Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

Почленно сравнивая формулы (16) и (17), получаем систему уравнений

и, кроме того, равенство

Эти соотношения получены нами как формальное следствие перехода к новым переменным; в частности, не было поставлено условие, чтобы обобщенные координаты q удовлетворяли уравнениям Лагранжа. Потребуем теперь, чтобы это условие выполнялось; тогда уравнения (18) будут представлять собой уравнения движения и в силу уравнений Лагранжа (8) могут быть записаны так:

В правых частях уравнений (20) стоят функции только гамильтоновых переменных. Поэтому система уравнений (20) замкнута относительно этих переменных и представляет собой систему 2л дифференциальных уравнений первого порядка, которые полностью определяют изменение во времени координат q и обобщенных импульсов р, если заданы начальные условия, т. е. значения координат и импульсов в момент ^ = 0. Если заданы начальные значения лагранжевых переменных, то, используя формулы (9), можно подсчитать начальные значения обобщенных импульсов, получить таким образом начальные данные для уравнений (20), и, проинтегрировав эту систему уравнений, полностью определить движение в гамильтоновых переменных. Зная, как изменяются во времени координаты и обобщенные импульсы, можно затем, если это необходимо, по формулам (12) подсчитать, как изменяются во времени скорости q.

В этом смысле уравнения (20) представляют собой эквивалент уравнений Лагранжа (4). Уравнения (20) разрешены относительно старших производных и представлены в симметричной и удобной форме. Их называют каноническими уравнениями или уравнениями Гамильтона для движения в потенциальных полях.

Равенство (19), полученное нами дополнительно, устанавливает важные свойства гамильтониана: частные производные гамильтониана и лагранжиана по времени отличаются лишь знаком. Отсюда сразу следует, что в том случае, когда лагранжиан не зависит явно от времени, гамильтониан также не зависит явно от времени.

264 ГЛ. VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Выясним теперь физический смысл гамильтониана Н натуральной системы.

Интересуясь лишь численным значением гамильтониана, можно записать его как функцию лагранжевых переменных

Ограничиваясь теперь рассмотрением натуральных систем и вспоминая, что лагранжиан, как и кинетическая энергия натуральной системы, может быть представлен суммой трех форм — квадратичной L2, линейной L\ и нулевой степени Lo относительно скоростей q, перепишем равенство (21) так:

. Воспользуемся теоремой Эйлера об однородных функциях, утверждающей, что если W {х) — однородная функция k-n степени,

266 гл vii ДВИЖЕНИЕ в ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ полях

эти законы, содержат лишь координаты и их первые произвоцные, но не содержат вторых производных от координат. В предыдущих главах приводились примеры того, как можно использовать законы сохранения для упрощения уравнений движения, а в некоторых случаях для полного определения движения в обход

т. е. если при подстановке в нее вместо координат и обобщенных импульсов решений уравнений Гамильтона q = q(q°, p°, t) и р = = р (q°, p°, t) эта функция тождественно обращается в константу, зависящую только от начальных данных q° и р°.

Предположим, что задано т первых интегралов

интегралов полностью определяют движение системы при любых начальных данных.

Если система первых интегралов (27) содержит менее 2я равенств, т. е. если т < 2 / г , то знания т первых интегралов недостаточно для того, чтобы полностью определить движение, однако эти первые интегралы можно использовать для того, чтобы упростить уравнения движения, в частности, для тосо, чтобы снизить порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих движение.

Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы функция f(q, p, t) была первым интегралом. Его можно записать компактнее, если ввести понятие скобки Пуассона.

Назовем скобкой Пуассона двух функций ср и г|з от гамильтоновых переменных и обозначим через (ф, г|)) выражение следующего вида:

Выражение, стоящее в формуле (28) под знаком второй суммы, представляет собой скобку Пуассона от функции / и гамильтониана Н. Поэтому условие (28) можно переписать так:

задача об увеличении числа первых интегралов. На первый взгляд

Иной прием для получения новых первых интегралов из уже известных связан с введенным выше понятием скобки Пуассона.

должаться неограниченно долго, и таким образом может быть получено сколь угодно много новых первых интегралов. Однако среди интегралов, которые получаются путем составления скобок Пуассона, могут быть как независимые первые интегралы, так и зависимые от уже известных первых интегралов. Для упрощения уравнений движения нужны лишь независимые первые интегралы, а их не более чем In. Поэтому из первых интегралов, которые получаются при помощи теоремы Якоби— Пуассона, нужно отбирать независимые.

В частном случае обобщенно консервативной системы гамиль-

мени также являются интегралами этих уравнений. Действительно, для таких систем в силу теоремы Якоби —Пуассона (/, Н) = = const и из условия (30) следует, что

df/dt = — {f, Я) = const.

равенства dL/dqj = 0, и поэтому уравнение Лагранжа принимает вид

случае зависит от нециклических координат (33) и от их импульсов.

Предположим, что система уравнений (36) проинтегрирована, т. е. найдены все нециклические координаты и соответствующие импульсы как функции времени. Эти функции зависят or 2 (п —т) произвольных постоянных, появляющихся при интегрировании системы дифференциальных уравнений (36), так как порядок этой системы равен 2 (п — т), и, кроме того, от т произвольных постоянных С/, которые с самого начала входили в выражение для функции Н в силу (35):

В равенствах (38) переменные разделяются, т. е. каждое из уравнений (38) можно представить в виде

dq, = (дН/дС,) dt = i|>; (/; С; S) dt

Зависимость циклических координат от времени находится интегрированием:

q,= \tf(t, С, S)dt + N, (j = n-m + l, .... п). (39)

Циклические импульсы в данном случае не требуется определять — они просто равны произвольным постоянным С,. При интегрировании вносится т дополнительных произвольных постоянных N;. Общее число произвольных постоянных в конечном результате будет равно 2га, т. е. в точности равно порядку общей системы уравнений Гамильтона, составленной для всех гамильтоновых переменных. Таким образом, при наличии т циклических координат порядок системы, которую приходится интегрировать, уменьшается на 2т, поскольку уравнения (36) для нециклических координат «отщепляются», и после того, как эти уравнения проинтегрированы, циклические координаты находятся с помощью т независимых квадратур (39).

Рассмотренный пример циклических координат характерен для способа использования первых интегралов с целью понижения порядка рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Общий метод механики в таких случаях как раз и состоит в том, чтобы, используя наличие первых интегралов, «отщепить» часть уравнений системы и затем использовать независимые квадратуры.

Для дальнейшего обсуждения первых интегралов уравнений движения (законов сохранения) требуется использовать аппарат вариационного исчисления, который нужен нам также и для иных целей, связанных с изучением движений в потенциальных полях. Поэтому в следующем параграфе будут кратко изложеныэле- менты вариационного исчисления, а затем, применяя соответствующий аппарат к теории движения в потенциальных полях, мы вернемся, в частности, к вопросу об общей теории первых интегралов уравнений движения.

§ 4. Элементы вариационного исчисления.

Действие по Гамильтону. Вариация действия

До сих пор в этом к}рее изучение движения сводилось к составлению и исследованию дифференциальных уравнений, описывающих эго движение. Исходным для дифференциальных уравнений любого вида был второй закон Ньютона, устанавливающий связь между ускорением и величиной действующей силы в этот же момент. Поэтому в основе дифференциальных уравнений, которыми мы пользовались до сих пор, всегда лежали локальные