Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

Вид этого слагаемого можно вывести из основанных на симметрии общих соображений, которые позволяют также найти разрешенные слагаемые более высокого порядка по Mq. Предположим, что мы включаем внешнее 3 × 3 ïîëå χ, и заменяем массовое слагаемое

(19.7.12) в основополагающем лагранжиане квантовой электродинамики на слагаемое с взаимодействием χ с кварками

Это слагаемое становится таким же, как в (19.7.12), после замен χ = χ† = Mq. Смысл этой процедуры в том, что лагранжиан (19.7.24) становится формально инвариантным относительно SU(3) × SU(3),

если потребовать для c выполнения формального закона преобразования

Таким образом, мы можем получить разрешенные бозонные слагаемые, включающие массы кварков, записав самый общий SU(3) ×

SU(3) лагранжиан (до определенного заданного порядка по производным и по Mq), содержащий U и χ, и требуя также инвариантно-

сти по отношению к преобразованию четности

и производя затем замены

Например, взаимодействие Tr(U†χ + Uχ†) инвариантно относительно преобразований SU(3) × SU(3) и четности и принимает тот же

вид, что и (19.7.23), если придать c значения (19.7.27).

Используя эту технику, Гассер и Лейтвилер 39 записали полный эффективный лагранжиан для псевдоскалярного октета

четвертого порядка по импульсам или массам мезонов (считая кварковые массы второго порядка по массам мезонов) в виде:

ãäå L1, ..., L8 являются константами, которые следует определять из эксперимента. Полный эффективный лагранжиан до четвертого порядка по массам мезонов и импульсам равен

ãäå L2 — сумма слагаемых (19.7.10) и (19.7.23):

Сюда можно включить электрослабые взаимодействия, заменив производные ∂μ на соответствующие калибровочно-ковариантные производные Dμ и добавив несколько дополнительных слагаемых в Lýôô.

Следуя тем же, основанным на подсчете степеней аргументам, что и в разделах 19.5 и 19.6, мы должны для вычисления матричных элементов S-матрицы до четвертого порядка по массам мезонов и импульсам включить как древесные диаграммы во всех порядках в L2 и в первом порядке в L4, так и однопетлевые диаграммы, построенные только из L2. Используя этот лагранжиан, Гассер и Лейтвилер и др. 40 провели тщательное изучение мезонной динамики (и связанных с ней электрослабых взаимодействий).

* * *

Слагаемое с кварковыми массами (19.7.12) естественно оказывает влияние на другие SU(3) мультиплеты. Для любого мультиплета, кроме псевдоскалярного октета, это влияние можно рассматри-

вать как возмущение первого порядка, так что сдвиг массовой матрицы произвольного мультиплета |iñ равен

Используя это соотношение вместе с (19.7.22), можно полу- чить вклад кварковых масс в разность масс нуклонов dmp – dmn »

–2,5 МэВ. Этот результат можно подставить в соотношения (19.5.65) и (19.5.66), чтобы вычислить ведущие нарушения изоспиновой симметрии в низкоэнергетических пион-нуклонных взаимодействиях. Конечно, определенная здесь разность dmp – dmn не является пол-

ной разностью масс протона и нейтрона, так как в нее вносит кроме того важный вклад испускание и поглощение фотона. Так как нейтрон электрически нейтрален, это электромагнитное слагаемое по- чти наверняка положительно, в согласии с тем фактом, что наблюдаемая разность масс протона и нейтрона равна –1,3 МэВ, так что электромагнетизму следует приписать +1,2 МэВ. К сожалению, аккуратное вычисление этой электромагнитной разности масс столкнулось с трудностями.

19.8. Аномальные члены в эффективных теориях поля*

Для того, чтобы применить описанную в трех предыдущих разделах программу эффективной теории поля, необходимо, чтобы действие содержало все возможные слагаемые, разрешенные предполагаемыми симметриями теории. Описанные в этих разделах методы позволяют идентифицировать все явно инвариантные слагаемые, либо используя изложенный в разделе 19.6 общий формализм ковариантных производных, либо, в случае киральных симметрий,

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.

используя линейно преобразующееся поле, подчиненное нелинейным связям типа U(x) из раздела 19.7. Однако, возможно, что могут быть и другие слагаемые в действии для эффективной теории поля, аномальные в том смысле, что они задаются интегралами от четырехмерных плотностей лагранжианов, не являющихся инвариантными, но чья вариация под действием нарушенной симметрии представляет полную пространственно-временную производную, что сохраняет инвариантность соответствующего слагаемого в действии. Как мы увидим в разделе 22.7, такое слагаемое для SU(3) × SU(3)

было открыто Вессом и Зумино42 при изучении «аномалий», обязанных диаграммам с кварковыми петлями. Однако структуру этого слагаемого можно понять, ничего не зная об определяющей ее теории кварков и глюонов.

Простейший способ описать слагаемое Весса–Зумино — расширить размерность пространства-времени до пяти измерений, как это специально было предложено для данного случая Виттеном 43. До тех пор, пока мы требуем, чтобы поля в эффективной теории поля стремились к общему пределу при xμ → ∞ по любому направ-

лению, можно считать, что пространство-время имеет топологию сферы S4 с точкой на бесконечности, включенной как обычная точ- ка. Как отмечалось в разделе 19.6, когда группа G нарушена до подгруппы Н, можно считать, что допустимые значения голдстоуновских полей ξa в любой пространственно-временной точке опре-

деляют точку в пространстве смежных классов G/H (пространство элементов G, в котором отождествлены любые два элемента, отли- чающиеся умножением справа на элементы Н). Поэтому множество функций ξa(x) представляет отображение пространственно-времен-

ной сферы S4 на G/H. В зависимости от топологии G/H иногда оказывается возможным гладко продеформировать любую 4-сферу в G/H в точку; иными словами, оказывается возможным расширить любую функцию ξa(x) до непрерывной функции ξa(x; s), определен-

íîé äëÿ 0 ≤ s ≤ 1, причем ξa(x; 0) = ξa(x), à ξa(x; 1) — любая фиксированная точка исходной сферы (например, ξa = 0). Если это верно,

то математически такое утверждение выражают словами, что гомотопическая группа π4(G/H) тривиальна. (Подробнее о гомотопи-

ческих группах см. в разделе 23.2.)

Известно, что это имеет место в случае группы SU(N) × SU(N),

спонтанно нарушенной до SU(N), где пространство смежных классов SU(N) × SU(N)/SU(N) имеет такую же топологию, что и сама

Примечательно, что коэффициент при слагаемом Весса–Зу- мино–Виттена не является свободно настраиваемым параметром. Как показал Виттен 43, это происходит потому, что хотя такое слагаемое не изменяется при гладких деформациях функции U(y) в В5, не изменяющих значений U(x) на пространственно-временной границе S4, его все же можно изменить путем скачкообразного изменения U(y), оставляющего U(x) неизменным на границе. Можно представлять пятимерный шар В5 как половину пятимерной сферы S5, а пространство-время S4 как границу между В5 и другой половиной В5′. (Представьте, что S5 аналогична поверхности Земли, тогда пространство-время S4 аналогично экватору, а В5 è Â5′ – север-

ному и южному полушариям.) Так как S4 является одновременно границей и другой половины S5, можно записать слагаемое Весса– Зумино–Виттена в виде

включив дополнительный знак «минус», поскольку граница В5′ ÿâ-

ляется 4-сферой с противоположной ориентацией. Требование, чтобы слагаемые (19.8.3) и (19.8.6) были равны для произвольных полей голдстоуновских бозонов, можно удовлетворить, только положив n = 0. Однако для того, чтобы на весовой множитель exp(iI) в функциональных интегралах не влияла разность между слагаемым (19.8.3) и (19.8.6), достаточно лишь потребовать, чтобы эта разность равнялась бы 2π, умноженному на целое число:

С учетом нормировочных множителей, включенных нами в определение (19.8.1) величины ω(y), интеграл от нее по любой пятимерной сфере оказывается равным 2π 44. Отсюда следует, что коэффици-

ент n должен быть целым числом.

В связи с приведенным примером слагаемого Весса–Зумино– Виттена возникает вопрос о том, не могут ли существовать другие аномальные слагаемые в действии, не обязательно связанные с кварковыми петлями, которые также SU(3) × SU(3) инвариантны, хотя и не являются четырехмерными интегралами от SU(3) × SU(3) èíâà-

риантных лагранжевых плотностей. К счастью, ответ отрицателен. Было показано 45, что для произвольной группы G, нарушенной до

произвольной подгруппы H (причем π4(G/H) = 0), любое слагаемое F[ξ] в действии для полей голдстоуновских бозонов ξa(x) всегда можно записать как интеграл от G-инвариантной 5-формы Ω по пятимер-

íîìó øàðó Â5, границей которого является пространственно-вре- менная 4-сфера S4:

Для того, чтобы это выражение не зависело от конкретного способа, которым ξa(x) распространяется внутрь пятимерного шара, необходимо, чтобы форма Ω была точной, в том смысле, что суще-

ствует внешняя производная от 4-формы

(квадратные скобки, как обычно, указывают на антисимметризацию по отношению к индексам внутри скобок), так что

Отсюда следует, что Ω также и точна, т. е. имеет обращающуюся в

нуль внешнюю производную:

При условии, что 4-форма Labcd(ξ) также G-инвариантна, функцио-

нал (19.8.10) является одним из обычных явно G-инвариантных слагаемых в действии, обсуждавшихся в трех предыдущих разделах. Аномальные слагаемые в действии возникают из-за возможности того, что хотя каждое слагаемое в Ω(y) G-инвариантно и является

внешней производной 4-формы, некоторые слагаемые могут не быть внешними производными от G-инвариантных 4-форм. Следовательно новые слагаемые в действии можно отождествить с замкнутыми G-инвариантными 5-формами, которые независимы в том смысле, что ни одна их действительная линейная комбинация не является внешней производной от G-инвариантной 4-формы. Эти слагаемые

известны в математике как генераторы группы когомологий де Рама H5(G/H; R). (Групповым умножением здесь является простое сложение.) Группы когомологий де Рама вычислены для многообразий с разной топологией 46. В частности, группа когомологий H5(SU(N) × SU(N)/SU(N); R) имеет единственный генератор, давае-

мый выражением (19.8.1). Таким образом, не зная ничего о лежащей в основе теории кварков и глюонов, можно кое-что узнать об аномальных слагаемых в действии для голдстоуновских бозонов, с точ- ностью до значения целого числа n. В разделе 22.7 мы увидим, что в SU(Nc) калибровочных теориях это число равно числу цветов Nc, так что в квантовой хромодинамике n = 3.

19.9. Ненарушенные симметрии

Выше мы видели, каким образом можно вывести свойства голдстоуновских бозонов и их низкоэнергетических взаимодействий из предположения, что теория инвариантна (или приближенно инвариантна) относительно группы G, спонтанно нарушенной до подгруппы Н. Однако применяя эти методы к случаям, когда G есть SU(2) × SU(2) èëè SU(3) × SU(3), мы должны были обратиться к эксперименту, чтобы установить путь нарушения симметрии от SU(2) × SU(2) èëè SU(3) × SU(3) к их некиральным SU(2) или SU(3) под-

группам. В разделе 22.5 мы покажем, что в квантовой хромодинамике SU(3) × SU(3) симметрия для безмассовых u-, d- и s-кварков

должна быть, на самом деле, спонтанно нарушена, но значительно труднее показать на основе квантовой хромодинамики, что SU(2) ×

SU(2) симметрия, при условии, что только u и d не имеют массы, также спонтанно нарушена *. С другой стороны, существуют инту-

* Вайнгартен 48 использовал решеточные методы, чтобы показать, что независимо от того, нарушена или нет киральная симметрия, легчайшая частица в квантовой хромодинамике с безмассовыми u- и d-кварками должна иметь квантовые числа пиона. Как мы увидим в разделе 22.5, из существования в квантовой хромодинамике аномалий, обязанных фермионным петлям, вместе с предположением о захвате кварков вытекает, что некоторые адроны не имеют массы, откуда следует, что пион безмассовый. Это является сильным доводом в пользу спонтанного нарушения киральной симметрии.

итивные аргументы в пользу того, что их некиральные подгруппы SU(2) или SU(3) ненарушены. Эти аргументы основаны на предположении, известном как жесткое массовое условие 48, утверждающем, что составные частицы не могут быть безмассовыми, если те частицы, из которых они состоят, массивны. Некиральные симметрии, вроде сохранения изоспина, не нарушаются, если придать кваркам равные массы. Поэтому, если они нарушались бы спонтанно, у нас получились бы безмассовые голдстоуновские бозоны, составленные из массивных кварков, что противоречит условию устойчивости масс. Ниже мы изложим доказательство Вафы и Виттена 49, что в калибровочных теориях типа квантовой хромодинамики не могут быть спонтанно нарушены те симметрии, которые не нарушаются введением масс кварков. Этот результат представляет больше чем академический интерес — как мы увидим в разделе 21.4, не исключено, что спонтанное нарушение электрослабых калибровоч- ных симметрий описывается теорией «техницвета», аналогичной квантовой хромодинамике, и при проверке этой идеи важно знать, какие симметрии в этой теории остаются ненарушенными.

Рассмотрим калибровочную теорию типа квантовой хромодинамики с некоторым числом фермионных «ароматов» в одинаковых представлениях калибровочной группы. Если у всех фермионов есть массы, теория будет инвариантной относительно унитарных глобальных некиральных преобразований фермионных ароматов, коммутирующих с массовой матрицей фермионов. Например, если n1 фермионов вырождены с общей массой m1, n2 фермионов вырождены с некоторой другой массой m2 и т. д., то такой глобальной группой симметрии будет U(n1) × U(n2) × ... (В частном случае, когда нет

вырождений, получается глобальная симметрия относительно U(1) × U(1) × ... Примером может служить сохранение барионного

числа, странности и т. п. в квантовой хромодинамике.) Эти симметрии не могут быть спонтанно нарушены.

Для доказательства рассмотрим общую функцию Грина для r фермионных и антифермионных полей. * В формализме функцио-

* В оригинальной работе Вафа и Виттен 49 сначала доказали отсутствие нарушения симметрии в случае r = 1 и x = y, затем заметили, что отсутствие нарушения симметрии в этом вакуумном среднем не исключает возможности спонтанного нарущения симметрии в других функциях Грина, после чего перешли к другим методам доказательства.