Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

áp| A+m (x)| nñ = (2p)-3 eiq×x

´ up -ig μ g 5 f(q2 ) + qμ g 5g(q2 ) + iqν [g μ , g ν ]g 5h(q2 )un ,(19.4.27)

ãäå q º pn - pp. В приближении точной SU(2) ´ SU(2) симметрии из

сохранения тока следует, что

Используя основные уравнения для дираковских спиноров up è un

up(ip/ p + mN ) = (ip/ n + mN )un = 0,

видим, что

qμ up[-ig μ g 5 ]un = -2mNupg 5un

Åñëè g(q2) не имеет сингулярности при q2 = 0, тогда из (19.4.29) следует, что либо mN = 0, что очевидно не так, либо f(0) = 0, что также неверно. На самом деле, величина f(0) измеряется в низкоэнергетических ядерных бета-распадах типа распада нейтрона, где эту константу обычно обозначают gA. Измеренное значение этой константы

Из того факта, что ни mN, íè f(0) = gA не малы, вытекает, что в пределе точной SU(2) ´ SU(2) симметрии g(q2) должна иметь полюс при q2 ® 0:

Такой полюс естественно обеспечивается безмассовым пионом, наличие которого требуется спонтанным нарушением точной SU(2) ´ SU(2) симметрии. Предположим, что пион связан с однонуклон-

ным состоянием так, как будто лагранжиан взаимодействия име-

матричный элемент тока между однопионным состоянием и вакуумом такой же, как если бы в Ar μ (x) содержалось слагаемое вида Fp¶μ pr 2. Поэтому в пределе q2 ® 0 матричный элемент (19.4.27)

имеет полюс:

Сравнивая с (19.4.27), видим, что за счет однопионного обмена у функции g(q2) возникает полюс

ïðè q2 ® 0. Объединяя выражения (19.4.32) и (19.4.32), находим

Это знаменитое соотношение Голдбергера–Треймана 11. Оно неплохо выполняется: если взять mN = (mp + mn)/2 = 938,9 ÌýÂ, gA = 1,257 è Fπ g 184 ÌýÂ, òî GπN g 12,7, в хорошем согласии с полученным разными способами значением ** GπN = 13,5 (в том числе, с

учетом однопионного полюса в нуклон-ядерном рассеянии и однонуклонного полюса в пион-нуклонном рассеянии).

В реальном мире пион не является безмассовым, а симметрия SU(2) ´ SU(2) не точна (даже перед спонтанным нарушением). Это

обстоятельство можно проанализировать с помощью общего формализма, изложенного в предыдущем разделе. Из лагранжиана (19.4.1) следует нарушающее симметрию слагаемое в гамильтониане:

H1 = muuu + mddd = (mu + md )Φ4+ + (mu − md )Φ3− , (19.4.34)

* Это общепринятое определение псевдоскалярной пион-нуклонной константы взаимодействия GπN. Множитель 2 вводится здесь для сокращения

множителя 1/2 в изоспиновых матрицах.

** Приводимое в учебниках 12 значение равно GπN2/4π = 14,3 èëè GπN =

13,4. Недавно в результате очень точного изучения 13 нейтрон-протонного рассеяния с перезарядкой при энергии 162 МэВ получено значение GπN2/4π = 14,6 ± 0,3 èëè GπN = 13,5.

Такие обозначения позволяют легко увидеть, что условия подстройки вакуума для генераторов Т1, Ò2, X1, X2 è X3, соответственно, имеют вид

Мы предполагали, что при нулевых массах u- и d-кварков симметрия SU(2) ´ SU(2) спонтанно нарушается так, чтобы со-

хранить ненарушенной SU(2) симметрию, генерируемую опера-

направлении, а áF−n ñ0 = 0, так что условия (19.4.42) выполняются.

Однако, если mu = md = 0, можно найти другие нарушающие симметрию решения с другими определениями четности, подвергнув данное решение произвольному преобразованию SU(2) ´ SU(2).

Следовательно при нулевых массах u- и d-кварков нет способа определить, в каком направлении должен указывать áF+n ñ0 = 0, или какая подгруппа SU(2) из SU(2) ´ SU(2) остается ненарушенной, хотя во всех случаях áF−n ñ0 = 0. Из условия подстройки ва-

куума (19.4.42) вытекает, что в случае, когда симметрия внутренне нарушается возмущением (19.4.34) и спонтанно нарушается

Кроме того, из изоспиновой инвариантности вытекает, что параметр нарушения симметрии Fab, введенный в разделе 19.2, пропорционален dab, причем коэффициент пропорциональности равен согласно (19.4.24) просто Fπ/2, òàê ÷òî

Поэтому из (19.3.20) следует, что пионная массовая матрица имеет вид

Поразительно, что массы заряженных и нейтрального пионов оказались равными, хотя мы и не делали никаких предположений об отношении масс mu è md. Ниже мы увидим, что это отношение не близко к единице. Изоспин является хорошим квантовым числом не потому, что массы u- и d-кварков почти равны, а потому, что они малы. Кроме того, как и обещано, мы видим, что массам кварков

пропорционален квадрат массы пиона, так что массы кварков должны быть довольно малы. (Оценку см. в разделе 19.7.) Наблюдаемая разность масс пионов возникает не из-за разности масс кварков u и d, а из электромагнетизма. Действительно, пионный мультиплет — единственный изоспиновый мультиплет, разность масс внутри которого была успешно рассчитана только на основе однофотонного обмена 14..

Конечно, даже с учетом масс кварков выражение (19.4.24) можно использовать для определения Fπ. Дивергенция этого выражения

равна

Вместо того, чтобы предполагать обращение в нуль ¶μ Ar μ , мы можем теперь предположить, что это выражение мало, порядка mπ2,

за исключением ситуации, когда пионный полюс компенсирует малость mπ2. Согласно (19.4.47) поведение матричных элементов ¶μ Ar μ в окрестности однопионного полюса такое же, как если бы ¶μ Ar μ равнялось Fπmπ2, умноженному на должным образом перенормирован-

ное пионное поле. Например, однонуклонный матричный элемент ¶μ A+μ должен равняться

Ожидается, что это выражение справедливо при q2 порядка mπ2, а не только в пределе q2 ® –mπ2, т. к. пионный полюс доминирует в матричных элементах ¶μAμ для всех таких малых q2. Кроме того,

при таких q2 мы вместо (19.4.32) имеем

258 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

Из (19.4.49) и (19.4.50) находим, что при q2 порядка mπ2

Неудивительно, что эта функция практически постоянна в области q2 от нуля до величины порядка mπ2, т. к. в ней нет однопион-

ного полюса и нет ничего другого, что могло бы привести к существенному изменению в столь малой области q2. Это постоянное значение приближенно равно f(0) º gA, таким образом, (19.4.51)

опять приводит к соотношению Голдбергера–Треймана.

Теперь можно использовать результаты раздела 19.2, чтобы вычислить амплитуду испускания одиночного пиона малой энергии в произвольном процессе a ® b. Мы нашли, что амплитуда должна

вычисляться на основе фейнмановских диаграмм, в которых пион испускается только с внешних линий в процессе, а выражение (19.2.49) показывает, что эти вклады должны вычисляться так, как

¶ p × r

будто взаимодействие пионного поля имеет вид μ r AN / Fπ , ãäå

индекс N указывает, что в матричных элементах аксиального тока нужно отбросить слагаемое с однопионным полюсом. Из (19.4.27) (с учетом изоспиновой инвариантности) заключаем, что для мягких пионов, испускаемых с нуклонной линии, это взаимодействие эффективно равно

Fπ

Используя уравнение Дирака для свободных частиц, можно видеть, что для нуклонов на массовой оболочке (т. е. в однонуклонных полюсах на рис. 19.2) это эквивалентно псевдоскалярному взаимодей-

- p × g r

ствию imNgA r N 5tN Fπ . Это еще одна демонстрация соотно-

2 /

шения Голдбергера–Треймана (19.4.33).

* * *

Наше рассмотрение в данном разделе не следовало параллельно историческому развитию этих идей. На самом деле, ход исторического развития был хронологически почти в точности про- тивопо-ложным той линии рассуждений, которая здесь изложена. Нарушенные симметрии вошли в физику частиц вместе с соотно-

шением Голдбергера–Треймана (19.4.33), которое было выведено в 1957 году на основе динамического расчета распада пиона. Для того, чтобы объяснить удивительный успех этого весьма приближенного вычисления, ряд теоретиков15 предложил идею «частич- ного сохранения аксиального тока» (ЧСАТ), заключавшуюся в том, что хотя аксиальный ток и не сохраняется (что следует хотя бы из того факта, что пионы распадаются), его дивергенция ∂μ A±μ

пропорциональна пионному полю. Само по себе это предположение бессмысленно — мы видели в гл. 10, что любое поле с неисче- зающим матричным элементом между вакуумным и однопионным состояниями может рассматриваться как пионное поле. Хотя это и не было ясно в те времена, на самом деле, предположение заключалось в том, что дивергенция аксиального тока мала, порядка mπ2, за исключением области, где матричный элемент велик

за счет пионного полюса. Проблема в значительной степени прояснилась в работе Намбу 1960 года 16, который отметил, что аксиальный ток можно рассматривать как точно сохраняющийся в пределе нулевой массы пиона, и в этом случае соотношение Гол- дбергера–Треймана можно вывести так, как мы это сделали выше. В этой и последующей работе с Иона-Лазинио 17 Намбу заметил, что появление безмассового или почти безмассового пиона есть симптом нарушения точной или приближенной симметрии. В работах с другими сотрудниками 18 Намбу показал также, как вычислять вероятности испускания одиночного мягкого пиона в разных процессах. Затем Голдстоун 3 заметил, что нарушенные симметрии всегда сопровождаются безмассовыми бозонами. Это было доказано в 1962 году Голдстоуном, Саламом и мной 5 с помощью рассуждений, приведенных в разделе 19.2.

Ни одна из этих ранних работ о пионах как голдстоуновских бозонах не зависела от конкретных предположений о природе группы нарушенной симметрии. Например, это могло бы быть прямое произведение трех коммутирующих групп U(1), генераторы которых образуют вектор изотопического спина, или некомпактная группа SO(3,1), для которой в коммутационных соотношениях (19.4.19) справа возникает знак «минус». Природа группы нарушенной симметрии стала важной только в связи с рассмотрением процессов с участием более одного пиона, начавшегося с правила сумм Адле- ра–Вайсбергера в 1965 году19, успех которого показал, что нарушенной группой действительно является SU(2) × SU(2). (Такие про-

цессы обсуждаются в следующем разделе.) Установление группы симметрии SU(2) ´ SU(2) привело к смещению акцентов 20 в сторону

приложений этой симметрии в физике сильных взаимодействий и отходу от ранних усилий21, сосредоточенных на самих токах.

Вся эта работа проводилась в отсутствие конкретной теории сильных взаимодействий. Одна из причин быстрого признания в1973 году квантовой хромодинамики как правильной теории сильных взаимодействий заключалась в том, что эта теория объяснила SU(2) ´ SU(2) симметрию как простое следствие мало-

сти масс u- и d-кварков.

19.5.Эффективные теории поля: пионы и нуклоны

Âразделе 19.2 мы узнали, как рассчитывать амплитуду ис-

пускания одиночного голдстоуновского бозона В низкой энергии в переходе a ® b + B, применяя условие сохранения тока к матрич- ному элементу тока симметрии между состояниями a è b. Â ýòîì

вычислении мы совершенно не использовали какую-либо информацию о деталях нарушенной группы симметрии; все, что нам требовалось, это сохранение тока. Новые детали возникают, если мы хотим вычислить матричный элемент испускания и/или поглощения двух голдстоуновских бозонов, например, в процессе рассеяния голдстоуновских бозонов. В этом случае следует применить условие сохранения тока к матричному элементу вида

áb| T{J1λ1 (x1), J2λ2 (x2 )}| añ,

где состояния a è b содержат и другие частицы помимо двух

участвующих в реакции голдстоуновских бозонов. Но когда мы действуем оператором дивергенции ¶¶x1λ1 на этот матричный эле-

мент, мы сталкиваемся с ненулевым вкладом от производной функций q(x10 – x20) è q(x20 – x10), возникающим в определении хро-

нологически упорядоченного произведения Т{...}. Этот вклад равен

матричному элементу коммутатора d(x10 - x20 )[J10 (x1), J2λ2 (x2 )] ïðè

равных временах, значение которого зависит от коммутационных соотношений групповой алгебры. Указанное обстоятельство делает особо интересныыми такие процессы с участием многих голдстоуновских бозонов, так как их можно использовать для

экспериментального изучения природы группы нарушенной симметрии таким способом, который невозможен для процессов с участием только одного голдстоуновского бозона. Из-за возникновения подобных коммутаторов токов такой подход стал известен как метод алгебры токов 21.

Этот метод был использован в ранних вычислениях амплитуд с многими голдстоуновскими бозонами.22 К сожалению, такие вычисления весьма громоздки, особенно, когда участвуют три и более голдстоуновских бозона. Кроме того, трудно было понять, как обращаться с симметриями типа киральной симметрии квантовой хромодинамики, которые не точны. По этой причине была предложена 23 другая, более физическая техника вычислений, основанная на использовании эффективных лагранжианов. Суть ее в том, что амплитуды голдстоуновских бозонов просто вычисляются по теории возмущений с помощью некоторого лагранжиана для голдстоуновских бозонов и других частиц в состояниях α è β, удовлетворяющего

требованиям предполагаемой нарушенной симметрии. Первоначально проверка метода эффективного лагранжиана

основывалась на алгебре токов. Используя ее, можно установить, что амплитуда испускания совокупности голдстоуновских бозонов малой энергии в процессе α → β + B1 + B2 + ... фиксирована, если

только известны коммутационные соотношения при равных временах для токов, связанных с нарушенными симметриями, а также матричные элементы процесса α → β и матричные элементы

токов между различными одночастичными состояниями. Мы знаем, что лагранжиан, подчиняющийся нарушенной симметрии, позволяет с помощью нетеровской техники построить сохраняющиеся токи с соответствующими одновременными коммутаторами, поэтому, если просто рассчитать амплитуды испускания голдстоуновских бозонов малой энергии с помощью такого лагранжиана и подставить правильные значения Mβα и одночастичные матричные

элементы токов, должен получиться тот же самый ответ, что с помощью алгебры токов. В случае, когда взаимодействуют только голдстоуновские бозоны друг с другом, состояния α è β можно

считать вакуумными, и нам не требуется никакая дополнительная информация, кроме значения матричного элемента F между состоянием голдстоуновского бозона и вакуумом.

В первом примере подобных расчетов23 исходным был лагранжиан σ-модели.24 Если ограничиться сейчас только бозонным секто-

262 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

ром этой модели, то ее лагранжиан является тем же SO(4)-инвариан- том, который рассматривался в качестве примера в разделе 19.2,

где суммирование по n идет по значениям 1, 2, 3, 4, а ϕr — изовекторное псевдоскалярное поле и ϕ4 — изоскалярное ска-

лярное поле.

Проблема, с которой немедленно сталкиваются при рассмотрении любого типа эффективных лагранжианов, заключается в том, что с целью использовать их для расчета амплитуд рассеяния мы должны либо включить все фейнмановские диаграммы всех порядков теории возмущений, либо найти какие-то основания для отбрасывания диаграмм высших порядков. Для лагранжианов типа (19.5.1), в которых нарушенная симметрия реализуется через линейные преобразования различных полей, такие основания не обнаруживаются. К счастью, любой такой лагранжиан можно переписать в виде, позволяющем использовать фейнмановские диаграммы для построения разложения амлитуды рассеяния в ряд по степеням энергий голдстоуновских бозонов. Чтобы осуществить это, совершим в каждой точке пространства-времени преобразование симметрии, устраняющее поля, отвечающие голдстоуновским бозонам теории. Степени свободы, соответствующие голдстоуновским бозонам, вновь возникают в преобразованной теории как параметры преобразования симметрии. Однако, поскольку лагранжиан инвариантен относительно не зависящих от пространственно-временных точек преобразований симметрии, в нем не может содержаться какая-либо зависимость от новых полей голдстоуновских бозонов, если они постоянны, и таким образом каждое слагаемое в лагранжиане, содержащее эти новые поля, должно содержать еще как минимум одну пространственно-времен- ную производную поля. При расчете элементов S-матрицы для реакций с голдстоуновскими бозонами, эти производные вносят степени энергии голдстоуновского бозона. Как будет видно, такой лагранжиан можно использовать для построения разложения элементов S-мат- рицы в ряд по степеням этих энергий.

Так, чтобы переписать лагранжиан (19.5.1) в удобном виде, запишем 4-вектор ϕn как киральное вращение R, действующее на 4-вектор {0,0,0,σ}, первые три компоненты которого (голдстоуновская часть ϕn) равны нулю: