Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

ãäå Nαβ — несингулярная матрица, зависящая от групповых параметров qa. (Напомним, что в действительном представлении действительными являются itα, à íå tα.) Рассмотрим теперь функцию V1(L(q)j*). Для компактной группы, когда q принимает значения внутри группового объема, L(q)j* покрывает компактное многообразие, и до тех пор, пока V1(j) непрерывен, он должен иметь минимум на любой такой компактной поверхности, скажем, в точке L(q*)j*. Производная от V1(L(q)j*) ïî qα равна

Она должна обращаться в нуль в минимуме q*, è òàê êàê Nαβ несин-

гулярна, отсюда вытекает, что

Но это означает, что если выбрать j0 = L(q*)j*, то (19.3.6) выполня-

åòñÿ.

Соотношение (19.3.6) называется условием подстройки вакуума 8, поскольку в общем случае оно обладает свойством принудительно превращать направление нарушения симметрии вакуумом в некое подстраивание под нарушающие симметрию слагаемые в гамильтониане. Например, рассмотрим обсуждавшийся в предыдущем разделе случай SO(N), спонтанно нарушенной до SO(N – 1). При отсутствии любого нарушающего симметрию возмущения нет способов указать, какая из подгрупп SO(N – 1) осталась ненарушенной. Если динамика теории приводит к основному состоянию, инвариантному относительно подгруппы SO(N – 1) группы SO(N), оставляющей инвариантным какой-то N-век- тор j0n, то, совершив SO(N) вращение, можно найти основное

состояние, инвариантное относительно преобразований подгруппы SO(N – 1), оставляющих инвариантным любой другой N-вектор. Если добавить возмущение, преобразующееся относительно SO(N) как, скажем, компонента ånunjn N-вектора jn (не обязательно

состоящего из элементарных скаляров), то гамильтониан будет

Второе слагаемое в правой части обращается в нуль в силу (19.2.6), а третье слагаемое можно переписать с помощью (19.3.4), так что в результате

Подставляя это в (19.3.11), получаем формулу для массовой матрицы псевдоголдстоуновского бозона, выраженную через V1:

Чтобы такая массовая матрица имела смысл, ей бы лучше быть положительной. Чтобы увидеть, что так оно и есть, удобно переписать этот результат через производные по групповому параметру θa. Дифференцируя (19.3.8) по θβ, полагая θα = θ*, пользуясь (19.3.9) и равенством ϕ0 = L(θ*)ϕ*, находим

Матрица справа положительна, так как θ* — минимум функции

V1(L(θ)ϕ*).

Существует несколько более знакомый вариант этой формулы, записанный через средние по вакууму от двойного коммутатора генераторов симметрии с нарушающим симметрию возмущением. Пусть нарушающее симметрию возмущение H1 в гамильтониане является линейной комбинацией

операторов Φn (необязательно элементарных скалярных полей), образующих представление группы симметрии с генераторами tα â

том смысле, что

ãäå Tα — квантово-механические генераторы группы симметрии.

Согласно результатам раздела 16.3, нарушающая симметрию часть потенциала равна

где нижний индекс в среднем выражении указывает, что среднее значение берется в состоянии минимальной энергии, в котором Fn имеет среднее значение jn. Условие подстройки вакуума (19.3.6) имеет

тогда вид:

0 = å un (tαϕ0 )n ,

n

где теперь нижний индекс 0 указывает, что среднее значение берется в вакуумном состоянии, где Fn имеет среднее значение j0n.

Кроме того, из (19.3.14) массовая матрица в этом случае равна

Mcd2 = −å Fca−1Fdb−1 å un (tatbϕ0 )n ,

ab n

так что, используя (19.3.17), получаем:

Это выражение симметрично по c и d. Чтобы убедиться в этом, заметим, что тождество Якоби и групповые коммутационные соотношения можно использовать для того, чтобы записать разность (19.3.20) и такого же выражения с переставленными c и d как линейную комбинацию слагаемых á[Tα,H1]ñ0, которая обращается в нуль в

силу условия подстройки вакуума (19.3.19). Массовая матрица (19.3.20) также положительна, поскольку точка q = 0 находится в минимуме энергии вакуума áexp(–iqaTa)H1exp(iqaTa)ñ0 для повернутых вакуумных состояний exp(iqaTa)|0ñ.

19.4. Пионы как голдстоуновские бозоны

Классическим примером нарушенной симметрии в физике элементарных частиц является приближенная симметрия сильных взаимодействий, известная под названием киральной SU(2) ´

SU(2) симметрии. Как принято сейчас считать, эта симметрия возникает из-за того, что имеются два кварковых поля u и d, облададающие сравнительно малыми массами. (Оценка дана в разделе 19.7.) В приближении, когда массы u и d равны нулю, лагранжиан (18.7.5) квантовой хромодинамики имеет вид:

ãäå Dμ — цветовая калибровочно-ковариантная производная (см.

выражение (15.1.10)), а многоточие относится к слагаемым, содержащим только глюонные поля и/или другие сорта кварков кроме u и d. Лагранжиан инвариантен относительно преобразований

алгебра Ли может быть представлена как произведение двух ком-

* Мы используем знаки стрелок над 3-векторами в изотопическом пространстве, чтобы отличать эти векторы от обычных 3-векторов, которые будут, как и ранее, обозначаться полужирными буквами.

ренними симметриями. Одна из них — сохранение барионного числа, т.е.

инвариантность относительно общего фазового преобразования кварковых полей u и d. Эта симметрия не нарушена и коммутирует с другими симметриями, поэтому она не влияет на обсуждающиеся в данном разделе вопросы. Еще одна симметрия — инвариантность относительно умножения кваркового дублета на exp(iαγ5). Как обсуждается в разделе 23.5, эта U(1)

симметрия изначально сильно нарушена непертурбативными эффектами, связанными с инстантонами.

мутирующих SU(2) подалгебр, действующих соответственно только на левые и правые компоненты кварковых полей, с генераторами

удовлетворяющими коммутационным соотношениям

Таким образом, лежащая в основе группа симметрии является прямым произведением SU(2) × SU(2). Есть и другая очевидная SU(2)

подгруппа, состоящая из обычных изоспиновых преобразований с θr A = 0 и генераторами

Алгебра SU(2) × SU(2) может быть записана через tr и другой трип-

Мы увидим далее, что SU(2) × SU(2) симметрия спонтанно нару-

шается, в то время как ее подгруппа изотопического спина с генерато-

r

ðàìè t остается ненарушенной (хотя и приближенной) симметрией.

Следуя методу Нетер (см., например, раздел 7.3), можно вывести из лагранжиана (19.4.1) выражения для сохраняющихся векторного и аксиального токов:

250 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

вынуждены заключить, что если киральная симметрия SU(2) ´

SU(2) является хоть сколько-нибудь хорошим приближением, то она должна быть спонтанно нарушена до своей SU(2) подгруппы

r

изотопического спина. В этом случае оператор X переводит одноадронное состояние |hñ в адрон h и безмассовый псевдоскаляр-

ный голдстоуновский бозон, так что необходимость удвоения по четности в адронном спектре отпадает.

Вопрос о том, действительно ли в квантовой хромодинамике реализуется подобный путь нарушения симметрии, связан со всеми сложностями динамики сильных взаимодействий. Как мы увидим в разделе 19.9, существуют общие основания полагать, что в квантовой хромодинамике изоспиновая SU(2) симметрия спонтанно не нарушается, но значительно труднее показать, что киральная часть симметрии SU(2) ´ SU(2) действительно

спонтанно нарушена. (Однако, в соответствии с рассуждениями раздела 22.5, SU(3) ´ SU(3) симметрия квантовой хромодинамики

с тремя безмассовыми кварковыми ароматами должна быть спонатнно нарушена.) Одним из прорывных достижений 1960-х годов было осознание того факта, что и не требуется детально понимать механизм нарушения киральной симметрии. Наиболее интересные следствия этого нарушения можно получить, просто предположив, что SU(2) ´ SU(2) спонтанно нарушается до SU(2).

Кварки u и d имеют хоть и малые, но ненулевые массы, так что SU(2) ´ SU(2) симметрия не точна. Нарушенная приближенная

киральная симметрия влечет существование приближенно безмассового голдстоуновского бозона с теми же квантовыми числами, что

r

и генератор нарушенной симметрии X: этот бозон должен быть со-

стоянием с отрицательной четностью, нулевым спином, единичным изоспином и нулевыми барионным числом и странностью. На самом деле, легчайшим из всех адронов является пион, имеющий в точ- ности те же квантовые числа, так что мы приходим к отождествлению пиона с голдстоуновским бозоном, связанным со спонтанным

иметь противоположную четность. Неверно полагать, что ненарушенная киральная симметрия обязательно требует, чтобы масса нуклона была нулевой. Для этого нужны дополнительное предположения о матричных элементах аксиально-векторного тока. Однако, как мы увидим в разделе 22.5, точная ненарушенная киральная симметрия на самом деле требует, чтобы некоторые барионы были безмассовыми.

процессов, можно рассчитать значение 9 константы в (19.4.22): Gñë g 1,14959(38) ´ 10–5 Ãý–2. С другой стороны, в процессе распада пиона p+ ® m+ + nμ единственный матричный элемент тока, который нам нужен, это матричный элемент A−λ между однопионным

состоянием и вакуумом:

который полностью известен, если не считать множителя Fπ. Âåðî-

ятность распада пиона оказывается равной

G2 F2m2 (m2 - m2 )2

G(p ® m + n) = ñë π μ p π μ . (19.4.25)

16 m3π

Из приведенного выше значения Gñë и известной вероятности распада p+ ® m+ + nμ, равной G = (2,6033(24) ´ 10–8 ñ)–1 получаем, что *

лонными состояниями. Он интересен и сам по себе, кроме того, как обсуждалось в разделе 19.2, он содержит информацию, необходимую для вычисления процессов испускания пионов низких энергий при столкновении с нуклонами. Следуя тем же рассуждениям, которые использовались в разделе 10.6 для электромагнитного тока, находим, что лоренцовская инвариантность и сохранение четности требуют, чтобы матричный элемент имел вид **

* Обычно вводят константу распада пиона fπ, которая выражается че- рез используемую здесь константу Fπ по-разному как Fπ, Fπ/Ö2 èëè Fπ/2.

** Свойства зарядового сопряжения токов A±μ в стандартной модели та-

ковы, что коэффициент h(q2) обращается в нуль. Возможно, что в слабых токах существуют слагаемые «второго рода»10 с противоположными свойствами зарядового сопряжения, приводящие к ненулевому значению h(q2), однако никаких свидетельств наличия таких слагаемых нет. Как мы увидим, удержание слагаемого c h(q2) не влияет на следствия, получаемые из киральной симметрии.