Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

намике.* В этом случае перенормированное электромагнитное поле ARμ принято записывать через «голое» поле AÂμ â âèäå:

ARμ = Z3−1/2ABμ ,

ãäå Z3 определяется формулой (11.2.21):

Здесь имеется сингулярность при нулевой массе, которая будет оказывать влияние на асимптотическое поведение матричных элементов перенормированного фотонного поля. В частности, выражение (11.2.22) дает собственноэнергетическую функцию перенормированного электромагнитного поля:

Она имеет особенность при m = 0 и, следовательно, большие логарифмы в асимптотике при q2 → +∞:

Особым свойством электродинамики является то, что множитель Z3, возникающий в перенормировке электромагнитного поля, возникает и в перенормировке электрического заряда:

но в общем случае это не так. Впервые техника ренормгруппы была применена в квантовой электродинамике, но рассматривае-

* В использованной выше в качестве примера скалярной теории поля с взаимодействием ϕ4 слагаемые низшего порядка в N(ϕ) возникают от двух-

петлевых диаграмм, поэтому для иллюстрации вычисления множителей N использовать эту теорию неудобно.

мая здесь скалярная теория поля дает более типичную иллюстрацию этих методов с отдельной перенормировкой полей и констант связи.

18.2.Скользящий масштаб

Âпредыдущем разделе было показано, что происхождение больших логарифмов, возникающих при высоких энергиях в должным образом проинтегрированных сечениях или фейнмановских амплитудах вне массовой поверхности, можно проследить вплоть до рецепта, используемого для перенормировки констант связи и операторов. Центральной идеей метода ренормализационной группы является изменение этого рецепта.

Предположим, мы нашли какой-то способ определения нового типа перенормированной константы связи g(μ), зависящей от скользящего энергетического масштаба μ, но (по крайней мере, при μ . m) не зависящей от масштаба m всех масс в теории.

Тогда подходящим образом проинтегрированные сечения или дру-

гие инфракрасно безопасные вероятностные параметры можно

выразить не через gR, а через gμ è μ. На основании анализа раз-

мерностей можно записать такие функции как

(Наши обозначения совпадают с обозначениями в разделе 18.1. В частности, x означает совокупность безразмерных углов, отношений энергий и т. п., от которых может зависеть Γ.) Òàê êàê μ —

совершенно произвольный перенормировочный масштаб, можно выбрать μ = E, и в этом случае (18.2.1) примет вид

Теперь это выражение не содержит сингулярностей при нулевой массе, так как при m n E константа gE не зависит от m. Таким образом, больших логарифмов не возникает, и можно использовать теорю возмущений для вычисления Γ через gE äî òåõ ïîð, ïîêà

сама константа gE остается достаточно малой. В частности, в лю-

бом конечном порядке теории возмущений Γ имеет при E . m

асимптотическое поведение

(Непертурбативные поправки рассматриваются в разделе 18.4.) Остается вычислить gE. Например, в скалярной теории поля с лагранжианом (18.1.2) можно определить gμ через значение ампли-

туды рассеяния в точке перенормировки s = t = u = –μ2:

gμ ≡ A(s = t = u = −μ2 )

или через обычную перенормированную константу связи (18.1.4):

Однако эта формула применима только в том случае, когда поправочное слагаемое меньше gR, иначе говоря, только если |gRln(μ/m)| n 1. Åñëè áû ïðè μ g E дело обстояло именно так, нам не

были бы нужны методы ренормгруппы, и вполне хватало бы обыч- ной теории возмущений.

Вместо того, чтобы непосредственно использовать при больших μ формулы типа (18.2.5), мы должны действовать поэтапно. Сначала нужно вычислить gμ через gR, пока отношение μ/m не слишком превышает единицу, затем gμ′ можно вычислить через gμ, пока отношение μ′/μ не слишком превышает единицу, и так далее вплоть

äî gE. Вместо того, чтобы делать это дискретными шагами, можно перейти к непрерывному описанию. На основании размерного анализа соотношение между gμ′ è gμ принимает вид

Дифференцируя по μ′ и полагая μ′ = μ, приходим к дифференци-

альному уравнению

Здесь нет сингулярностей при нулевой массе, так что при m . m

дифференциальное уравнение приобретает простой вид

Это уравнение часто называют уравнением Каллана–Симан- чика 1. Мы должны вычислить gE, интегрируя дифференциальное уравнение (18.2.9) с начальным значением gM при некотором масштабе m = M, который на практике выбирается достаточно большим, так что при m ³ M можно пренебречь массами m по сравнению с m, è

в то же время достаточно малым, чтобы большие логарифмы ln(M/ m) не помешали использовать теорию возмущений для вычисления gM через обычную перенормированную константу связи gR. Решение можно формально записать в виде

äî òåõ ïîð, ïîêà b(g) не обращается в нуль на интервале между gM è gE.

Результаты предыдущего раздела не основаны на теории возмущений, однако обычно без нее невозможно обойтись при вычислении функций G è b. В качестве примера предположим, что мы вычисляем gμ′ в скалярной теории поля с взаимодействием gj4/24,

совершая перенормировку путем выражения g не через gR, а через gμ. Повторяя вычисления, приведшие к (18.2.5), получаем

использовать приближение, основанное на неравенстве μ . m, но в то же время достаточно малы, чтобы |gRln(μ/m)| n 1, когда

из (18.2.5) получаем

Таким способом находим

F 16π2 I

M gm expG J , (18.2.19)

H 3gR K

так что формулу (18.2.17) можно записать в более удобном виде

Повторимся, что это выражение справедливо при малых gμ, äàæå åñëè |gRln(μ/m)| порядка единицы, так что оно представляет

существенное улучшение результата теории возмущений (18.2.18). Конечно, условие малости gμ нарушится, когда gRln(μ/m) окажется достаточно близко к критическому значению 16π2/3. Íî èç (18.2.20)

следует, по крайней мере, недвусмысленное предсказание, что константа gE становится достаточно большой, чтобы нарушить применимость теории возмущений при некоторой энергии Е ниже крити- ческого значения (18.2.19).

Если вместо проинтегрированных сечений вычисляются матричные элементы операторов вне массовой поверхности, следует принимать во внимание множители N, возникающие в определении перенормированных операторов с конечными матричными элементами. В предыдущем разделе мы видели, что если определить N- множители обычным образом (скажем, так, чтобы поправочные слагаемые, возникающие от расходящихся поддиаграмм, сокращались, если оператор несет нулевой 4-импульс или поле находится на массовой поверхности), то формула для этих множителей содержит сингулярности при нулевой массе, как в (18.1.12) или (18.1.16), что приводит к большим логарифмам при энергиях E . m. Способ лече- ния состоит в том, чтобы определить константы перенормировки Nμ(O ) при скользящем масштабе μ, так, чтобы поправочный множи-

тель в матричных элементах перенормированного оператора

возникающий за счет расходящихся поддиаграмм, содержащих оператор O, сокращался в точке перенормировки, характеризующейся 4-импульсами порядка μ. Åñëè MR — матричный элемент

обычным образом перенормированных операторов, а М — матричный элемент, в котором операторы перенормированы так, как в (18.2.21), тогда для любого μ

Считая, что М имеет размерность D, можно опять воспользоваться размерным анализом и, положив μ = E, записать это выражение в

âèäå

Таким образом, чтобы установить поведение амплитуды вне массовой поверхности MR при больших энергиях, следует знать, как изменяется Nμ при изменении масштаба перенормировки μ.

Для двух заданных масштабов μ è μ′ матричные элементы перенормированных операторов Nμ(O ) è Nμ(O′ ) конечны, так что отношение Nμ(O′ ) Nμ(O ) не должно зависеть от обрезания. На основании раз-

мерных соображений это отношение должно иметь вид

ãäå

172 Глава 18. Методы ренормгруппы

(Здесь можно использовать gμ вместо g или gμ′, так как различие этих констант влияет только на слагаемые порядка gμ2 èëè âûøå.)

Тогда из (18.2.26) имеем

Другой хороший пример — множитель N, связанный с перенормировкой электромагнитного поля в квантовой электродинамике. Напомним, что фотонный пропагатор может быть сделан конечным для всех импульсов, если вычислять его для перенормированных электромагнитных полей, или, эквивалентно, умножив пропагатор неперенормированных полей на Z3–1:

Из формулы (10.5.17) следует, что этот перенормированный пропагатор можно записать как

Предположим, что вместо этого мы определим перенормированное поле Nμ(A) Aρ , пропагатор которого содержит слагаемое, пропорциональное ηρσ/[q2 – iε], с коэффициентом, равным единице при скользящем масштабе перенормировки q2 = μ2. Ясно, что для этого нужно

взять

Используя (11.2.22), находим, что функция (18.2.24) равна