Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

.pdf

Скачиваний:

1256

Добавлен:

15.08.2013

Размер:

13.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3731 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

302	ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Если теперь выбрать в момент t0 малую область AS0, зафиксировать системы ансамбля, которые при t = t0 представляются точками области AS0, и далее вести наблюдение за ними (т. е. считать, что Аг неизменно) и учесть, что в силу теоремы Лиувилля объем AV также не меняется во время движения, то отсюда сразу следует, что отношение р не меняется во времени. Следовательно, плотность статистического ансамбля не меняется во время его движения, т. е.

р = const.

Это утверждение представляет собой иную формулировку теоремы

Лиувилля об инвариантности фазового объема.
В связи с тем, что	плотность статистического ансамбля зави-
сит только от фазовых координат и времени		и не зависит от
производных фазовых	координат, утверждение	р = const опреде-
ляет первый интеграл уравнений движения.
Приступим теперь	к доказательству теоремы Лиувилля. Эта
теорема сразу следует из свойства любых решений гамильтоновой

системы, которое устанавливает				следующая
Лемма . Пусть
			= ty(t; t0,		(/=1,		...,	п)
— решения гамильтоновой			системы, при		заданных	t0	и t опреде-
ляющие преобразование q°, р° в q, р. Тогда якобиан						J (t0, t)		этого
преобразования		равен единице при любом t.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Произвольно выберем начальные					дан-
ные t0,	q° и р°. Тогда указанное преобразование при t = t0							опре-
деляет
		(/ = 1		п),
т. е.	является	тождественным		преобразованием.		Поэтому		при
t = t0	якобиан	J является определителем			единичной матрицы Е,

иутверждение леммы тривиально. Определитель J имеет вид

	§ 7 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ	305
Подсчитаем	теперь, чему равна производная dJ/dt1)	при t = t0.
Вспоминая,	что производная определителя равна сумме опреде-

лителей, каждый из которых получается дифференцированием одной из строк, имеем

di=

Jk'

где

(*)

&Я{

^п

dpi '"

драп

k-я

строка.

Здесь

определитель

выписан для

ks^n,

а символ (*) означает,

что

соответствующей

части

определителя

Jk стоят те

же эле-

менты, что и в исходном определителе

Учитывая,

что

J = detE

при t = t0,

имеем

k-й

столбец

1 о

k-я

строка,

0 ...

1 ...

...

где

символ А

заменяет

в k-я строке

элементы,

значения кото-

рых

не играют

роли

в дальнейших

рассуждениях. Раскрывая

этот

определитель

по элементам &-го

столбца, в случае

l k

получаем

г / 1

(dlfk\

1Цк\

YJk\t=t0

— hj^i

— I Л/То"

В случае n

аналогично имеем

Vk\t

= t

= (дЛл\

(дЁк\

1) Мы подсчитываем полную (а не частную) производную dJ (/0, 0/^'. поскольку <0 рассматривается как параметр,

304 ГЛ. VII. ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

поэтому

2л	л
A	i ml-*.ш\
к — I	/ — 1

Заменяя в этом равенстве 4/ и pj их выражениями из канонических уравнений Гамильтона, получаем

\dJ(t0,

/ д

дН(д, р, t)

dH(g, p, t)\

J< =/.

L\dq)

dPj

dp)

j ~

^ Д

t0)

dp«.dq«.

Таким

образом,

момент

t = tQ

мы

имеем

J (t0,

to) =

[dj (t0,

t)/dt]t=to

= O.

Заметим,

что

t0 было выбрано произвольно

и в качестве начальной может быть

взята

любая точка

t = t1

фазовой траектории. В силу

этого [dJ {tu

/)/<#]<=<, = 0 для любого

t = tt.

Пусть теперь

to<it1<ct. Для

того

чтобы

по известным^

в момент t0

и р0

определить q и р

в момент /, можно исход-,

ные

формулы

преобразования использовать

дважды: сначала

по

<7о,

Ро и

^о найти qlt

рг

и /1(

а затем

принять qx,

рг и tx за на-

чальные

и определить

q, p и t. При последовательном

выполне-

нии

преобразований

их

якобианы

перемножаются,

так

что

J{tQ,

t) = J(t0,

tJJih,

t); поэтому

ffdJ

(flt

\di

}t~tt-Jv»

h)\

Но

выше было

показано,

что

dJ (tx,

t)/dt = O при любом /= /г.

Следовательно,

и (dJ (t0,

t)/dt)t =

tl = O. Таким образом, показано,

что

Л =л,= 1 и dJ/dt — O при любом t>t0.

Следовательно,

7 = 1

при всех /. Лемма доказана.

Д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы

Л и у в и л л я .

Выберем

в фазовом пространстве q, р замкнутую область So, соответст-
вующую t = t0		(рис.	VI1.10).	Фазовое	пространство	имеет 2ч
измерений, и	поэтому		объем Vo	области	So выражается	2/г-крат-
ным интегралом
			2л

Воспользовавшись формулой преобразования кратного интеграла при преобразовании координат, определим фазовый объем Vx

в момент t = to+x:

2л

= s. \...\\Jldql...dq0ndpl...dpl

	§ 7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ			305
Н о	в силу д о к а з а н н о й	леммы	У = 1 , поэтому
при	любом t. Теорема Лиувилля доказана.
	5. Классификация интегральных инвариантов. Теорема Ли Хуа-
чжуна. Мы рассмотрели		лишь	три интегральных	инварианта —

инвариант Пуанкаре —Картана, универсальный инвариант Пуанкаре и инвариант «фазовый объем». В классической механике вводятся и иные интегральные инварианты, которые мы не будем

рассматривать,	а остановимся лишь на общей их классификации.
В тех случаях, когда		интегральный инвариант относится
к какому-либо	замкнутому	контуру, он называется относитель-

ным. Интегральные инварианты Пуанкаре —Картана и Пуанкаре являются относительными, а инвариант «фазовый объем» таковым не является.

Инварианты, не содержащие гамильтониана и, следовательно,

^охраняющиеся	для всех динамических систем, движущихся
& потенциальных	полях, называются универсальными. Инвариант

Пуанкаре и инвариант «фазовый объем» — универсальные, а инвариант Пуанкаре —Картана не относится к универсальным.

Порядок инварианта определяется размерностью множества, по которому производится интегрирование. Инвариант Пуанкаре— Картана и универсальный инвариант Пуанкаре являются инвариантами первого порядка, так как интегрирование в этих инвариантах производится по одномерному множеству (поконтуру). Инвариант «фазовый сбъем» является инвариантом 2я-го порядка, так как интегрирование производится по 2я-мерной области —фазовому объему.

Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре имеет вид

Универсальный относительный интегральный инвариант первого порядка в общем виде можно было бы записать так:

Л = $ 2 [Л, (q, p, t) bq,+ В, (q, р, t) Ьр,].	(90)
с

Естественно возникает вопрос: существуют ли универсальные относительные инварианты первого порядка Jlt отличные от инварианта Пуанкаре J{? Ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Ли Хуачжуном.

Теорема . Любой универсальный относительный инвариант первогопорядка ]г может отличаться от инварианта Пуанкаре

11 М. Л, А(Ъермаи

306	ГЛ VI! ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

лишь постоянным множителем, т. е, для любого Ji существует константа с такая, что

Д о к а з а т е л ь с т в о . Доказательство теоремы Ли Хуачжуна

сводится к	доказательству следующего утверждения:	из того
факта, что	Д —относительный универсальный интегральный инва-
риант, следует, что
	2 [ ( Л - с Д ) Ч - Ь Я / в Р у ] = 6Ф.	(91)

где с = const, т. е. сумма, стоящая в левой части равенства (91), является полным дифференциалом некоторой функции Ф(д, р, t). Иначе говоря, это утверждение означает, что при любых / и k выполняются равенства

9°				dlL~dl±
			dp	~	dp, '
oc		d(AjcPj)	dBk		dAj		dBk
3 °			L _	и л и	' = с §		i
		dpk	dq, '		dpk	J"	' dq, '
где 8jk	— символ Кронекера.
Действительно,			если это	утверждение		справедливо, то, пред-
ставляя		(91) в виде
		2 [Aj 8qj + Bj 8p}] = с £ Pj				8qf + 6Ф

и интегрируя это равенство по любому замкнутому контуру С, немедленно приходим к утверждению теоремы Ли Хуачжуна:

f 2 Щ bq, + В, Ьр,] = c§J^p,bq,.

Таким образом, наша задача сводится к доказательству равенств 1°-3°.

Д о к а з а т е л ь с т в о р а в е н с т в 1° и 2°.

Если гамильтониан H(q, p, t) и начальный контур

выбраны произвольно, то решения уравнений Гамильтона определяют трубку прямых путей

'о («). 0» Р= Р (%(«). Ра(а). М«), *>

(9 2 )

§ 7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

307

и каждое значение t=~t выделяет контур, охватывающий эту трубку. Если выражения (92) подставить в (90), то из того факта, что /j —инвариант, сразу следует, что

Меняя порядок выполнения операций d/dt и S и интегрируя два последних слагаемых по частям1), получаем

где

dA'	- д л '
ИГ - ~W
dB,	дВ, \ дВ/	\ дВ,

Подставим эти выражения в равенство (93) и изменим порядок суммирования; это дает

fdq, dBfd

dB>dp/

Заменив в первом контурном интеграле индекс / на к и сгруппировав члены, содержащие множителями б<7*. и Ьрк, можно

') Интеграл берется по замкнутому контуру, и поэтому при интегрировании по частям проинтегрированная часть обращается в нуль,

11*

308 ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

записать 5то равенство так:

[	1	(		+
\ d A k		V \дА>	dq>	i дВ>

W * dt + dpk dt jjj - U-

Подставим сюда выражения (94) для dAk/dt и dBkjdt (предварительно поменяв местами индексы k и /):

dq, dqhj + Zi dt [dp, dq

					ЗАЛ \dP/(dBk				дВ
									- ^ ! \ \ = 0 -	( 9 6 )
Введем	обозначения
			дАь		дА,			dBk	dAj
		kl		dq/	dqk	'	У	dq/	дрь '
	.			™*	дВ,		п
в них	равенство	(96)		принимает вид
			ф Ц					О,		(98)
где			с	*
где
				дАк	V		1йЧ,	dp,
				дВк	УЛ/dq,			dp
Равенство (98)			должно		выполняться на любом контуре С
(т. е.	при любом		/). Это		возможно			лишь	в том случае,	когда
подынтегральное		выражение				является		полным дифференциалом,
т. е. когда при		любых k и			v
					^		= ^			ПОП

dqv

dqk'

^ 1 U 1 >

§ 7 ИНТЕГРАЛЬНЫ? ИНВАРИАНТЫ

309

Исследуем			подробнее равенства (101). Подставляя в них выра-
жения	(99) для у,, и учитывая,						во-первых, что
	д		дАк _		_ d _ dAy_ __		d	!dAk	__	дА,
	dqv		dt		dq/i	dt	dt	\ dqv		dq^
а, во-вторых,			что q	и р		удовлетворяют				уравнениям Гамильтона
					dq,	дН	dp,			дН
получаем
d у	, d	у	1дН	у	_	дН г,	\ ^ ^ 5		VI	/ЙЯ у	_ дН
Заметим, что эти равенства имеют										место при любом выборе
функции Я. Функции Л и В (а следовательно, и функции Y и R)
в силу	универсальности интегрального инварианта (90) не зависят
от Я, можно поэтому установить общие свойства функций Y и R,
выбирая функцию Я					каким-либо специальным образом. Восполь-
зуемся	этим	обстоятельством и, задавая различные функции Я,
выясним условия, которым удовлетворяют функции Y и R.
1. Пусть		Я = const, тогда равенство								(104)	принимает вид
						dYkv		А

2 Пусть Я = ^]а;<7/; тогда с учетом (105) равенство (104) записывается так:

и поскольку а/ могут выбираться произвольно,
	3. Пусть Я		не зависит от р (так что д Я / д р ; = 0 (/==1,				..., п))
и	зависит	от q	так, что
			3—3		= Щт = COnSl.
			dqt dqm		l	m
В	этом случае		из (104)	с учетом		(105) и (106) следует, что
				i		i
Числа alm		могут быть		выбраны		произвольно, но так, что ат, ~
•=а1т. Полагая a v y = a / v = 0,					получаем
			Ry=0		при v^i;		(107)

310	ГЛ	VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ
полагая	же акк	= а^Ф0,	находим, что
			Rkk = Rvv		(108)
Теперь	равенство (104) сводится			к виду
				"Yvj.	(109)
4. Пусть Н = ^iy]pJ\			тогда	из равенства (109),	к которому
свелось	равенство (104), следует, что
				dYvl
			i^-HqT-		<1 К ) )

5. Пусть Я не зависит от q и зависит только от р и притом так, что

тогда, рассуждая так же, как в случае 3, находим, что

Ykf = 0 при k Ф /.

Вспоминая, что YkJ является разностью (см. формулу (97))

_ дАк ЗЛ,

устанавливаем, что при любых k и j

dAft dAj dqt dqk'

Очевидно также, что yftft = yv v = 0. Итак,

у	--Y	__ А	у — о	п п и	Ь ^ ;	Л 1 П
'	kk — ' л	—• и ,	' kj — и	п р и	к =f=- j .	(ill)

В связи с тем, что А и В входят в исходные соотношения (97) симметрично, совершенно аналогичные рассуждения приводят к равенствам

2AA = Z / y = 0 ,	ZbJ=0	при кФ1,	(112)
т. е. при любых k и /
дВк	дВ/
dPi	дрк	'

Равенства 1° и 2° доказаны.
Д о к а з а т е л ь с т в о р а в е н с т в а	3°.	Воспользуемся теперь
равенством (103). С учетом (107), (111)	и	(112) оно дает

§ 8. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

311

Учитывая, что Rvv	— Rkk> получаем			равенство
dRkk	dRkkdH	.	dRkkdH		= Q
dt	дрх dqk	'	dqk	dpv	'

верное при любом Н.
Положив	Н = const,	имеем	dRkk[dt = Q; приняв		H = H(q) и
dH/dq^O,	получаем	dRkk/dpv	= 0;	в случае же	Н = Н(р),
дН/др;фО имеем dRjdqk		= 0, поэтому		окончательно
	oRw	ORvv	dRvv	л
	dt	~~dq~	W~	'

откуда следует, что

i?vv = с = const.

Учитывая, что Rkv = 0 для v=^A, получаем i?Vft = 5vftcv» где 6vft — символ Кронекера, причем в силу (108) константа cv при любому

имеет одно и то же значение с. Следовательно,

dAv dBk_ fi

и равенство 3° доказано. Таким образом, полностью доказана и теорема Ли Хуачжуна.

§ 8. Канонические преобразования

Уравнения Лагранжа

ЖЩ-Щ =° 0 = 1..-.. «)

ковариантны по отношению к любым преобразованиям координат q, t (см. стр. 280). Это значит, что как бы ни были выбраны преобразования q и t, для новых координат qf, l* всегда может быть указан лагранжиан L*, такой, что в новых координатах уравнения движения имеют вид

d dL* dL* r,	.. ,	.
0	o	i п )

Естественно возникает вопрос: по отношению к какому классу преобразований q и р ковариантны уравнения Гамильтона? Класс преобразований q, p, по отношению к которым уравнения Гамильтона ковариантны, называется классом канонических преобразований. Разъясним это определение подробнее.

Рассмотрим преобразование <7/=Ф/(<7. Р, 0. Р*= ЫЯ> Р. 0 (/ = 1. •••. «).

которое переводит «старые» гамильтоновы переменные q и р в «новые» гамильтоновы переменные q* и р* (время при этом не

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3731 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика