Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

В этом уравнении «старый» гамильтониан является функцией «старых» гамильтоновых переменных q, p. и /. Однако, используя первую группу равенств (126), можно все р, входящие в функцию Я, заменить через dS/dq. Тогда уравнение (131) примет вид

ряющая уравнению (132), была бы найдена, то, как уже говорилось выше, q* и р* были бы константами. Поэтому интересую-

Для решения интересующей нас задачи нет нужды находить общее решение уравнения Гамильтона —Якоби. В силу сказанного выше нас интересует любая функция от q и t, удовлетворяющая тождественно этому уравнению и зависящая от п констант. Вспомним еще, что производящая функция должна удовлетворять условию (129). Теперь, когда вместо переменных q* функция S* зависит от п констант а, это дополнительное условие может быть переписано так:

Для наших целей достаточно найти любой полный интеграл уравнения Гамильтона —Якоби.

рованием уравнений в частных производных, и предположим лишь, что каким-либо образом полный интеграл уравнения (132)

В силу того, что функция S* как полный интеграл уравнения (132) зависит только от q, а и /, равенства (134) определяют конечные соотношения между q, p u t, зависящие от 2/г констант а, и ру Таким образом, равенства (134) задают в неявной форме движение в «старых» координатах Они являются, следовательно, интегралами исходной системы уравнений Гамильтона1)

Итак, мы реализовали намеченную в начале этого параграфа программу и определили движение системы, обходя интегрирование канонических уравнений Гамильтона. Правда, при этом нам понадобилось найти полный интеграл уравнения в частных производных.

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. В координатном пространстве в каждый момент нас интересует положение лишь одной движущейся в нем точки—она определяется мгновенными значениями обобщенных координат рассматриваемой системы. Между тем полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби в каждый момент определяет функцию S*, заданную во всем координатном пространстве и имеющую вполне определенное значение в каждой точке этого пространства. В связи с тем, что функция S* зависит также и от времени, можно представить себе ее как некоторую поверхность, заданную в координатном пространстве и непрерывно деформирующуюся (или движущуюся). Каким же образом задание функции, определенной на всем пространстве и изменяющейся во времени, может определить движение той единственной точки, которая интересует нас? Как связано движение этой точки с деформирующейся поверхностью?

*) Существует бесконечное число полных интегралов уравнения Гамиль- тона—Якоби (132) Каждый из них порождает соответствующее преобразование, т. е. определяет движение, но все они описывают одно и то же движение и различаются лишь тем, как вводятся произвольные постоянные а.

Чтобы ответить на эти вопросы, обратим внимание на первую группу равенств (134). Эта группа равенств указывает, что импульсы р, являются составляющими /1-мерного вектора р, в каждый момент совпадающего с градиентом функции S*,

каким образом функция, заданная во всем координатном пространстве и изменяющаяся во времени, может определить движение точки в пространстве: где бы ни находилась эта точка, значение gradS* в данном месте пространства и в данный момент времени определяет направление импульса, а значит, и направление вектора, компонентами которого являются обобщенные скорости.

Уравнение Гамильтона —Якоби в классической механике используется, главным образом, в тех случаях, когда по какимлибо причинам легче найти полный интеграл этого уравнения, чем проинтегрировать канонические уравнения. Примеры такого рода будут приведены в следующем параграфе. Роль уравнения Гамильтона — Якоби для теоретической физики состоит в том, что уравнение Шредингера, являющееся основным уравнением квантовой механики, в пределе переходит в уравнение Гамильтона — Якоби классической механики. Именно через уравнение Гамиль- тона—Якоби устанавливается контакт между классической и квантовой механикой.

§ 10. Движения в стационарном потенциальном поле

(консервативные и обобщенно консервативные системы)

Во всех предыдущих параграфах данной главы мы рассматривали движение системы в потенциальном поле, но не требовали, чтобы поле это было стационарным. Именно поэтому мы предполагали, что лагранжиан, гамильтониан и иные функции, встречавшиеся нам по ходу изложения, могут зависеть явно от времени. В этом смысле изложенный выше материал охватывал движения в нестационарных потенциальных полях и, в частности, движение в потенциальном поле системы, имеющей механические реономные связи. Для случая, когда система натуральна, связи склерономны и поле стационарно, т. е. когда потенциальная функция не зависит явно от времени, выше было установлено лишь то, что гамильтониан совпадает с полной энергией системы. Отправляясь от этого факта, мы ввели понятие обобщенно консервативной системы как такой гамильтоновой системы, в которой гамильтониан не зависит явно от времени, а сам гамиль-

тониан в этом случае назвали обобщенной энергией. В этом параграфе будут рассмотрены некоторые особенности, которые возникают при изучении движения в стационарных потенциальных полях, т. е. при движении консервативных и обобщенно консервативных систем.

Мы установим сначала, какую форму принимает для таких систем интегральный инвариант Пуанкаре — Картана; после этого рассмотрим, как записать для них систему уравнений, вид которой напоминает уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона, но порядок ниже (за счет использования интеграла энергии); далее выясним, как выглядят в этом случае вариационный принцип Гамильтона и уравнение Гамильтона — Якоби и какие возможности открываются для определения полного интеграла этого уравнения.

Прежде чем приступить ко всему этому, сделаем одно общее замечание. При движении консервативной системы заведомо известен один первый интеграл — интеграл энергии. Это дает возможность понизить порядок системы уравнений на единицу. Но мы уже видели при использовании циклических координат (см. § 3 этой главы), что в системе, имеющей г циклических координат, порядок системы уравнений можно понизить на 2г и независимо выписать г квадратур.

чае консервативной системы использовать имеющийся первый

Это оказывается возможным, если воспользоваться тем обстоятельством, что лагранжиан (или гамильтониан) систелы не зависит явно от времени, и поэтому из уравнений можно исключить время. Это значит, что роль времени тогда должна играть какаялибо из координат q, например, qx. В результате интегрирования таких уравнений остальные координаты должны быть выражены как функции этой специально выделенной координаты, а их зависимость от времени вводится затем отдельно при помощи одной квадратуры, определяющей зависимость выделенной координаты <7Х от t. Далее будет показано, как, используя этот прием, можно понизить порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих движение консервативной и обобщенно консервативной систем, на два и ввести независимую квадратуру.

1. Интегральные инварианты и уравнения движения консервативных и обобщенно консервативных систем. В связи с тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем имеет место интеграл энергии (обобщенной энергии), гамильтониан, совпадающий с энергией (сбсбщенной энергией) системы, не изме-

стью консервативных и обобщенно консервативных систем является то, что во время движения системы точка, изображающая это движение в расширенном фазовом пространстве, может находиться лишь в этом «изоэнергетическом подпространстве». Если при выводе

) я c o n s t >

где, как и ранее, равенство контурлого интеграла константе надо понимать в смысле независимости этого интеграла от выбора контура, охватывающего трубку прямых путей. Но теперь

Последний контурный интеграл равен нулю как контурный интеграл от полного дифференциала, поэтому

§ Н dt = 0

с

и интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных и обобщенно консервативных систем записывается так:

(137)

Обращаем внимание читателя на то, что, несмотря на сходство записи, интегральный инвариант Пуанкаре —Картана для консервативных систем (137) не совпадает с универсальным интегральным инвариантом Пуанкаре,—ведь в случае инварианта Пуанкаре интегрирование производится по контуру С, расположенному в плоскости t = const, а в формуле (137) контурный интеграл берется по произвольному контуру С, охватывающему трубку прямых путей.

Используя это обозначение, можно придать инварианту (137) форму, подобную обычной форме интегрального инварианта Пуанкаре— Картана для неконсервативных систем:

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального инва-

тониана Н в этом выражении стоит функция К, которая получи-

шенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре —Картана

же отношениях, в каких интегральный инвариант (139) отличается от интегрального инварианта Пуанкаре —Картана: роль функции Н играет функция К, вместо t стоит qx и / меняется не от 1 до п, а от 2 до п. Полученные таким образом уравнения (140) для консервативных систем являются аналогом уравнений Гамильтона и называются уравнениями Уйттекера. Уравнений Уиттекера на два меньше, чем уравнений Гамильтона, и следовательно, использовав интеграл энергии и исключив время, нам удалось снизить порядок системы на две единицы.

Введем для консервативных и обобщенно консервативных систем удобный аналог функции Лагранжа. Эта функция должна быть связана с функцией К таким же образом, каким обычная

функция Лагранжа L связана с гамильтонианом Я . По аналогии с обычной формулой

введем функцию Р:

/ =2 £

Введенная так функция Р

(142)

называется функцией Якоби. В общем случае из уравнений Гамильтона сразу следуют уравнения Лагранжа с лагранжианом L, который связан с Н соотношением (141); число таких уравнений Лагранжа равно п. Совершенно аналогично из полученных теперь для консервативных и обобщенно консервативных систем уравнений (140) следует система уравнений

уравнениям Лагранжа эта система разрешима относительно старших производных и, следовательно, при обычных предположениях решение полностью определяется начальными данными.

которая с самого начала входит в выражение для К (либо для Р). Таким образом, мы определим

Для того чтобы выразить эти координаты и импульсы явно через время, подставим значения (144) в выражение (138) и найдем, таким образом, р^ как функцию ql и тех же констант:

С2Л_2; К). (145)

330 ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Воспользуемся теперь первым из канонических уравнений Гамильтона — уравнением для qt:

Правая часть этого равенства является функцией всех фазовых координат системы ц, р. Заменим здесь q2, ..., qn и р1у ..., рп выражениями (144) и (145). В результате правая часть равенства (146) будет представлять собой функцию только от q1 и от указанных выше констант:

^. = F{q1\ C L ... ,С 2 „ _ 2 ;Л),

ив полученном так уравнении переменные разделяются; следовательно, время можно ввести с помощью одной квадратуры:

При этом вводится еще одна произвольная постоянная С, так что общее число произвольных постоянных доходит до требуемых 2п.

Таким образом, поставленная задача полностью решена — при исследовании консервативных и обобщенно консервативных систем выписаны уравнения типа канонических уравнений Гамильтона (или типа Лагранжа), но порядок систем этих уравнений умень-

мени. В этом пространстве выберем две точки и проведем между ними прямой путь, соответствующий уравнениям Якоби для рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативной) системы.

Введенный так функционал W является аналогом действия по Гамильтону /. Он получается из действия по Гамильтону, если функцию Лагранжа заменить на функцию Якоби, t на ql и ограничить выбор пучка сравниваемых кривых изоэнергетическим

подпространством. Для введенного так функционала W уравнения Якоби являются уравнениями Эйлера вариационного исчисления (так же, как уравнения Лагранжа являются уравнениями Эйлера вариационного исчисления для действия по Гамильтону). Функционал (148) называется действием по Лагранжу. Из того факта, что уравнения Якоби являются эйлеровыми уравнениями для действия по Лагранжу, сразу следует, что вариация действия по Лагранжу равна нулю на прямом пути:

Утверждение это является аналогом принципа Гамильтона для консервативных систем и носит название вариационного принципа Мопертюи — Лагранжа.

В частном случае, когда рассматривается натуральная (т. е. консервативная) система, действию по Лагранжу можно придать определенный механический смысл. Вспомним с этой целью выражения для Р и К и представим функцию Якоби в виде

( 1 5 0 )

Но из обычного выражения для гамильтониана следует, что

2PW/ = tf + L,

поэтому

Подставляя это выражение в формулу (148) для действия по Лагранжу, получаем

' 6 ' ' d t =

где s, означает путь, пройденный t-й точкой системы. Выражение в правой части формулы (151) представляет собой, как легко видеть, работу векторов количеств движений системы на пройденном пути. Поэтому принцип Мопертюи— Лагранжа можно сформулировать так: для натуральной консервативной системы работа векторов количеств движенийна прямом пути достигает экстремального значения.