Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

построенных, исходя из d = 2, m = 0 пионного взаимодействия в (19.5.33) или из d = 0, m = 1 пионного взаимодействия в (19.5.34). В этом порядке инвариантная амплитуда М, определенная выражением (19.5.24), равна

Mabcd(ν=2) = 4Fπ−2 δabδcd (s − m2π ) + δacδbd (t − m2π ) + δadδbc(u − m2π ) .

ãäå Ì(0) è Ì(2) — соответствующие тензоры, представляющие двухпионные состояния с изоспином Т = 0 и Т = 2:

нормированные так, что TrM(T) = 2T + 1. Этот результат обычно записывают с помощью длин рассеяния. Согласно разделам 3.6 и 3.7, длина рассеяния aT для двух пионов в состоянии с изоспином Т равна27 произведению 1/32πmπ на коэффициент при М(Ò) â

выражении (19.5.36):

Длины рассеяния пионов трудно измерять, однако тщательное изу- чение процессов типа π + N → π + π + N è K → π + π + e + ν дало следующие значения28: a0 = (0,26 ± 0,05)mπ–1, a2 = (–0,028 ± 0,012)mπ–1,

что согласуется с приведенными теоретическими значениями. Похоже, что учет поправок высших порядков по mπ/2πFπ улучшает

согласие.

Этот формализм можно распространить на описание взаимодействий пионов с нуклонами или другими частицами. Проще всего

предположить, что мы добавляем слагаемое, содержащее нуклонное дублетное поле N, в тот лагранжиан, с которого мы начинали:

r

r

ãäå tr — изоспиновый матричный вектор для изоспина 1/2 (т. е. паулиевский спинор tr , деленный на 2). Этот лагранжиан инвариантен относительно киральных SU(2) ´ SU(2) преобразований с

r

При устранении пионных связей без производных следует выразить нуклонное поле N как SO(4) вращение R в представлении

~

(19.5.41), действующее на новое нуклонное поле N :

r

ãäå z опять дается выражением (19.5.7). После этого преобразования

~

слагаемое без производных в (19.5.39) зависит теперь только от N è s:

С другой стороны, слагаемое с производными содержит производные от матрицы в (19.5.41), что приводит к нуклонному лагранжиану

или в записи через канонически нормированное пионное поле (19.5.17):

Òàê êàê s имеет ненулевое вакуумное среднее, видим, что нуклон

обладает ненулевой массой, Это запрещено, если бы симметрия относительно преобразования (19.5.40), (19.5.41) была ненарушенной.

или в записи через пионное поле (19.5.17):

Заметим, что мы включили произвольную константу gA в последнее слагаемое (19.5.48), так как это слагаемое само по себе кирально симметрично, и киральная симметрия не может определять коэффициент при нем. (В противоположность этому коэффициент при третьем слагаемом в (19.5.43) фиксирован условием, что это слагаемое вместе с первым образуют киральный инвариант.) Образуя дополнительное слагаемое в аксиальном токе, возникающее из нуклонного лагранжиана (19.5.48), можно проверить, что введенная здесь константа gA действительно является аксиальной константой в бета-распаде. Альтернативно, интегрируя по частям и используя уравнение Дирака, находим, что пион-нуклонное взаимодействие

GπN = 2mNgA / Fπ ,

что совпадает с соотношением Голдбергера–Треймана (19.4.33). Кстати, если бы мы использовали в этом вычислении лагран-

жиан (19.5.44), мы получили бы соотношение Голдбергера–Трейма- на с gA = 1. Однако этот результат есть на самом деле артефакт конкретного вида (19.5.39) того взаимодействия, с которого мы на- чинали. Мы могли бы включить неперенормируемое слагаемое со связью с производной *

* Левые и правые компоненты нуклонного дублета преобразуются по представлениям (1,0) и (0,1) группы SU(2) × SU(2), соответственно. Били-

нейная форма Nγ γ N является, таким образом, суммой слагаемых, квад-

μ 5 1 1

ратичных по членам ( ,0) или (0, ), т. е. она преобразуется как прямая сумма представлений (1,0), (0,0) и (0,1). В выражении (19.5.50) мы связали слагаемые (1,0) + (0,1) в Nγ μ γ 5N с антисимметричным тензором, образованным из SU(2) × SU(2) 4-векторов ϕn è ∂μϕn. Конечно, можно непосред-

ственно проверить инвариантность этого выражения относительно преобразований (19.5.40), (19.5.41).

Непосредственно можно убедиться, что в записи через преобра- r

Поскольку s имеет ненулевое вакуумное среднее, возника-

ет вклад в пион-нуклонную константу связи и в gA, пропорциональный g¢. Отсюда значение gA = 1 не диктуется самой нарушенной SU(2) ´ SU(2) симметрией; включив взаимодействие (19.5.50) и подобрав g¢, можно придать gA любое значение.

Рассмотрим теперь, как использовать этот лагранжиан для расчета амплитуд реакций, включающих как пионы, так и нуклоны. Мы должны уделить особое внимание нуклонным пропагаторам, так как нуклон никогда не может быть «мягкой» частицей, как пион. Входящая в диаграмму нуклонная линия с 4-импульсом р порядка mN на массовой оболочке, которая затем в результате взаимодействий с мягкими пионами поглощает суммарный 4-импульс q, компоненты которого много меньше mN, будет иметь пропагатор

(Отброшенные слагаемые можно учесть, если включить в нуклонный лагранжиан слагаемые с высшими производными.) Предположим снова, что все 4-импульсы внешних пионов имеют компоненты порядка не выше Q, и определим все перенормированные констаны связи в точках перенормировки порядка Q, так что интегралы сходятся таким образом, что внутренние пионные линии также имеют 4-импульсы Q. Тогда выражение (19.5.51) показывает, что внутренние нуклонные линии дают вклад порядка 1/Q. Произвольная фейнмановская диаграмма такого процесса будет вносить вклад в инвариантную амплитуду порядка Qν, где теперь

Здесь Vi — число вершин, связанных с взаимодействием типа i, di — число производных в каждом таком взаимодействии, mi —

число множителей с массами кварков в каждом взаимодейстии, Iπ è IN — числа внутренних пионных и нуклонных линий, соответ-

ственно, а L — число петель в диаграмме. Используем знакомые топологические соотношения для связных диаграмм:

ãäå ni — число нуклонных полей во взаимодействии типа i, а ЕN — число внешних нуклонных линий. После исключения IN è Iπ получа-

åì

слагаемом всегда положителен или равен нулю. Мы видели ранее, что для чисто пионных взаимодействий с ni = 0 сумма di + 2mi ³ 2, а изучение выражения (19.5.49) показывает, что для пион-нуклонных взаимодействий с ni = 2 è mi = 0 величина di ³ 1. Ясно, что всякое взаимодействие с ni = 2 è mi ³ 1 èëè ni ³ 4 имеет di ³ 2. Отсюда при Q n 2pFπ старшими являются вклады древесных

диаграмм (у которых L = 0), для которых все взаимодействия имеют

di + 2mi + ni - 2 = 0 2

Взаимодействия, удовлетворяющие этому условию, — как раз те, которые явно выписаны в лагранжианах (19.5.23), (19.5.34) и (19.5.49), плюс возможные взаимодействия с di = 0 è ni = 4

ãäå Ga è Ga — любые матрицы в спиновом и изоспиновом простран-

стве, которые приводят к четырехфермионным взаимодействиям, инвариантным относительно преобразований Лоренца, пространственной инверсии и изотопического спина. Эти последние взаимодействия важны для многонуклонных процессов29, которые мы здесь рассматривать не будем.

где u —дираковский спинор, нормированный условием`uu = 1. Напротив, диаграмма на рис. 19.3, в дает вклад в М порядка mπ. Эту амплитуду можно записать как 2 ´ 2 матрицу по нуклонным

изоспиновым индексам:

ãäå q¢ и q — конечный и начальный 4-импульсы пионов, b и a —

соответствующие изовекторные индексы. Используя (19.5.57) и урав-

имеет в1состояниях с полнымH изоспином Т собственные значения, равные1 [Ò(Ò +G 1) – 2 – ], так что в двух изоспиновых состояниях с Т = и Т = инвариантные амплитуды равны 30

M1/2 = 4mπ Fπ2 , M3/2 = -2mπ Fπ2 .

Обычно эти результаты выражаются через длины рассеяния, которые определяются как инвариантные амплитуды, деленные на

4π(1 + mπ mN):

Эти выражения находятся в разумном согласии с экспериментальными значениями12 a1/2 =(0,173 ± 0,003)mπ–1 è a3/2 = (–0,101 ± 0,004)mπ–1. (Предполагается, что результаты (19.5.59) и (19.5.60)

должны быть справедливы только в низшем порядке по отношению mπ/mN, но мы удерживаем множитель 1 + mπ/mN, òàê êàê îí

возникает просто от определения длин рассеяния.)

Поправки к длинам рассеяния следующего порядка по mπ

возникают из разных источников. Прежде всего, это диаграммы

борновского приближения рис. 19.3, а, б, которые номинально старшего порядка, но, как мы видели, подавлены на пороге дополнительным множителем mπ/mN. Есть дополнительные древес-

ные диаграммы, содержащие вершину с двумя производными. Особый интерес представляют древесные диаграммы, содержащие вершины без производных, которые возникают от нарушающего симметрию взаимодействия, пропорционального mπ2. Ñâîé-

ства киральных и пространственно-временных преобразований этих взаимодействий должны совпадать со свойствами операторов в (19.4.34), которые являются четвертой и третьей компонетами двух различных киральных 4-векторов Fn+ è Fn–. Åñòü äâà

очевидных кандидата в такие операторы, являющеся билинейными формами по нуклонным полям: F4+-слагаемое

вращения, так что они не могут смешивать скалярные и псевдоскалярные нуклонные билинейные формы. Следовательно реально су-

и два независимых F4– оператора

В следующем разделе мы покажем, что это единственные операторы со свойствами преобразований слагаемых в (19.4.34), которые билинейны по нуклонным полям. Операторы (19.5.62) и (19.5.64) оче- видно обеспечивают сохраняющие и нарушающие изоспин поправки к формуле Голдбергера–Треймана для пион-нуклонной константы связи. Два других оператора (19.5.61) и (19.5.63) непосредственно дают вклад как в массу нуклона, так и в пион-нуклонное рассеяние при низких энергиях. Из их вкладов в массу нуклона мы видим, что

эти последние слагаемые входят в эффективный лагранжиан в форме r

(с заменой z на стандартно нормированное пионное поле):

ãäå dmp è dmn — вклады слагаемых с кварковыми массами (19.4.34)

в массы протона и нейтрона. Это дает вклад в амплитуду пионнуклонного рассеяния (снова записанную как матрица в изоспиновом пространстве нуклона)

Первое слагаемое в (19.5.65) часто называют «s-членом». Второе слагаемое — нарушающая изоспин поправка к s-члену, прояв-

ляющаяся только в процессах с участием нейтральных пионов типапроцессов с перезарядкой p+ + n → p0 + p è p– + p ® p0 + n. Õîòÿ