Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

364 Глава 20. Операторные разложения

Исключая неизвестную величину gA, приходим к формуле

Первоначально в 1967 году этот результат был использован совместно с формулой 6 gρ2 = 2Fπ2mρ2 (обоснование этой формулы было

неясным, но она согласовывалась с экспериментальными данными по вероятности распада ρ → e+ + e−) для вывода соотношения

mA = 2mρ .

Статус гипотетического а1 резонанса с правильными квантовымиÑ числами для связи с аксиальным током (ò. å. JP = 1+, Ò = 1 è (à10) = +1) и массой в окрестности значения 2mρ в течение многих лет оста-

вался неясным. Однако сейчас резонанс с указанными квантовыми числами достаточно хорошо установлен при значении массы 1230 МэВ = 1,6mρ. В наши дни предпочтительнее брать отношение mA/mρ в качестве входного параметра, используя либо значение 2, предлагаемое рядом моделей 7, либо экспериментальное значе- ние 1,6, и использовать его для предсказания величины gρ.

После 1967 года удалось достаточно точно и в широком интервале энергий вычислить не только gρ, но и всю векторную спектральную функцию ρ(V1) (μ2 ) SU(3) × SU(3) тока в квантовой хромодинамике, используя измеренное сечение процесса e+ + e− → γ →

адроны и тот факт, что электромагнитный ток есть линейная ком- бина-ция SU(3) токов. Аксиальная спектральная функция

SU(3) × SU(3) токов может быть в принципе измерена в процессе`ν + e → адроны, т. к. заряженные компоненты токов (20.5.14)

совпадают с адронными токами, с которыми связаны лептоны. Однако, хотя рассеяние антинейтрино на электроне изучалось экспериментально, малая вероятность этих реакций не позволяет использовать сталкивающиеся пучки, так что электронная мишень находится практически в покое. Чтобы достичь типичных адронных энергий, скажем, 3 ГэВ, в системе центра масс, было бы необходимо иметь нейтрино с энергиями (3 ГэВ)2/2me g 10 ТэВ в лабораторной системе. Интенсивные пучки нейтрино столь высоких энергий будут доступны только через много лет, если вообще когда-нибудь.

К счастью, стало возможным изучать спектральные функции в процессе t ® n + адроны, однако энергии адронов строго ограничены здесь значением mτ = 1,7 ГэВ. Возможно также использовать эф-

фективный киральный лагранжиан для вычисления спектральных функций при малых m2, и с помощью квантовой хромодинамики рассчитать разность ρ(V1) − ρ(A1) при больших m2, где она довольно мала.

Тщательный анализ всех этих возможностей, проведенный в 1993 году Донохью и Головичем 8, показал, что интегралы от спектральных функций действительно определяются главным образом вкладом резонансов r è à1 и приводят к результатам, согласующимся с

первым и вторым правилом сумм для спектральных функций.

20.6. Глубоконеупругое рассеяние

Метод ренормгруппы совместно с операторным разложением нашел наиболее важные применения в анализе глубоконеупругого лептон-нуклонного рассеяния. Мы сначала сделаем обзор ранних феноменологических моделей таких реакций, а затем покажем, как операторное разложение подтверждает справедливость этих моделей и позволяет вычислить поправки к ним.

Рассмотрим процесс, в котором электрон 4-импульсом k сталкивается с нуклоном N 4-импульсом р и в результате образуется электрон 4-импульсом k¢ и, вообще говоря, ненаблюдаемое адрон-

ное состояние Н, по которому производится суммирование. Для вы- числения усредненного по спинам инклюзивного сечения нужно знать величину

ãäå Jμ — электромагнитный ток (деленный на множитель e), а q = k - k¢ — импульс, переданный от электронов адронам. Требова-

ние лоренц-инвариантности приводит к выводу, что функция Wμν(q, p) должна быть линейной комбинацией величин pμpν, pμqν, qμpν, qμqν è hμν с коэффициентами, которые могут зависеть только от двух независимых скалярных функций q и p: q2 è n º -q•p/mΝ.

резонансу с массой, близкой к −pH2. Поэтому вызвал удивление тот

факт, что через два года после открытия в 1966 году Станфордского центра линейного ускорителя (SLAC) коллаборация SLAC−ΜIT,

возглавлявшаяся Фридманом, Кендаллом и Тейлором 9 обнаружила, что на самом деле νW2(q2, ν) примерно постоянна по q2 для фиксированных значений ω ≡ 2mNν/q2 > 1. (Конкретнее, W2(q2, ν) для протона фитировалась под кривую νW2(q2, ν) g 0,35 − 0,004ω äëÿ Ee = 10, 13,5 è 16 ÃýÂ è θ = 6° è 10°. Эти эксперименты были нечувствительны к значению W1, поскольку tg2(10°/2) = 7,6 • 10−3.) Заметим, что в этом пределе −pH2 → (ω − 1)q2 → ∞, что и объясняет

название «глубоконеупругое» рассеяние.

Примерно в то же время Бьоркен 10 с помощью алгебры токов показал, что W2(q2, ν) è W1(q2, ν) удовлетворяют скейлинговым законам: если q2 è ν одновременно стремятся к бесконечности, то

где снова ω ≡ 2mNν/q2. Более интуитивное объяснение происходя-

щего чуть позже дал Фейнман 11. Он предположил, что при глубоконеупругом рассеянии на ультрарелятивистском нуклоне импульса p этот нуклон ведет себя так, как будто он состоит из «партонов» различных типов, отмечаемых индексом i, причем каждый тип партонов с вероятностью F i(x)dx обладает импульсом в интервале от xp до (x + dx)p. Тогда для каждого i

Условие, что полный импульс нуклона равен p, приводит к дополнительному правилу сумм

В случае упругого рассеяния электрона (массой которого me мы пренебрегаем) на партоне 4-импульса xp имеем

òàê ÷òî ν = q2/2mNx. Поэтому сечение неупругого рассеяния в этой

модели равно

Операторы, дающие вклад в операторное разложение для Tr, можно расклассифицировать в соответствии с неприводимыми представлениями группы Лоренца, которым они принадлежат. Единст-вен- ные лоренц-ковариантные функции одного 4-вектора pμ с фиксированным p2 = -mN2 пропорциональны симметричным тензорам pμ1 . . . pμs , так что единственными операторами, которые могут

давать вклад в усредненное по спинам среднее по нуклонным состояниям, являются симметричные бесследовые тензоры Osiμ1 ...μs , ãäå

нижний индекс i отличает друг от друга любые операторы с такой тензорной структурой. (По причинам, которые станут ясными ниже, мы используем для различения операторов тот же индекс i, который применялся в партонной модели для обозначения типа партонов.) Матричные элементы этих операторов имеют вид

ãäå áOsiñ — постоянные коэффициенты. Подобный оператор дает в Tμν(q, p) вклад, пропорциональный s множителям 4-вектора p, и поэтому дает вклад в T1(n, q2) è T2(n, q2), пропорциональный соответственно ns è ns−2. (Мы опустили слагаемые, включающие p2, поскольку такие слагаемые подавлены множителями mΝ2/q2 èëè mN2/(p•q).) Если пренебречь логарифмическими поправками, то в асимптотически свободной теории зависимость коэффициентов от q2 имеет вид (q2)(−4+6−d(s,i)−s)/2 è (q2)(−4+6−d(s,i)−s+2)/2, соответственно, где d(s, i) — размерность оператора Osi *. Учитывая, что n µ q2w, ïîëó-

чаем, что вклады оператора Osi в структурные функции асимптоти- чески имеют вид

* Степень –4 в показателях возникает от интеграла по z в выражении (20.6.4), а степень +6 есть арзмерность двух операторов электрического тока. Члены –s/2 и –(s–2)/2 служат для компенсации степеней qμ, уже имеющихся в νs è νs–2 соответственно.

фиксированном W определяются вкладами операторов минимального твиста. Кроме того, из выражения (20.6.18) следует, что в Tr(ν, q2) не содержатся слагаемые нечетной степени по ν, òàê ÷òî ñþäà

могут давать вклад только операторы Osi с четным s. Симметричные бесследовые тензоры ранга s минимальной раз-

где f отмечает сорта кварков, Dμ — калибровочно инвариантная

производная, а фигурные скобки означают сумму по перестановкам и вычитание следов по заключенным в скобки пространствен- но-временным индексам. (Символ ↔ означает полуразность про-

изводных, действующих направо и налево. Мы берем разность производных, поскольку их сумма должна исчезать в любом матричном элементе между состояниями с равными 4-импульсами.) Эти операторы имеют размерность 3 + (s − 1) = 4 + (s − 2) = 2 + s, так что их твист τ = 2. Таким образом, при q2 → ∞ â Ò1 è Ò2 äàåò

вклад бесконечное число операторов, причем эти вклады зависят от W и только логарифмически от q2. Итак, асимптотическая свобода подтверждает бьеркеновский скейлинг, но только с точностью до логарифмических поправок. Удерживая только операторы твиста два, видим (как это и следует из наших обозначений), что для каждого s действительно имеется один оператор для каждого типа партонов, причем i принимает значения, отвечающие квар-