Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

3.В однопетлевом приближении рассчитайте амплитуду пионпионного рассеяния с учетом конечной массы пиона.

4.Выведите «правило сумм Адлера», являющееся аналогом правила сумм Адлера–Вайсбергера для случая пион-пионного рассеяния.

5.Вычислите свойства преобразований пионного поля ξa относительно преобразований группы SU(2) × SU(2) в случае, когда смежные классы SU(2) × SU(2)/SU(2) параметризованы как

exp(iξaxa).

6. Используйте формулу (19.7.31) и SU(3) симметрию, чтобы вывести соотношение (19.7.32).

Список литературы

1.Coleman, S. Secret symmetry: an introduction to spontaneous symmetry breakdown and gauge fields. In: Aspects of Symmetry. Selected Erice Lectures of Sidney Coleman (Cambridge University Press, Cambridge, 1985).

2.Titchmarsh, E.C., Introduction to the Theory of Fourier Integrals

(Oxford University Press, Oxford, 1937), Sec. 1.4.

3.Goldstone, J., Nuovo Cimento, 9, 154 (1961).

4.Nambu, Y., Phys. Rev. Lett., 4, 380 (1960).

5.Goldstone, J., Salam, A., and Weinberg, S., Phys. Rev., 127, 965 (1962).

6.Adler, S., Phys. Rev., 137, B1022 (1965).

7.Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 29, 1698 (1972).

8.Dashen, R., Phys. Rev., 183, 1245 (1969). Поправки к этому соотношению см.: Donoghue, J.F., Holstein, B.R., and Wyler,

D., Phys. Rev., D47, 2089 (1993); Bijnens, J., Phys. Lett., B306, 343 (1993); Maltman, K. and Kotchan, D., Mod. Phys. Lett., A5, 2457 (1990); Urech, R., Nucl. Phys., B433, 234 (1995); Baur, R. and Urech, R., Zurich–Karlsruhe preprint ZU-TH 22/95, TTP95-31, hep-ph/9508393 (1995).

9.Обзор см.: Towner, I.S. et al., Chalk River preprint nucl-th/ 9507005 (1995).

10.Weinberg, S., Phys. Rev., 112, 1375 (1958).

11.Goldberger, M.L. and Treiman, S., Phys. Rev., 111, 1375 (1958).

12.Ericson, T. and Weise, W., Pions and Nuclei (Clarendon Press, Oxford, 1988).

13.Ericson, T. et al., CERN preprint CERN-TH/95-50 (1995).

14.Das, T., Guralnik, G.S., Matur, V.S. et al., Phys. Rev. Lett., 18, 759 (1967).

15.Bernstein, J., Fubini, S., Gell-Mann, M., and Thirring,1 W., Nuovo Cimento, 17, 757 (1960); Gell-Mann, M. and Levy, M., [24]; Chou, K.-C., Soviet Physics JETP, 12, 492 (1961).

16.Nambu, Y., Phys. Rev. Lett., 4, 380 (1961).

17.Nambu, Y. and Jona-Lasinio, G., Phys. Rev., 122, 345 (1961).

18.Nambu, Y. and Lurie, D., Phys. Rev., 125, 1429 (1962); Nambu, Y. and Shrauner, E., Phys. Rev., 125, 1429 (1962).

19.Adler, S.L., Phys. Rev. Lett., 14, 1051 (1965); Phys. Rev., 140, B736 (1965); Weisberger, W.I., Phys. Rev. Lett., 14, 1047 (1965); Phys. Rev., 143, 1302 (1965). Влияние конечноий массы пиона было другим способом учтено в [27] путем комбинации результатов алгебры токов для длин пион-нуклонного рассеяния с правилом сумм для длин рассеяния, выведенным из дисперсионных соотношений для рассеяния вперед в работах: Goldberger,

M.L., Miyazawa, H., and Oehme, R., Phys. Rev., 99, 986 (1955); Goldberger, M.L., in Dispersion Relations and Elementary Particles

(Wiley, New York, 1960), p. 146.

20.Weinberg, S., Current Algebra — Rapporteur's Report, in Proc. Int. Conf. on High Energy Physics, Vienna, 1968 (CERN, Geneva, 1968), p. 253.

21.Gell-Mann, M., Physics, 1, 63 (1964).

22.Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 16, 879 (1966).

23.Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 18, 188 (1967).

24.Gell-Mann, M. and Le1vy, M., Nuovo Cimento, 16, 705 (1960).

25.Weinberg, S., Phys. Rev., 166, 1568 (1968).

26.Weinberg, S., Physica, 96A, 327 (1979).

27.Эти длины рассеяния впервые были вычислены с помощью техники алгебры токов в работе: Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 17, 616 (1966).

28.Обзор см.: Donoghue, J.F., Golowich, E., and Holstein, B.R.,

Dynamics of the Standard Model (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992), sec. VI-4. Измерения сдвига энергии и ширины 1s состояния атома p–p за счет сильного Bвзаимодействия2

привели к результатам: a(π–p → π–p) = a + a =

2¸ 1/2 3/2

0,0885(9)mπ–1 è a(π–p → π0n) = (a3 – a1) = –0,136(10)mπ–1;

Sigg, D. et al., preprint ETHZ-IPP PR-95-4, July 1995.

29. Weinberg, S., Phys. Lett., B251, 288 (1990);1¤ Nucl Phys., B363, 3 (1991); Phys. Lett., B295, 114 (1992); Ordo1¤ ez, C., and van Kolck, U., Phys. Lett., B291, 459 (1992); Ordo ez, C., Ray, L., and van Kolck, U., Phys. Rev. Lett., 72, 1982 (1004); van Kolck, U., Phys. Rev., C49, 2932 (1994); van Kolck, U., Frriar, J., and Goldman, T., Phys. Lett. B (to be1¤published). Обзор данного подхода к ядерным силам см.: Ordo ez, C., Ray, L., and van Kolck, nucl-th/

9511380; Friar, J., Few-Body Systems Suppl., 99, 1 (1996). Применение этой техники к связанным ядерным процессам см.: Park, T.-S., Min, D.-P., and Rho, M., Phys. Rep., 233, 341 (1993); Beane, S.R., Lee, C.Y.. and van Kolck, U., Phys. Rev., C52, 2915 (1995).

30.Weinberg, S., [27]. Длины пион-нуклонного рассеяния были независимо рассчитаны в работе: Tomozawa, Y., Nuovo Cimento, 46A, 707 (1966).

30a. Adler, S.L., Phys. Rev., 140, B736 (1965).

31.Coleman, S., Wess, J., and Zumino, B., Phys. Rev., 177, 2239 (1969); Callan, C.G., Coleman, S., Wess, J., and Zumino, B., Phys. Rev., 177, 2247 (1969).

32.Palais, R.S., J. Math. Mech., 6, 673 (1957); Mostow, G.D., Annals of Math., 65, 432 (1957).

32a. Обсуждение других возможностей см.: Weinberg, S., Physica Scripta, 21, 773 (1980).

33.Gell-Mann, M., Cal. Tech. Synchrotron Laboratory Report CTSL20 (1961), неопубликовано. Эта работа воспроизведена вместе другими статьями по SU(3) симметрии в сборнике: Gell-Mann, M. and Ne'eman, Y., The Eightfold Way (Benjamin, New York, 1964).

34.Ne'eman, Y., Nucl. Phys., 26, 222 (1961).

35.Gell-Mann, M., Oakes, R.J., and Renner, B., Phys. Rev., 175, 2195 (1968); Glashow, S. and Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 20, 224 (1968).

36.Dashen, R., Phys. Rev., 183, 1245 (1969). Поправки были рассмотрены в работе: Langacker, P. and Pagels, H., Phys. Rev.,

D8, 4620 (1973). Отсутствие электромагнитных поправок к массе π0 было доказано в модели работы [17] в статье: Guralnik,

G.S., Nuovo Cimento, 36, 1002 (1965).

37.Weinberg, S., contribution to a Festschrift for I.I. Rabi, Trans. N.Y. Acad. Sci., 38, 185 (1977).

38.Gell-Mann, M. [33]; Okubo, S., Progr. Theor. Phys., 27, 949 (1962).

38a. Leutwyler, H., Bern-CERN preprint CERN-TH/96-44, hep-ph/ 9602366, to be published (1996).

38b. Donoghue, J.F., Golowich, E., and Holstein, B.R., [28].

39.Gasser, J. and Leutwyler, H., Nucl. Phys., B250, 465 (1985); см. также: Gasser, J. and Leutwyler, H., Ann. Phys., 158, 142 (1984).

40.Обзоры см.: Leutwyler, H., in Proc. XXVI Int. Conf. on High Energy Nuclear Physics, Dallas, 1992, ed. J. Sanford (American Inst. of Physics, New York, 1993), p. 185; Meissner, U.G., Rep. Progr. Phys., 56, 903 (1993); Pich, A., Valencia preprint FTUV/ 95-4, February 1995; Bijnens, J., Ecker, G., and Gasser, J., in The Daphne Physics Handbook, Vol. 1, eds. L. maiani, G. Pancheri, and N. Paver (INFN, Frascati, 1995), ch. 3 and 3.1; Ecker, G., preprint hep-ph/9501357, to be published in Progress in Particle and Nuclear Physics, Vol. 35 (Pergamon Press, Oxford).

41.Coleman, S. and Glashow, S., Phys. Rev. Lett., 6, 423 (1961); Okubo, S., Phys. Lett., 4, 14 (1963).

42.Wess, J. and Zumino, B., Phys. Lett, 37B, 95 (1971).

43.Witten, E., Nucl. Phys., B223, 422 (1983).

44.Bott, R. and Seely, R., Comm. Math. Phys., 62, 235 (1978).

45.D'Hoker, E. and Weinberg, S., Phys. Rev., D50, R6050 (1994).

46.Encyclopedic Dictionary of Mathematics, eds. S. Iyanaga and Y. Kawada (MIT Press, Cambridge, 1980); Greub, W., Halperin, S., and Vanstone, R., Connections, Curvature and Cohomology, Vol. III (Academic Press, New York, 1976); Borel, A., Ann. Math.

338Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

(2)57, 115 (1953); Borel, A., Collected Papers, Vol. I (Springer Verlag, Berlin, 1983).

47.Weingarten, D., Phys. Rev. Lett., 51, 1830 (1983).

48.Preskill, J. and Weinberg, S., Phys. Rev., D24, 1059 (1981). В этой работе была предложена модифицированная версия более ранних рассуждений 'т Хофта, который рассматривал предел больших масс кварков; см.: 't Hooft, G., in Recent Developments in Gauge Theories, eds. G. 't Hooft et al. (Plenum, New York, 1980); reprinted in Dynamical Gauge Symmetry Breaking, eds. E. Farhi and R. Jackiw (World Scientific, Singapore, 1982), and in G. 't Hooft, Under the Spell of the Gauge Principle (World Scientific, Singapore, 1994). См. также раздел 22.5.

49.Vafa, C. and Witten, E., Nucl. Phys., B234, 173 (1984); Commun. Math. Phys., 95, 257 (1984).

50.Vafa, C. and Witten, E., Phys. Rev. Lett., 53, 535 (1984).

51.Glashow, S.L., in Hadrons and Their Interactions, ed. A. Zichichi (Academic Press, New York, 1968); Glashow, S.L., Jackiw, R., and Shei, S.-S., Phys. Rev., 187, 1916 (1969); Gell-Mann, M., in

Proc. Third Topical Conf. on Part. Phys., eds. W.A. Simonds and S.F. Tuan (Western periodicals, Los Angeles, 1970); in Elementary Particle Physics (Springer-Verlag, Bonn, 1972); Acta Phys. Austriaca Suppl., IX, 1972 (1972); Fritzsch, H. and Gell-Mann, M., in Proc. XVI Int. Conf. on High Energy Physics, eds. J.D. Jackson and A. Roberts (Fermi Nat. Acc. Laboratory, Batavia, IL, 1972); Phys. Lett., 47B, 365 (1973).

52.Weinberg, S., Phys. Rev., D11, 3583 (1975).

20

Операторные разложения

Часто нам необходимо знать, как ведет себя амплитуда, если 4-импульс, вносимый одним оператором и уносимый другим, стремится к бесконечности, а 4-импульсы всех остальных внешних линий фиксированы. Например, в разделе 20.6 мы увидим, что полное сечение рассеяния электрона на начальном адроне Н с образованием произвольных адронов в конечном состоянии определяется в силу соотношения унитарности линейной комбинацией (с известными коэффициентами) компонент амплитуды

z d4xe-ik×x áH| Jm (x)Jn(0)| Hñ

где k — 4-импульс, передаваемый от электрона к адронам, а Jμ(x) — электромагнитный ток. В случае глубоконеупругого рассе-

яния электронов не запрещено стремление к бесконечности импульса k, вносимого одним оператором тока и уносимого другим. Аналогично, в разделе 20.5 при изучении предела больших импульсов для различных пропагаторов и выводе соответствующих правил сумм для спектральных функций мы столкнемся с вычислением предела при больших импульсах для похожих фурье-об- разов, с той разницей, что одно из адронных состояний |Hñ çàìå-

нится на вакуум.

Если бы произведение операторов типа Jμ(x)Jν(0) было аналитичным по xμ, то его фурье-образ падал бы экспоненциально при

стремлении фурье-переменной k к бесконечности. Ведущие слагаемые в предельном выражении фурье-образа при больших импульсах возникают от сингулярностей произведения операторов при стремлении пространственно-временных аргументов друг к другу.

ãäå FABC(x - y) — сингулярные с-числовые функции. Из размерного анализа следует, что FABC(x - y) ведет себя при x ® y как степень dC - dA - dB разности x - y, ãäå dO — размерность оператора О в

степенях массы или импульса. Поскольку dO растет при добавлении полей или производных к оператору О, степень сингулярности FABC(x - y) для операторов С растущей сложности уменьшается.

Примечательно то, что разложение операторного произведения яв-

ляется операторным соотношением; иначе говоря, применяя его к любому матричному элементу áb|A(x)B(x)|añ, мы получаем те же са-

мые функции FABC(x - y) для всех состояний |añ è |bñ.

Именно ослабление сингулярности в (20.1.1) для операторов C(y) растущей сложности делает разложение полезным для заклю- чений о поведении произведения A(x)B(y) при x ® y. Приведенные

выше простые аргументы, основанные на подсчете степеней, модифицируются эффектами перенормировки: разложение (20.1.1) должно быть сформулировано с помощью операторов, перенормированных на некотором масштабе m, после чего m войдет наряду с x - y в коэффициентную функцию FABC(x - y). В разделе 20.3 мы увидим, что в асимптотически свободных теориях FABC(x - y) на самом деле

ведет себя так, как предсказывает размерный анализ, т. е. как степень dC - dA - dB разности x - y, только с точностью до степени логарифма ln(x - y)2. Похоже, что даже в более общих теориях син-

гулярности, связанные с различными операторами C(y), будут ослабляться с ростом сложности операторов.

В импульсном пространстве соответствующее утверждение означает, что при k ® ¥

ãäå VABC(k) è UABC(k) — функции kμ, все быстрее падающие при

больших k для все более и более сложных членов ряда.

Мы собираемся вывести обобщенную версию вильсоновского разложения, в которой одновременно устремляются к бесконечнос-

ти импульсы, проносимые любым числом операторов. Для этого рассмотрим функции Грина локальных операторов A1(x1), A2(x2), и т. д., аргументы которых стремятся к точке x, а также других локальных операторов B1(y1), B2(y2), и т. д. с фиксированными аргументами:

áT{A1(x1), A2 (x2 ), . . . , B1(y1), B2 (y2 ). . . }ñ0

где строчные буквы a и b указывают на замену полевых операторов в А и В на с-числовые поля ϕ. Окружим теперь точку x шаром B(R)

радиусом R, который много больше, чем расстояния между точками x1, x2 и т. д., но много меньше, чем расстояние между x, y1, y2 и т. д. Поскольку действие локально, его можно записать в виде

После этого выражение (20.1.4) можно привести к виду

где функциональный интеграл по полям внутри шара связан граничным условием, что поля на поверхности шара гладко сшиваются с полями снаружи. Помимо этого граничного условия функциональный интеграл по полям внутри шара совершенно не зависит от поведения поля вне шара, так что интеграл по полям внутри шара можно выразить через значения полей и их производных на его поверхности, что, в свою очередь, можно записать через поля и их производные, экстраполированные снаружи шара во внутреннюю точку x. Если выразить этот интеграл в виде ряда по произведени-