Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

величины Ак, являющиеся коэффициентами Фурье в разложении

Рис. VI.21.

внешней периодической силы в ряд; в указанном случае | Wyj (kiQ) | ограничен, а Л и все Ак стремятся к нулю, если внешнее периодическое воздействие по модулю стремится к нулю. В силу этого вынужденное движение остается в сколь угодно малой окрестности исследуемого положения асимптотически устойчивого равновесия, если внешнее воздействие по модулю достаточно мало. Именно это обстоятельство дает возможность изучать действие внешней силы на систему в линейном приближении —если амплитуда внешнего воздействия достаточно мала, то результирующее движение не выходит за пределы малой окрестности положения равновесия, в котором движение с достаточной точностью может быть описано линейными дифференциальными уравнениями.

3. Малая по модулю вынуждающая непериодическая сила, представимая интегралом Фурье. Рассмотрим теперь движение стационарной системы, возникающее под действием вынуждающей силы при следующих условиях. Будем предполагать, что вынуждающая сила была равна нулю до некоторого момента времени, принятого нами за нуль отсчета времени, т. е. что до этого момента система находилась в положении устойчивого равновесия и что, начиная с момента £ = 0, на систему действует вынуждающая сила, зависящая от времени, но малая по модулю, так что движения, вызванные этой силой, могут быть описаны соответствующими уравнениями линейного приближения. Иначе говоря, предполагается, что все <7/ = 4/ = О П РИ t<iO и что движение возникает лишь благодаря тому, что Q=£0 при f>0. Таким

254 ГЛ VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

где

В нашей задаче далее мы будем интересоваться лишь функциями, начальные значения которых равны нулю. Опуская поэтому в формуле (78) начальные значения, получаем еще более простые формулы для вычисления фурье-преобразований производных по известному фурье-преобразованию самой функции:

Вернемся теперь к дифференциальным трехчленам, которые содержатся в интересующих нас уравнениях линейного приближения (55). Фурье-преобразование такого трехчлена находится его

умножением на e'at и последующим интегрированием по Q от

— ос до + °°-

Таким образом, фурье-преобразование интересующего нас трехчлена получается из фурье-преобразований координаты qk просто умножением на те самые множители djk (t'Q), которые фигурировали выше при построении частотных характеристик. Поэтому в результате преобразования Фурье система дифференциальных уравнений (55) в случае Qi(t) = Q* (t), Qj(t) = O, (j = = 2, ..., n) переходит в систему линейных алгебраических уравнений относительно фурье-преобразований

Сравнивая формулы (81) с формулами (64), которые служили для определения амплитуд вынужденных колебаний по амплитуде действующей гармонической силы, мы видим, что они совпадают. Однако входящие в них переменные имеют разный смысл: в уравнениях (64) этими переменными являются искомые амплитуды, а в уравнениях (81) —фурье-преобразования интересующих нас движений и внешней силы.

Разрешая уравнения (81) относительно фурье-преобразования какой-либо координаты, получаем

где Д и Д1; имеют тот же смысл, что и в (65). Используя введенное ранее обозначение (65), получаем

монического воздействия частотная характеристика связывает комплексные амплитуды воздействия и возникающего вынужденного движения, а в случае непериодического воздействия эта же частотная характеристика таким же образом связывает комплексные спектры воздействия и возникающего в результате движения.

Задача состоит теперь в том, чтобы по вычисленному таким образом спектру изучаемого движения найти само движение.

Определение преобразуемой функции по фурье-преобразованию называется обратным преобразованием Фурье,и наша цель —най- ти его.

С этой целью выделим действительную и мнимую части комп-

Возвращаясь теперь к формуле (75), определяющей обратное преобразование Фурье, подставляя под знак интеграла (75) выражение комплексного спектра координаты qk (84) и выражая экспоненциальную функцию через тригонометрические, получаем

часть содержит и мнимые члены. Очевидно, что вся совокупность

Пусть действительная часть комплексного спектра координаты 9/ —четная функция. В таком случае вместо (88) можно написать еще более простой интеграл

Формула (88) или соответственно формула (89) сводит задачу определения движения стационарной системы, возникающего

действительной частотной характеристикой возмущения, и зная ее, можно без особого труда любым приближенным способом подсчитать интеграл (88) или (89). Самый простой способ для

Таким образом, движение в окрестности положения устойчивого равновесия может быть найдено в случае, когда внешнее воздействие либо гармоническое, либо периодическое, но не гармоническое, либо, наконец, не периодическое, но представимое интегралом

Фурье. Центральным для решения этой задачи являются понятия-ком-

Г л а в а VII

ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Если функция (1), удовлетворяющая условиям (2), существует, то говорят, что движение системы происходит в потенциальном поле с силовой функцией (1) и с потенциальной энергией

П= — Ф.

Впредыдущих главах были установлены следующие важные факты, касающиеся движений в потенциальных полях.

1° Если в «исходных» декартовых координатах существует потенциальная функция (1), то при любом выборе «новых» (обобщенных) координат qy(/ = l, . . . , п) существует функция ^ ( f t , . . .

. . . , qn; t), такая, что

щенные импульсы являются, вообще говоря, функциями тех же переменных

В силу соотношений (7) частная производная от импульса по какой-либо обобщенной скорости имеет вид

Определитель матрицы, составленный из коэффициентов ajk, отличен от нуля в силу основной теоремы лагранжева формализма,

относительно обобщенных скоростей, т. е. представлена в виде

торый момент известны обобщенные координаты и обобщенные импульсы, то по формулам (12) всегда можно подсчитать обобщен-