Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

т. е. опустим знак *, указывающий, что соответствующие коэффициенты получены при разложении в ряд функции Q*(q, q), так как это обстоятельство не будет играть далее существенной роли.

Учитывая дополнительную обобщенную силу, зависящую явно от времени, представим уравнения линейного приближения стационарной системы в виде

(55)

где Qj (t) —зависящие явно от времени части обэбдэнных сил. Предполагается, что в процесса движения они остаются малыми по модулю и не выводят систему из малой окрестности положения равновесия —к этому вопросу мы еще вернемся ниже.

равны нулю. Определив порознь движения, возникающие под

ний (55) складывается из двух слагаемых: первым является общее решение соответствующей однородной системы, получающейся из

Что касается общего решения однородной системы q*, то оно находится по общим правилам интегрирования линейных однородных уравнений и в рассматриваемом случае движения вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия заведомо стремится к положению равновесия при неограниченном возрастании времени t. В связи с этим движение q(t) стремится в пределе к движению q** (t), которое обусловлено наличием в правых частях уравнений зависящей явно от времени вынуждающей силы Qr (t).

Движения q*, которые бы возникали при отсутствии такой вынуждающей силы, называются свободными. Если этими движе-

ниями являются колебания, то их называют свободными колебаниями. Движение q**, которое возникает благодаря наличию вынуждающей силы, зависящей явно от времени, и к которому в пределе стремится суммарное движение, называют вынужденным движением (в случае колебаний говорят о вынужденных колебаниях).

В этом разделе мы будем изучать только вынужденные движения, помня о том, что общее движение складывается из вынужденных и из свободных движений.

1. Гармоническая вынуждающая сила. Частотная характеристика. Предположим, что обобщенная сила Q1 является гармонической функцией от t,

Здесь А — амплитуда, а и —частота внешней вынуждающей силы Qx. Нам удобно далее вместо истинной обобщенной силы рассмат-

ривать комплексную функцию

Интересующая нас действительная функция (58) получается как мнимая часть этого комплексного выражения:

Рассмотрим уравнения (55), в которых Q1 (t) определяется выражением (59), a Qi = Qs= ... = Qn = 0. Нас интересует частное решение такой системы дифференциальных уравнений. Зная это решение и учитывая формулу (60), можно выделить в полученном решении мнимую часть и найти истинные вынужденные колебания.

Частное решение уравнений (55) с правой частью (59) будем искать в виде

раических уравнений относительно неизвестных Bk\ коэффициентами этих уравнений являются комплексные величины, определяемые по формулам (63).

Решая систему (64) линейных алгебраических уравнений с ком-

плексное переменное Я, то он совпадает с характеристическим полиномом (24). Но у асимптотически устойчивой системы все нули характеристического полинома расположены слева от мнимой оси. Поэтому в таком случае определитель (66) отличен от

Более того, легко видеть, что в невырожденных случаях степень

Тогда искомое частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений (55) при учете обобщенной силы (59) можно представить в виде

q*= А | Wlk (/Q) | е' IQi+arg *i* «аП (k = 1, ..., л). (68)

Вспомним теперь, что мы заменили интересующую нас обобщенную силу (58) комплексным выражением (59) и что (§8) является мнимой частью выражения (59). Выделив в полученном

частном решении (68) мнимую часть, находим искомое частное

вынужденные движения представляют собой гармонические коле-

внешняя сила и какая координата наблюдается, получаются разные частотные характеристики. Из формулы (67) следует, что при изменении места приложения внешней силы и номера координаты, за которой ведется наблюдение, изменяется лишь числитель дробно-рациональной функции W, знаменатель же во всех случаях одинаков.

Рассмотрим теперь несколько подробнее только что введенную

при любой частоте внешней силы, скажем Qt. Для того чтобы сделать это, надо по рис. VI.12 (либо по рис. VI.13 и VI.14

Если амплитудная характеристика системы (рис.VI.13) при некотором значении Q = Q* имеет отчетливо выраженный пик,

Тогда из теоремы Безу сразу следует, что левая часть характеристического уравнения системы имеет вид

(об этом уже шла речь выше), т. е. содержит лишь четные степени к. Ясно, что и алгебраическое дополнение любого элемента определителя А(X) обладает этим же свойством. Поэтому в случае консервативной системы частотные характеристики, определяемые формулами (67), являются не комплексными, а действительными функциями, и | W (iQ) | принимает бесконечные значения при

Q Q

Поэтому амплитудная характеристика консервативной системы имеет вид, показанный на рис. VI. 17, т. е. консервативная система резонирует на всех своихсобственных частотах и только на них.

Здесь понятие резонансной частоты имеет точный смысл: уконсервативной системы резонансной частотой называется значение Q, при котором амплитудная |MJ2)| характеристика системы имеет разрыв второго рода.

Из изложенного следует, что в случае, когда частота внешней силы приближается к любой из собственных частот консервативной системы, амплитуды вынужденных колебаний всех ее обобщенных координат неограниченно возрастают1).

Рассмотрим теперьфазовую характеристику консервативной системы. В связи с тем, что для консервативной систе-

мы Wlk(iQ) —действительная функция, аргумент ее может быть равен лишь нулю или кратен —л в зависимости от знака этой функции. Поэтому фазовой характеристикой консервативной системы служит кусочно-постоянная функция, равная 0 или крат-

ная — я . Она имеет разрыв первого рода при всех значениях Q, равных собственным частотам системы

Q 1 = (D1, Й 2 = ( О 2 , . . . , Q n = (Un.

В случае консервативной системы с одной степенью свободы, возмущаемой гармонической обобщенной силой, уравнение движения имеет вид

aq+cq— A sin Q/.

Свободные колебания системы

q* = С sin (<o/-+-ф)

происходят с собственной частотой

<л = У с/а,

а вынужденные колебания описываются функцией

В этом простейшем случае

этого надо приравнять выражения элементарной работы через обобщенные силы Q и в , представить в этом равенстве q как функции 0 при помощи преобразования (45) и изменить порядок суммирования. Читатель установит тогда, что искомая матрица преобразования Q в G получается транспонированием амплитудной матрицы v(ft.

2° После того как обобщенные силы для главных координат найдены, вынужденные колебания каждой из этих координат 6у определяются по формуле (70).

k\mW

W(iQ)

\W(fO)\ щЩп)

где амплитуды гармоник Ak и соответствующие сдвиги фаз срА определяются по обычным правилам разложения периодической функции в ряд Фурье, a Q = 2я/Т —круговая частота. Теперь внешняя сила, действующая на первую координату, представлена как сумма гармонических колебаний. В силу линейности системы

и действующего поэтому принципа суперпозиции каждая из этих гармонических сил вызывает независимое вынужденное колебание, а общее вынужденное колебание, возникающее под действием такой периодической силы, получается суммированием этих независимых колебаний. Для определения каждого из вынужденных колебаний, которое возникает в том случае, когда внешняя сила представляется не всем рядом (72), а лишь какой-либо одной гармоникой, например k-й, можно воспользоваться полученной выше формулой (69) —надо лишь заменить всюду Q на Ш. Поэтому вынужденное колебание /-й координаты <7/, которое возникает под действием периодической силы, действующей на первую координату <7Х и выражающуюся рядом (72), может быть представлено в виде

Аналогично возникающее в результате вынужденное движение также представимо рядом Фурье и изображается своим линейчатым спектром. Частотная характеристика W (iQ) в этом случае играет роль оператора, преобразующего линейчатый спектр возмущающей силы в линейчатый спектр вынужденного движения.

Сделаем теперь замечание, общее как для случая, когда рассматривалась гармоническая сила, так и для исследуемого здесь случая периодического негармонического возмущения. Если рассматривается действие внешней силы на систему, находящуюся