лагранжиан при преобразовании координат и времени, и тем самым разъяснить, что собственно имеется в виду, когда утверждается, что уравнения Лагранжа ковариантны по отношению к таким преобразованиям. Рассмотрим преобразования

t эти решения определяют семейство кривых. В пространстве q*, t* им соответствует «новое» семейство кривых.

Поставим теперь следующие вопросы: всегда ли существует

Как определить «НОЕЫЙ» лагранжиан L* (q*, dq*/dt*, i*) по «старому» лагранжиану L (q, dqjdt, t)?

Чтобы ответить на эти вопросы, выпишем действие по Гамильтону для «старой» системы

и

I =\L(q, dq/dt, t) dt

и выполним в нем замену переменной t на t* в соответствии с преобразованием (62). При этой замене используется соотношение /= г|> (q* (t*), t*), и поэтому

q(t) = q№{q*(t*), t*))= Ф(q*(П, t*).

Таким образом, операция замены переменной t на t* эквивалентна подстановке в подынтегральное выражение зависимостей (62). В результате получаем

или

'?

d < 7 |

a dty/dt* совпадает со знаменателем этой дроби.

Легко показать, что экстремаль является инвариантом преобразований, т. е. если преобразования (62) выполняются одновременно над кривой пучка, представляющей собой экстремаль, и над функционалом, то преобразованная кривая остается экстремалью для преобразованного функционала. Отсюда и из обратного утверждения принципа Гамильтона (см. выше) сразу следует, что пре-

Таким образом уравнения Лагранжа ковариантны по отношению к любым преобразованиям координат и времени вида (62),