Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

ям * o(x) с-числовых полей и их производных, экстраполированных в точку x, то коэффициенты могут быть только функциями UOA1,A2 ,... (x1 - x, x2 - x, . . . ) разностей координат. так как все точки y1, y2 и т. д. находятся далеко от шара B(R), исключение этого шара из действия для полей вне шара не оказывает никакого влияния в пределе R ® 0, так что в этом пределе выражение(20.1.6) принимает

ïðè x1, x2, и т. д., стремящимся к x, вид:

где O(x) — квантово-механический оператор в гейзенберговоском представлении, соответствующий o(x). В частности, совершая фу- рье-преобразование по переменным y и умножая на соответствующие коэффициентные функции, получаем для произвольных состояний |añ è áb|:

áb| T{A1(x1), A2 (x2 ), . . . }| añ ® å UOA1,A2 ,... (x1 - x, x2 - x, . . . )áb| O(x)| añ

O

(20.1.8)

Поскольку это верно для произвольных состояний, получаем обобщенную версию операторного разложения:

T{A1(x1), A2 (x2 ), . . . } ® å UOA1,A2 ,... (x1 - x, x2 - x, . . . )O(x). (20.1.9)

O

* Для того, чтобы коэффициенты такого ряда были конечны, эти произведения должны быть перенормированы умножением на подходящие бесконечные множители. Это станет яснее при выводе, представленном в следующем разделе.

20.2. Поток импульса *

Рассмотрим теперь простейший пример операторного разложения: асимптотическое поведение (n+2)-точечной фейнмановской амплитуды в теории единственного действительного скалярного поля ϕ(x) массой m и плотностью лагранжиана взаимодействия −gϕ4/24, когда большой 4-импульс k втекает по одной линии и

вытекает по другой, а импульсы всех остальных внешних линий фиксированы. Мы получим в этом случае доказательство по теории возмущений вида главного члена операторного разложения, но истинной целью будет достижение более глубокого понимания того, каким образом потоки больших импульсов сквозь фейнмановские диаграммы приводят к такому разложению. В приложении к главе обсуждается расширение этих результатов на общий случай.

Определим величину Γ(k;p1,...,pn) как сумму всех связных ди-

аграмм n-частичной амплитуды рассеяния, внешние линии которых соответствуют входящим импульсам k, p−k, и исходящим импульсам p1,..., pn. (Удобно считать далее, что Γ(k;p1,...,pn) включает пропагаторы внешних линий с импульсами k и p − k, íî íå ñ èì-

пульсами p1,..., pn.) Мы хотим показать, что в любом конечном порядке теории возмущений при k → ∞

ãäå Uϕ2 (k) есть сумма слагаемых порядка** k−4, не зависящих от p1,..., pn, à Fϕ2 (p1. . . pn ) — амплитуда, отвечающая диаграмме с n ϕ-линиями и включающая единственную ϕ2 вершину, умноженная

на подходящую константу перенормировки, которая делает эту амплитуду конечной. Поскольку Fϕ2 (p1. . . pn ) — матричный элемент перенормированного оператора (ϕ2 )R ≡ Zϕ2 ϕ2 (0) , соотношение (20.2.1)

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.

** Повсюду в этой главе, где утверждается, что амплитуда порядка kÀ, следует понимать, что при kr = knr, ãäå k → ∞ è nr — фиксированный 4-

вектор, амплитуда стремится к пределу kA, умноженному на сумму степеней ln k.

k è p - k связаны с двумя другими внешними линиями мостиком,

состоящим из двух внутренних линий *, что дает асимптотическое поведение порядка k−4. Ïðè n ³ 4 главный вклад возникает только

от поддиаграмм, в которых две внешние линии с импульсами k и p - k связаны с n > 2 другими внешними линиями мостиком, состо-

ящим из двух внутренних линий, и это опять приводит к асимптотическому поведению порядка k−4.

Анализ случаев n = 2 и n ³ 4 осложняется тем, что произволь-

ная диаграмма может содержать несколько двухчастичных мостиков. Рассмотрим сначала случай n = 2. Определим I(k,k¢,p) как сумму вкладов в G(k; p1,p2) всех диаграмм, которые двухчастично

неприводимы в том смысле, что две внешние линии с входящими импульсами k и p - k не могут быть отделены от двух внешних линий с импульсами k¢ è p - k¢ путем разрезания любой пары внутренних линий. Тогда выражение G(k; k¢, p - k¢) - I(k, k¢, p) включает

вклады диаграмм, которые могут быть разрезаны указанным образом, и поэтому может быть записано в виде (см. рис. 20.1)

Γ(k; k¢, p − k¢) − I(k, k¢, p) = z d4k¢¢ I(k, k¢¢, p)Γ(k¢¢; k¢, p − k¢) . (20.2.3)

Рис. 20.1. Диаграммное представление интегрального уравнения (20.2.3). Заштрихованные диски, помеченные буквой G, соответствуют сумме всех связных фейнмановских диаграмм с указанными внешними линиями, а заштрихованные диски с вертикальной чертой, помеченные буквой I, соответствуют сумме всех связных диаграмм, для которых линии слева не могут быть отделены от линий справа разрезанием любой пары внешних линий.

* Случай m = 1 исключается, так как симметрия данной теории относительно преобразования ϕ → –ϕ запрещает диаграммы или поддиаграммы с

нечетным числом внешних концов. Случай m = 0 исключен, поскольку, по определению, G возникает только из связных диаграмм.

дается единственной вершиной с двумя прикрепленными к ней голыми пропагаторами:

В этом случае легко проверить правильность асимптотического поведения вида (20.2.1). Поэтому предположим, что уравнение (20.2.1) при n = 2 выполняется вплоть до некоторого заданного порядка N по g, иными словами, вплоть до этого порядка асмптотическое поведение при k → µ имеет вид

и попробуем проверить, что такое же поведение имеет место в следующем порядке. Чтобы исключить вклад в интеграл в (20.2.3) от значений k′ порядка k, перепишем (20.2.3) в виде

Γ(k; k′, p − k′) = I(k, k′, p)

+z d4k′′ I(k, k′′, p) Γ(k′′; k′, p − k′) − Uϕ2 (k′′)Fϕ2 (k′, p − k′) (20.2.6)

+Fϕ2 (k′, p − k′)z d4k′′ I(k, k′′, p)Uϕ2 (k′′) .

Поскольку I(k,k′,p) по крайней мере первого порядка, можно в пра-

вой части (20.2.6) использовать формулу (20.2.5). Отсюда во втором слагаемом в правой части область интегрирования, в которой k′′ порядка k, дает вклад, обращающийся в нуль как k−4+4−5, и поэтому этой областью можно пренебречь по сравнению с той, где k′′

остается конечным, что приводит к сходящемуся интегралу

I∞ (k) = z d4k′′ Γ(k′′; k′, p − k′) − Uϕ2 (k′′)Fϕ2 (k′, p − k′) .

Далее, поскольку главный вклад в z d4k′′I(k, k′′, p)Uϕ2 (k′′) возникает

от области интегрирования, где каждая внутренняя линия диаграмм для I(k, k′′, p) несет импульс порядка k, то дифференцирова-

ние этого интеграла по р уменьшит вклад в асимптотическое поведение на множитель порядка k−1, так что асимптотически в этом интеграле можно заменить I(k, k′, p) íà I(k,k′) ≡ I(k, k′, 0). Таким образом, при k → ∞ уравнение (20.2.6) принимает вид

Γ(k; k′, p − k′) → Fϕ2 (k′, p − k′)z d4k′′ I(k, k′′)Uϕ2 (k′′)

+ I∞ (k){1 + z d4k′′ Γ(k′′; k′, p − k′) − Uϕ2 (k′′)Fϕ2 (k′, p − k′) }. (20.2.7)

Определим поэтому Uϕ2 (k) è Fϕ2 (k′, p − k′) в порядке N + 1 по g че-

рез эти функции в более низких порядках теории возмущений соотношениями

Fϕ2 (k′, p − k′)

= C−1{1 + z d4k′′ Γ(k′′; k′, p − k′) − Uϕ2 (k′′)Fϕ2 (k′, p − k′) }, (20.2.9)

где С — константа, которую можно выбрать произвольным образом. С учетом этих определений уравнение (20.2.5) следует из уравнения (20.2.7).

Удобно выбрать константу С так, чтобы Fϕ2 (k′, p − k′) прини-

мало бы значение, равное единице, в некоторой точке ренормировки k′ = k(μ) è p = p(μ), ãäå k(μ) è p(μ) — стандартные 4-импульсы порядка μ. Тогда

C = 1 + z d4k′′Γ(k′′; k(μ), p(μ) − k(μ)) − z d4k′′Uϕ2 (k′′) . (20.2.10)

Используя (20.2.5), видим, что расходимости в двух интегралах в (20.2.10) сокращаются.

Теперь можно записать уравнение (20.2.9) в виде

Можно рассматривать Zϕ2 как константу перенормировки составного оператора ϕ2, определенного так, что составной оператор Zϕ2 ϕ2 имеет конечный двухчастичный матричный элемент Fϕ2 (k, p − k) , принимающий значение, равное единице, при k = k(μ) è p = p(μ).

Мы выбрали здесь такую связь точки перенормировки k(μ), p(μ) для оператора ϕ2 с соответствующей точкой перенормировки для константы связи g, что p(μ)2 =4μ2/3, òàê ÷òî Fϕ2 (k, p − k) = 1 ïðè p2 = 4μ2/3.

Рассмотрим теперь случай, когда число n внешних линий с фиксированными импульсами более двух. В согласии с предыдущими рассуждениями, в пределе k → µ ведущими диаграммами в Γ(k;p1,..., pn) будут те, в которых две внешние линии, несущие фиксированные импульсы k и p−k, могут быть отделены от n внеш-

них линий с фиксированными импульсами путем разрезания пары внутренних линий:

Как и ранее, невозможно просто использовать асимптотический предел для ядра I(k,k′,p) в правой части при k → ∞, поскольку существенный вклад в этот интеграл вносят значения k′ порядка k.

Преодолеть это затруднение можно, переписав (20.2.17) в виде

Γ(k; p1 . . . pn ) → w d4k′I(k, k′, p) Γ(k′; p1. . . pn ) − Uϕ2 (k′)Fϕ2 (p1. . . pn )

+ Fϕ2 (p1. . . pn )u d4k′I(k′, k, p)Uϕ2 (k′),

(20.2.18) где, по индукции, предполагаем, что вплоть до некоторого заданного порядка N

с поправочными членами порядка 1/k5. Теперь с помощью предела (20.2.4) и уравнения (20.2.8) можно переписать (20.2.18) в виде

Γ(k; p1 . . . pn ) → I∞ (k)w d4k′ Γ(k′; p1. . . pn ) − Uϕ2 (k′)Fϕ2 (p1. . . pn )

+ Fϕ2 (p1. . . pn ) Uϕ2 (k) − CI∞ (k) .

Это согласуется с (20.2.19) в порядке N + 1, если принять, что

CFϕ2 (p1 . . . pn ) = w d4k′ Γ(k′; p1 . . . pn ) − Uϕ2 (k′)Fϕ2 (p1 . . . pn )

или, используя выражения (20.2.10) и (20.2.12),

Полученное выражение просто утверждает, что Fϕ2 (p1. . . pn ) есть матричный элемент перенормированного оператора Zϕ2 ϕ2 , òàê

что соотношение (20.2.1) соответствует формуле (20.2.2) для операторного произведения. В частности, как было показано, — одна и та же коэффициентная функция независимо от того, какие значения принимают n или импульсы р1,..., ðn.

Строго говоря, оператор (ϕ2)R не является ведущим слагаемым в операторном разложении произведения двух ϕ. Существует

еще операторная единица, имеющая меньшую размерность, чем (ϕ2)R, но она была исключена из уравнения (20.2.2), поскольку (как

и указыает индекс С) мы отбросили несвязные диаграммы. Как отмечено выше, при k → ∞ диаграммы для Γ(k) ïðè n = 0 (è pμ = 0)

доминируют в области интегрирования, где все внутренние линиии несут импульсы порядка k, и U1(k) − вклад от этой области.

Операторы более высокой размерности и более общие теории будут рассмотрены в приложении к этой главе.

20.3. Ренормгрупповые уравнения для коэффициентных функций

Как отмечалось ранее, одно из свойств операторного разложения, делающее его столь полезным, заключается в том, что зависимость коэффициентных функций от импульсов определяется уравнениями ренормгруппы. Это есть следствие того, что коэффициентные функции возникают из предельных значений сумм фейнмановских диаграмм (типа I∞(k) в разделе 20.2), в которых все су-

щественные импульсы одновременно устремляются к бесконечности, так что можно, не сталкиваясь с сингулярностями, положить массы равными нулю. Тем не менее, из-за эффектов перенормировки коэффициентные функции в операторном разложении не подчиняются простым законам масштабных преобразований: эти функции