Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

Мы увидим, что gn отрицательно, так что решение есть

Вычисление (20.7.5) в стационарной точке приводит при n → ∞ * ê

выражению

** Здесь символ «d» следует интерпретировать как означающий «асимптотически равно с точностью до постояннûõ ìножителей и степеней n». Эти множители возникают от множителя 12πn в формуле Стирлинга для (n + 1)!, от отношения (n + 1)! и n!, и от интеграла по флуктуациям g и ϕ(x)

вокруг стационарной точки. Поскольку мы не собираемся вычислять множители, возникающие от последнего источника, не имеет смысла удерживать и множители от первых двух источников.

Поэтому ведущей особенностью B(z) является полюс при z = z1, ãäå

Поскольку это выражение отрицательно, оно не препятствует проведению интегрирования в формуле (20.7.3). Чтобы вычислить положение полюса (20.7.15), заметим, что уравнение поля имеет решение

ãäå r = (xixi)1/2 и а — произвольный параметр. Это решение уравнения поля есть элементарный пример «инстантонного» решения, которое будет обсуждаться в разделе 23.5. (Такие решения называются инстантонами, поскольку вместо того, чтобы концентрироваться вдоль мировой линии, они концентрируются в окрестности точки в пространстве-времени, в данном случае — в окрестности начала координат.) К счастью, положение полюса не зависит от а:

Мы видим, что ряд теории возмущений для B(z) можно использовать в формуле (20.7.3), если g n 16π2. Åñëè g/16π2 порядка или

больше единицы, мы все еще можем вычислить B(z) с помощью ряда теории возмущений для (z + 16π2)B(z).

В разделе 23.5 мы увидим, что в неабелевых калибровочных теориях типа квантовой хромодинамики, существуют инстантонные решения, однако они приводят к сравнительно безобидным особенностям B(z) на отрицательной действительной оси. Реальная проблема в квантовой хромодинамике связана с другим классом особенностей, известных как ренормалоны 21. Они впервые были обнаружены после того, как стало понятно 22, что отдельные диаграммы 2n-го порядка, типа показанной на рис. 20.3, могут давать индивидуальные вклады, растущие как n!, и поэтому согласно выражени. (20.7.2) могут приводить к дополнительным особенностям B(z). (В данном конкретном случае особенность известна как инфракрасный ренормалон, поскольку он возникает от виртуальных

Рис. 20.3. Одна из класса N-петлевых диаграмм, вклад которых растет как N!. Сплошные линии — фермионы, волнистые линии — калибровочные бозоны

импульсов, много меньших тех, которые используются для определения бегущей константы связи gμ квантовой хромодинамики.) К

счастью, для определения положения инфракрасных ренормалонов можно использовать операторное разложение, не обращаясь к отдельным фейнмановским диаграммам.

В качестве простого, но важного примера рассмотрим сумму ∏αβμν (q) всех вакуумных диаграмм квантовой хромодинамики со вставками 4-векторных токов Jαμ è Jβν , вносящих в диаграмму и уносящих из нее 4-импульс q. (Величина Πμν(q) определяет адронный вклад

в электрослабую поляризацию вакуума, а ее мнимая часть связана с сечением аннигиляции е+å− и электрон−антинейтрино в адроны.)

Как мы видели в разделе 20.5, вклады в эту сумму оператора 1 ведут себя как q2 (фурье-образ x−6), вклады оператора FαμνFαμν ведут себя как q−2, вклады четырехфермионных операторов ведут себя как q−4, и т. д. (Например, вклад оператора FαμνFαμν возникает от

диаграмм типа рис. 20.3 с текущим по цепочке пузырей импульсом, много меньшим импульса q.) Из размерного анализа следует, что эти зависящие от импульса множители должны сопровождаться вакуумными матричными элементами, пропорциональными Λ0, Λ4, Λ6 и т. д. Но если вычислить фейнмановские диаграммы, используя бегущую константу, определенную на масштабе μ . Λ, ãäå êîí-

станты связи малы, то согласно формуле (18.7.7)

Приложение. Поток импульса: общий случай

В этом приложении мы рассмотрим асимптотическое поведение амплитуды в произвольной перенормируемой квантовой теории поля в ситуации, когда импульсы любого множества из двух или более внешних линий становятся большими, учтя при этом операторы, содержащие произведения произвольного числа полей и их производных с размерностью, ограниченной предельным значением N. Чтобы решить задачу, необходимо ввести более компактные, чем в разделах 20.1. и 20.2, обозначения. Буквы l, l′ и т. д. будут

обозначать множество внешних линий i определенных сортов, которые либо входят в фейнмановскую диаграмму или ее часть, либо выходят из нее. Буквы k, k′ и т. д. будут обозначать множество 4-

импульсов ki этих линий, подчиненных условию, что их сумма равна определенному фиксированному значению р. Амплитуда Γll′(k, k′, p) есть сумма всех диаграмм с множеством l входящих линий, несущих 4-импульсы k, и множеством l′ выходящих линий, несущих 4-импульсы k′, включая конечные голые пропагаторы для множества линий l, но не l′.

Как следует из теоремы об индексе диаграммы 3, упоминавшейся в разделе 12.1, та часть области интегрирования, в которой

импульсы порядка k протекают только через поддиаграммму с внешними линиями l и l′′, дает вклад в Γll′(k, k′, p) порядка kd(l,l′′), ãäå d(l, l′′) — (массовая или импульсная) размерность этой поддиаг-

раммы:

(Последнее слагаемое в (20.А.1) возникает из-за пропагаторов для линий из множества l.) Удобно переписать формулу (20.А.1) в виде

где n(l) — число линий в множестве l, а N(l) — полная размерность полей для этих линий:

Здесь si — «спин» линии сорта i в смысле, использованном в разделе 12.3: размерность поля сорта i равна 1 + si, а голый пропагатор такого поля ведет себя как k−2+2si . (Для скаляров и калибровочных

бозонов si = 0, для частиц спина 1/2 si = 1/2.)

Учитывая асимптотическое поведение, связанное с этими поддиаграммами, мы хотим показать, что при k ® ¥ (все компоненты

устремляются к бесконечности вместе по общим направлениям) и фиксированных k¢ и р, асимптотическое поведение Gll′(k, k¢, p) â

каждом порядке теории возмущений имеет вид

где сумма берется по операторам O размерности N(O) £ N, функция UOl порядка k4+N(l)−4n(l)−N(O), à o(kA) означает слагаемые, обращающие-

ся в нуль быстрее (по крайней мере, на один множитель 1/k), чем степень kA.

Чтобы изолировать вклад операторов размерности £ N, определим «N-неприводимую» амплитуду IllN′ (k, k′, p) как сумму всех диаграмм для Gll′(k, k¢, p), в которых линии из множества l не могут быть отделены от линий множества l¢ путем разрезания любого множества l¢¢ внутренних линий с N(l¢¢) £ N. Поскольку разность G - IN

содержит диаграммы, которые можно разъединить указанным способом, то эту разность можно записать в виде

(N)

Gll′ (k, k¢, p) - IllN′ (k, k¢, p) = å z dk¢¢IllN′′ (k, k¢¢, p)Gl′′l′ (k¢¢, k¢, p) , (20.À.5)

l′′

ãäå å(lN′′ ) означает сумму по множествам l¢¢ линий частиц с N(l¢¢) £ N, à z dk¢¢ — интеграл по компонентам 4-импульсов частиц в множестве l¢¢, подчиненных ограничению, что сумма этих импульсов рав-

íà ð.

Асимптотическое поведение ядра IlN,l′′ (k, k¢¢, p) много проще, чем поведение Gll′′(k, k¢¢, p). Ïðè k ® ¥ и фиксированных k¢¢ è ð îíî

определяется той частью области интегрирования, где каждая внутренняя линия несет импульс порядка k, что приводит к асимпототическому поведению kd(l,l′′), поскольку слагаемые, в которых толь-

ко некоторая подобласть имеет такие большие импульсы, должны быть связаны с остальной частью диаграммы мостом l¢¢¢ линий

причем поправка меньше, чем выписанные слагаемые, на множитель 1/k. (Конечно, первое слагаемое в правой части (20.А.8) присутствует только при N(l¢) £ N.)

Далее, для каждого значения l и n, причем dν + N(l) £ N,

существует такой оператор O, содержащий произведения полей, отвечающих линиям в l, и dν производных, что в нулевом порядке

теории возмущений вершинная функция с входящим импульсом р, который несет оператор O, и исходящими импульсами k, уносимыми внешними линиями l, является полиномом Plν(k, p). Тогда соот-

ветствующая полная вершинная функция для перенормированного оператора O R = åO 'ZO,O 'O ' равна

FO ,l (k, p) = å ZO, O ′ ndlO ′ ,lPlνO ′ (k, p) + z dk¢PlO ′ νO ′ (k¢, p)GlO ′l (k¢, k, p)s , (20.À.9)

O ′

* Здесь не учтена возможность, что даже если подсчет индекса указывает на сходимость интеграла во втором слагаемом в правой части (20.А.7) по области, где все k¢¢ стремятся вместе к бесконечности, при n(l¢¢) ³ 3 подин-

тегрирования могут расходиться. По этой причине приведенные в приложении доводы не являются доказательством операторного разложения, за исключением рассмотренного в разделе 2.2 простого случая, когда импульсы только двух внешних линий устремлялись к бесконечности, и мы искали слагаемые в степенном разложении, связанные с операторами, квадратичными по полям.

разложение произведения “ψ(0)ψ(0) с коэффициентными фун-

кциями, которые (как можно судить на основании теории возмущений) сингулярны и не исчезают при x → 0. Опишите, как

вы стали бы вычислять эти коэффициентные функции в однопетлевом приближении.

2.Рассмотрите квантовую хромодинамику с N безмассовыми кварками, и определите спектральные функции скалярных и псевдоскалярных билинейных ковариантов формулами

å áVAC| y(0)lα y(0)| VACñáVAC| y(0)lβy(0)| VACñ*

N

= (2π)−3 θ(p0)ραβS (−p2) ,

å áVAC| y(0)g 5lα y(0)| VACñáVAC| y(0)g 5lβy(0)| VACñ*

N

= (2π)−3 θ(p0)ραβP (−p2) ,

ãäå lα — полный набор бесследовых эрмитовых матриц N × N, нормированных так, что Tr{lαlβ} = 2δαβ. Какие правила сумм

для спектральных функций удовлетворяются линейными комбинациями ραβS (μ2 ) è ραβP (μ2 ) ?

3.Выведите соотношение (20.6.8) в партонной модели из формул (8.7.7) и (8.7.38) для комптоновского рассеяния.

4.Перечислите калибровочно инвариантные бесследовые тензоры твиста четыре в квантовой хромодинамике.

5.В безмассовой скалярной теории поля с взаимодействием −gϕ4/24 (g > 0) определите, где в комплексной плоскости мож-

но ожидать появления у функции (20.7.3) особенностей типа ренормалонов?