Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

Поскольку R — ортогональная матрица, слагаемое ∂μσ∂μσ íå çàâè-

сит от R, и перекрестное слагаемое исчезает:

Åñëè M2 отрицательно, то σ имеет ненулевое вакуумное среднее,

которое в низшем порядке определяется положением минимума суммы последних двух слагаемых в точке σ =| M|/λ .

Вместо старых переменных ϕn вводим теперь новые переменные σ − | M|/λ , а также любые другие переменные, необходимые

для параметризации вращения R. Например, эти параметры можно выбрать просто равными самим Ra4 (где a, b, ... с этого момента являются изоспиновыми индексами, принимающими значения 1, 2, 3), а R44 определяется условием ортогональности R. Другая параметризация приводит к более простым окончательным результатам и была исторически первой параметризацией, использованной для этих целей. Определим

264Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

èвыберем

r

Какая бы параметризация не использовалась, ясно, что поля z îïè-

сывают частицы нулевой массы, все взаимодействия которых вклю- чают производные полей. Эти поля (с точностью до нормировки) и являются новыми пионными полями.

Несмотря на внешний вид, этот лагранжиан все еще инвариантен относительно SO(4) симметрии, но только реализованной нелинейно. Относительно изоспинового преобразования с инфините-

так что лагранжиан (19.5.10) явно изоинвариантен. С другой стороны, относительно преобразований нарушенной симметрии, параметризованных инфинитезимальным вектором εr , исходные

поля преобразуются по формулам

Тогда из (19.5.7) находим, что

ãäå F = 2ásñ = 2| M|/l . (Как мы вскоре увидим, величина F совпадает с обсуждавшейся в предыдущем разделе константой Fπ.) Äëÿ

многих целей более удобно иметь дело с нормированным по общепринятому соглашению пионным полем

Множитель 1/F действует как параметр связи, сопровождающий взаимодействие каждого дополнительного пиона. Формула (19.5.18) описывает, как часто говорят, «нелинейную σ-модель» для частного случая симметрии SU(2) × SU(2), спонтанно нарушенной до симмет-

ðèè SU(2).

Важно отметить, что при выводе (19.5.18) было совершенно не обязательно начинать с «линейной σ-модели» с лагранжианом

(19.5.1). На самом деле, нам не нужно отталкиваться от какой бы то ни было конкретной теории. Выражение (19.5.18) можно использовать просто потому, что оно инвариантно относительно SU(4) преобразования (19.5.12), (19.5.14). В этом случае алгебра токов говорит нам, что для получения правильных результатов для амплитуд пионных процессов при низких энергиях больше ничего и не требуется.

Через несколько лет после введения эффективных лагранжианов для мягких пионов появилось другое подтверждение техники эффективной теории поля 26, которая не опирается на алгебру токов и позволяет производить расчеты, не ограниченные пределом исчезающе малых энергий голдстоуновских бозонов. Эта техника основана на наблюдении (формально еще не облеченном в ранг теоремы), что, вычисляя физическую амплитуду с помощью фейнмановских диаграмм, используя самый общий лагранжиан, включающий соответствующие степени свободы и удовлетворяющий предполагаемым симметриям теории, мы просто конструируем самую общую амплитуду, совместимую с общими принципами теории относительности, квантовой механики и предполагаемыми

симметриями. Такая точка зрения была основой содержания всего первого тома этой книги. В данном контексте «соответствующие» степени свобо-ды — это сами голдстоуновские бозоны, а также частицы в состояниях a è b и любые другие состояния частиц, которые могут быть получены из a è b путем взаимодействия с

голдстоуновскими бозонами низких энергий. Принимая это подтверждение эффективных теорий поля, мы освобождаемся от необходимости бороться с усложнениями, связанными с алгеброй токов. Что более важно, современный подход, основанный на эффективной теории поля, приводит к результатам, выводящим за пределы крайне низких энергий, и позволяет систематически изучать нарушение любой внутренней симметрии.

Согласно этому подходу, для вычисления амплитуд взаимодействия пионов в любом желаемом порядке по энергиям пионов, следует использовать самый общий лагранжиан, включающий пи-

r

онное поле z, преобразующееся по правилам (19.5.12) и (19.5.14):

Слагаемые, отмеченные многоточием, содержат слагаемые с бо-

r

лее высокими степенями ковариантной производной Dμ èëè áî-

лее высокие ковариантные производные, общая структура которых описана в следующем разделе. Коэффициенты с4 è ñ¢4

безразмерны, а коэффициенты во всех слагаемых более высокого порядка имеют размерность обратных степеней массы.

Рассмотрим общий процесс, включающий произвольное число начальных и конечных пионов. Мы предполагаем, что все их энергии и импульсы не превышают величины порядка Q, которая мала по сравнению с типичной шкалой квантовой хромодинамики (скажем, массой нуклона или r-мезона). Даже несмотря на то, что лагранжиа-

ны типа (19.5.19) неперенормируемы в обычном смысле, мы знаем из результатов раздела 12.3, что такие лагранжианы могут приводить к конечным результатам, если только они содержат все возможные слагаемые, разрешенные симметриями, так как в этом случае найдется контрчлен, сокращающий каждую бесконечность. Если определить перенормированные значения констант F2, c4, c¢4, ..., задав зна-

чения различных амплитуд рассеяния голдстоуновских бозонов при энергиях порядка Q, то интегралы по импульсам во вкладах фейн-

мановских диаграмм будут определяться вкладами от виртуальных импульсов также порядка Q (поскольку перенормировка делает эти интегралы конечными, а в теории нет никакого другого подходящего эффективного обрезания). Поэтому мы можем строить теорию возмущений как разложение в ряд по степеням Q.

r

Каждая производная и поэтому каждый оператор Dμ â êàæ-

дой вершине взаимодействия вносит одну степень Q в порядок величины диаграммы; каждый пропагатор пиона вносит множитель Q–2; каждый дифференциал объема интегрирования d4q, связанный с петлями в диаграмме, вносит множитель Q4. Таким образом, произвольная связная диаграмма имеет порядок Qν, ãäå

Здесь di — число производных во взаимодействии типа i, Vi — число вершин взаимодействия типа i в диаграмме, I — число внутренних пионных линий и L — число петель. Эти величины связаны известным топологическим тождеством (4.4.7):

Главное в этом выражении то, что каждое слагаемое положительно: любое взаимодействие в (19.5.19) содержит как минимум две производные и, конечно, L ³ 0. Поэтому старшее слагаемое в любом

процессе имеет порядок Q2 и возникает исключительно от древесных диаграмм (т. е. диаграмм с L = 0), построенных только с помощью слагаемого в (19.5.19), содержащего две производные (т. е. Vi =0 ïðè di ¹ 2):

Например, инвариантная амплитуда М, возникающая в элементе S-матрицы для пион-пионного рассеяния

S = i(2π)4 δ4 (pA + pB − pC − pD)M(2π)−6 (16EAEBECED)−1/2

(19.5.24)

дается в этом порядке выражением:

где a, b, c, d — изовекторные индексы пионов A, B, C, D, соответственно. (Чуть ниже в этом разделе мы обсудим влияние конечной массы пиона.) Использование (19.5.25) в качестве главного слагаемого не зависит от каких-либо предположений о малости константы связи l в исходном лагранжиане (19.5.1), и даже от справедливости

этой формулы для лагранжиана, а зависит только от предположения о малости типичной энергии пиона Q.

Следующее слагаемое в амплитуде для любой реакции с уча- стием голдстоуновских бозонов будет порядка Q4 и возникает оно как от однопетлевых диаграмм, связанных только с лагранжианом (19.5.16), а также от древесных диаграмм, построенных только из взаимодействия в (19.5.16), с добавлением одиночной вершины, возникающей из слагаемых с d = 4 в (19.5.19):

где «перекрестные слагаемые» означают слагаемые, получающиеся перестановками B « C è B « D, а s, t, u — мандельстамовские

переменные

s = −(pA + pB )2 , t = −(pA − pC )2 , u = −(pA − pD)2 .

Зависимость этого результата от обрезания L может быть устранена переопределением констант с4 è ñ¢4. Перенормированные кон-

станты равны

270 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

ãäå m — произвольный масштаб перенормировки порядка Q, вве-

денный для того, чтобы сделать логарифмы хорошо определенными. Выраженная через эти перенормированные константы, амплитуда (19. 5. 26) принимает вид

+ перекрестные слагаемые,

Подобные вычисления можно провести в любом порядке по Q, и всегда получается, что в каждом порядке мы сталкиваемся с конечным числом повых констант, перенормировка которых позволяет устранить зависимость физических амплитуд от обрезания. Заметим, что отношение старших слагаемых с n = 2 и поправок с n = 4 порядка Q2/8p2F2, так что похоже, что разложение можно

считать полезным до тех пор, пока энергии всех пионов много меньше величины порядка 2pF.

Приведенное разложение по теории возмущений можно использовать также для установления связи вездесущего параметра F с измеряемой амплитудой распада пиона Fπ. С учетом правила

r

преобразования (19.5.14) для z, аксиальный ток имеет вид:

Используя для вычисления áVAC| Ar μ | pñ разложение теории воз-

мущений по степеням энергии пиона, видим, что в низшем порядке амплитуда распада пиона равна

Кроме того, из лоренц-инвариантности и соотношения (19.5.22) следует, что поправки высших порядков должны быть пропорциональны степеням отношения pπ2/Fπ2, которое обраща-

ется в нуль для безмассового пиона, так что соотношение (19.5.32) действительно точное в пределе mπ ® 0. Поэтому можно ду-

мать, что наше разложение по теории возмущений пригодно до энергий пионов, меньших чем величина порядка 2pFπ = 1200 ÌýÂ.

Чтобы провести сравнение с экспериментом, мы должны учесть, что масса пиона не равна нулю. На массовой оболочке невозможна ситуация, чтобы временная компонента 4-импульса пиона была бы меньше mπ, так что при подсчете степеней типичной энергии и импульса пиона Q следует считать, что mπ порядка Q. Однако в предыдущем разделе мы видели, что mπ2 пропорциональ-

но линейной комбинации масс кварков, так что формула (19.5.22) для порядка Qν данной фейнмановской диаграммы должна быть пе-

реписана в виде

ãäå mi — число множителей, равных кварковым массам, во взаимодействии типа i.

Взаимодействия, включающие массы кварков, можно различить по их свойствам преобразования относительно SU(2) ´ SU(2)

272 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

или, эквивалентно, относительно SO(4). Выражение (19.4.34) показывает, что слагаемые первого порядка по массам кварков преобразуются как линейные комбинации двух скаляров — четвертой компоненты кирального 4-вектора Φn+ с коэффициентом (mu + md) и третьей компоненты другого кирального 4-вектора Φn– ñ

коэффициентом (mu – md). Следовательно, слагаемые L+ è L– в эффективном лагранжиане первого порядка по mu + md è mu – md должны иметь относительно кирального преобразования свойства четвертой и третьей компонент киральных 4-векторов, соответственно, и, конечно, быть лоренцовскими скалярами. Одним очевидным кандидатом на киральный 4-вектор, четвертая компонента которого — скаляр, является ϕn, с которого мы начинали этот раз-

дел. Согласно (19.5.9), его четвертая компонента равна просто

ный скаляр, не влияющий поэтому на свойства кирального преобразования оставшегося выражения. Можно зафиксировать нормировку

В следующем разделе мы увидим, что это единственная скалярная функция пионного поля без производных, преобразующаяся как четвертая компонента кирального 4-вектора. С другой стороны, не существует скалярной функции пионного поля без производных, преобразующейся как третья компонента кирального 4- вектора, так как, если бы такая функция была третьей компонентой кирального 4-вектора, она должна была бы быть нечетной по пионному полю и, следовательно, должна была бы быть не скаляром, а псевдоскаляром. Таким образом, (19.5.34) есть единственное взаимодействие с di = 0 è mi = 1. Поразительно, что нарушающая изоспиновую симметрию разность масс u- и d-кварков не только не влияет на массы пиона, как это мы видели в предыдущем разделе, но и не влияет также на любое многопионное взаимодействие без производных.

Теперь мы способны провести реалистичный расчет главных ν = 2 слагаемых в амплитуде пион-пионного рассеяния. Согласно

(19.5.33), эти слагаемые возникают только из древесных диаграмм,