Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Квантовая теория поля

Файл:

Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

.pdf

Скачиваний:

275

Добавлен:

15.08.2013

Размер:

35.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 6835 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

19.9. Ненарушенные симметрии

323

нальных интегралов она имеет вид *

†

(yr )}

T{Ψu1k1 (x1). . . Ψurkr (xr )Ψv1l1

(y1). . . Ψvrkr

VAC

ψ†

(x1). . .

(xr )

ψ†

(yr )

u k

Y [dA][d

][d

]

u k

v l . . .

v l

(19.9.1)

Z Z

1 1

r r

× expdiIкалибр [A] + iIДирак [ψ, ψ†; A]i ,

ãäå k1, ..., kr è l1, ..., lr – дираковские спиновые индексы, u1, ..., ur

è v1, ..., vr – индексы ароматов, Iкалибр[A] – действие для чисто
калибровочной теории, I				[ψ, ψ†, A] – действие для дираковского
	Дирак
поля в присутствии калибровочного поля Aμ (x), а Z – амплитуда
перехода вакуум–вакуум:				a
перехода вакуум–вакуум:
X	[dA][dψ][dψ	†	] expdiIкалибр [A] + iIДирак [ψ, ψ		†	; A]i .(19.9.2)
Z ≡ Y	[dA][dψ][dψ		] expdiIкалибр [A] + iIДирак [ψ, ψ			; A]i .(19.9.2)
Z

Ниже необходимо работать в евклидовом пространстве-времени, где

все величины x4 = x4 = ix0, y4 = y4 = iy0 è A4a = A4a =iA0a действительны. (См. приложение А к гл. 23.) В этом случае дираковское

действие равно

IДирак [ψ, ψ†; A] = iz d3xz d4x ψ†[D/ + M] ψ ,

(19.9.3)

где М — фермионная массовая матрица, а евклидова калибровочно ковариантная производная, свернутая с евклидовыми дираковскими матрицами, равна

	4
D/	= å (∂i	− itα Aiα ) γ i ,	(19.9.4)

i=1

* Как мы видели в разделе 15.5, и числитель, и знаменатель пропорциональны бесконечному объему калибровочной группы, который сокращается в отношении (19.9.1). Наличие такого бесконечного множителя несколько снижает строгость последующих рассуждений, но если бы мы устранили этот множитель, введя духи, то некоторые шаги ниже, зависящие от положительности действия, породили бы ряд трудностей. Один из способов рассмотрения этой проблемы состоит в замене пространственновременного континуума конечной решеткой точек. В этом случае калибровочная группа имеет конечный объем, и не требуется ни фиксации калибровки, ни введения духовых полей.

324	Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

где, как обычно, γ4 = iγ0. Поскольку действие квадратично по фер-

мионным полям, можно явно взять интеграл по этим полям:

T{Ψu1k1						†	†		(yr )}
T{Ψu1k1				(x1). . . Ψurkr (xr )Ψv1l1 (y1). . . Ψvrkr					(yr )}
		X								VAC
=	1			/	+	M) expdiIкалибр [A]i
=				/	+
		Y [dA] Det(D								(19.9.5)
	Z Z									(19.9.5)
	×		(D/	+ M)x−1u k	,y v l . . . (D/		+ M)x−1u k	,y v l		± перестановки	,
				1 1 1 1 1 1			r r r		r r	r

ãäå «± перестановки» означает, что нужно просуммировать по всем r! перестановкам полей ψ, беря знак «минус» для нечетных переста-

новок, а

X	+ M) expdiIкалибр [A]i .	(19.9.6)
Z = Y [dA] Det(D/	+ M) expdiIкалибр [A]i .	(19.9.6)
Z

Выражение (19.9.5) явно инвариантно относительно любого унитарного преобразования по индексам ароматов, коммутирующего с массовой матрицей М. Не имеет значения, какие непертурбативные эффекты порождаются функциональным интегралом по калибровочным полям и полям духов; эти поля инертны по отношению к обсуждаемым здесь симметриям, так что оставшийся функциональный интеграл в (19.9.5) не может разрушить эти симметрии *. Однако, чтобы это рассуждение было убедительным, следует показать, что выражение (19.9.5) хорошо определено.

Это не просто академический вопрос математической строгости. Как мы видели в разделе 19.1, признаком того, что симметрия спонтанно не нарушена, является не только то, что основное состояние инвариантно относительно преобразований симметрии, но и то, что симметрия основного состояния устойчива относительно малых возмущений. Если нарушить симметрии М, добавив малое возмущение δM, и если при этом выражение (19.9.5) становится сингулярным при δM → 0, тогда множители в δM в нарушающих

* Труднее показать, что в квантовой хромодинамикеP C Ò с массивными кварками спонтанно не нарушаются симметрии , и , поскольку эти симметрии нетривиально действуют на калибровочные поля. Вафа и Виттен 50 использовалиÐметодику из работы 49, чтобы показать, что в квантовой хромодинамике спонтанно не нарушается.

19.9. Ненарушенные симметрии

325

симметрию матричных элементах могут сократиться сингулярностями в матричных элементах при δM = 0. Именно это и происходит

в случае киральных симметрий, возникающих в пределе, когда некоторые собственные значения М обращаются в нуль. В этом случае, когда достигается симметричный предел нулевой массы, массовые множители в числителях нарушающих симметрию вакуумных средних сокращаютс яс массовыми множителями в знаменателях пропагаторов во всех точках, где имеет нулевые собственные значения. По этой причине приводимые рассуждения применимы только к некиральным симметриям в теориях со всеми ненулевыми собственными значениями массовых матриц М.

Чтобы в этом случае установить ограничения на матричный элемент (19.9.5), заметим сначала, что дифференциальный оператор (19.9.4) антиэрмитов, так что до тех пор, пока эрмитова матрица М не имеет нулевых собственных значений, имеет хорошо определенный обратный оператор. Необходимо еще показать, что остающееся интегрирование по калибровочным полям в (19.9.5), вклю- чая то, которое содержится в Z, не сделает это выражение сингулярным, когда М удовлетворяет условиям симметрии, например, условию, что в случае U(n) симметрии n собственных значений этой матрицы равны. Как будет видно, это обеспечивает то, что при добавлении к инвариантной по отношению к некоторому глобальному преобразованию симметрии фермионной массовой матрице М нарушающего эту симметрию малого слагаемого δM, изменение вакуум-

ного среднего (19.9.4) относительно этого преобразования симметрии обращается в нуль в пределе δM → 0.

Доказательство того, что функции Грина в координатном пространстве (19.9.5) несингулярны, затруднительно, поэтому рассмотрим матричные элементы сглаженных полей

Ψu [f] ≡ z d4x fk† (x)Ψuk (x) ,

(19.9.7)

ãäå fk(x) — произвольные гладкие квадратично интегрируемые функции. Тогда выражение (19.9.5) принимает вид

†	†	[gr ]}
T{Ψu1 [f1]. . . Ψur [fr ]Ψv1	[g1]. . . Ψvr	[gr ]}
		VAC

(19.9.8)

326 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

	1	X
=		Y [dA] Det(D/		+ M) expdiIкалибр [A]i
=		Y [dA] Det(D/		+ M) expdiIкалибр [A]i
	Z Z
		×	(D/ + M)−f1u	,g v	. . . (D/ + M)−f1u	,g v	± перестановки	,
			1 1	1 1	r r	r	r

ãäå

(D/ + M)−fu1,gv ≡ z d4xz d4 y fk† (x)(D/ + M)xuk−1 ,yvl gl (y) . (19.9.9)

В этом базисе фермионные пропагаторы для данного калибровочно-

го поля не только хорошо определены, но и равномерно ограничены в Aμa(x) *:

(D/ + M)−fu1	,gv	≤ å	1			,	(19.9.10)
			1
			\| m		\|
		a	\| m	a	\|
		a		a

ãäå ma — собственные значения М, и для удобства мы теперь нормируем функции fi(x) è gj(y) òàê, ÷òî

v fi† (x) fi (x) d4x = w g†j (x) gj (x) d4x = 1.

(19.9.11)

* Чтобы увидеть это, можно разложить собственные векторы М:

Muvcva = macau , cau*cbu = δab

и, применяя прием Вафы и Виттена 49, записать (19.9.9) как

(D/ + M)−1

= å ca*cb z d3xz

d4y fk†(x)(D/ + m

)−1

gl (y)

fu,gv

xk,yl

= å ±ca*cb

expa-| m

| tfz d3xz d4y fk†(x)aexp(mtD/ f

gl (y) ,

xk,yl

где ± — знак m . Матрица

ca*ca и оператор aexp(mτD/ f

xk,yl

унитарны, так

÷òî

d4x

y f

k†

(x)aexp(

(y)

cu cu z

t / fxk,yl g

£ z d4x| f(x)|2 z d4y| g(y)|2 = 1 .

Используя это внутри интеграла, приходим к (19.9.10).

19.9. Ненарушенные симметрии

327

(Условие суммирования здесь не соблюдается.) Кроме того, весовая функция для среднего по калибровочным полям положительна *

Det(D/ + M) expdiIкалибр [A]i					I
F	X	X	4	4	I
			4	4				. (19.9.12)
= expG	− 1 Y d3xY d4x å å Fij2 J × Det					(iD)2	+ M2	. (19.9.12)
H	4 Z	Z	i=1j=1		K

При положительной весовой функции среднее от любой функции ограничено границей этой функции. Подставляя ограничение (19.9.10) в (19.9.8), находим, что матричный элемент ограничен неравенством

†	†		L	1	Or
T{Ψu1 [f1]. . . Ψur [fr ]Ψv1	[g1]. . . Ψvr	[gr ]}	≤ r !Må		P . (19.9.13)

		VAC	N		Q
			M a	\| ma \| P

Следовательно, когда нарушающие симметрию члены δM â Ì ñòðå-

мятся к нулю, не возникает сингулярностей, которые могли бы сократить множители δM. Чтобы увидеть это более явно, можно ис-

пользовать те же приемы, чтобы показать, что если мы возмущаем М за счет малого нарушающего симметрию слагаемого δM, то слагаемое в (19.9.8) первого порядка по δM ограничено неравенством

				†		†	[gr	]}
δ T{Ψu1 [f1]. . . Ψur [fr ]Ψv1 [g1 ]. . . Ψvr							[gr	]}
								VAC
	\| (δM)	\| L		1		Or −1		(19.9.14)
≤ rr ! å		ab	Må			P .
≤ rr ! å			Må			P .
			N			Q
ab \| mamb \| M a				\| ma	\| P

èэто обращается в нуль при δM → 0.

Âреальном мире ни одна из масс кварков не равна нулю и эти массы не вырождены, поэтому из предыдущих рассуждений сразу же следует, что U(1) симметрии типа сохранения барионного числа, странности и т. д. не нарушаются ни спонтанно, ни внутренне. Что касается других симметрий сильных взаимодей-

** В фермионном детерминанте мы используем то, что

Det(D/ + M) = Det γ 5 (D/ + M) γ 5 = Det(−D/ + M) .

328	Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

ствий, здесь проблем больше. Эти симметрии были бы полностью ненарушенными, если бы кварки u, d или u, d, s имели бы равные ненулевые массы, однако, как мы видели в разделе 19.7, эти массы совершенно не вырождены. Изоспиновая и SU(3) симметрии возникают от того, что массы кварков малы, а не равны. Это симметрии остаются ненарушенными, если придать двум или трем кваркам равные массы и сделать эти массы произвольно малыми, так что изоспин и SU(3) будут хорошими симметриями в любом процессе, нечувствительном к малым массам кварков. Однако не все процессы нечувствительны к этим массам, поскольку для двух или трех безмассовых кварков пион или псевдоскалярный мезонный октет, к которому он принадлежит, становятся безмассовыми. В случае изоспина это не составляет проблемы, т. к. мы видели в 19.5, что пионный триплет остается вырожденным в первом порядке по массам кварков, даже если mu ¹ md. Äëÿ

SU(3) разности масс кварков порождают в первом порядке разности масс между пионом, каоном и эта-мезоном, так что в процессах, определяющихся одномезонными полюсами, могут проявляться большие отклонения от SU(3).

19.10. Проблема U(1)

Успех квантовой хромодинамики в объяснении структуры симметрий сильных взаимодействий кажется, на первый взгляд, омраченным одним провалом. Как мы видели в разделе 19.5, нарушенная SU(2) ´ SU(2) симметрия сильных взаимодействий является

естественным следствием малости масс u- и d-кварков. Однако лагранжиан квантовой хромодинамики с малыми массами u- и d-квар- ков обладает еще одной киральной симметрией 51, а именно симметрией U(1)A относительно преобразований

u → exp(iγ 5θ)u , d → exp(iγ 5θ)d .

(19.10.1)

Такая симметрия, если она не нарушена, приводила бы, как SU(2) ´ SU(2), к дублированию адронного спектра по четности. Од-

нако такого дублирования не наблюдается. С другой стороны, нарушенная U(1)A симметрия требовала бы существования изоскалярного 0– голдстоуновского бозона с массой, сравнимой с маcсой пиона,

19.10. Проблема U(1)

329

и такой бозон также не наблюдается. Мезон η действительно

является изоскалярным 0– бозоном, но он значительно тяжелее пиона и, как мы видели в разделе 19.7, хорошо интерпретируется как один из голдстоуновских бозонов SU(3) × SU(3). Åñëè ðàñ-

сматривать как сравнительно легкий не только u- и d-, но и s-кварк, то лагранжиан квантовой хромодинамики будет в дополнение к SU(3) × SU(3) обладать U(1) киральной симметрией

относительно преобразований

u → exp(iγ 5θ)u , d → exp(iγ 5θ)d , s → exp(iγ 5θ)s . (19.10.2)

Спонтанное нарушение такой симметрии требовало бы существования двух изоскалярных 0– мезонов: один из них η, а другой —

с массой, сравнимой с массой пиона.

Это предсказание можно уточнить. 52 Если включить преобразование (19.10.2) в число спонтанно нарушенных симметрий безмассовой квантовой хромодинамики, то в присутствии масс кварков мы получим слагаемое (19.7.12)

Lìàññ = −qMqq = −

Mqe

(19.10.3)

где вновь

−i

2γ 5B/Fπ

−i

2γ 5B/Fπ ~

Lmu

= M

P ,

(19.10.4)

ms Q

но В включает поле голдстоуновского бозона ζ для нарушенной

симметрии (19.10.2):

π0 +

η0

π+

K+

B = M

π−

π0 −

η0

K0 P

−

π0 P

(19.10.5)

0P .

3Fζ

ζP

330	Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

ãäå Fζ — неизвестная константа связи U(1)A голдстоуновского бозона с соответствующим током (множитель 3 включен для даль-

нейшего удобства). Можно снова использовать ненарушенную SU(3) симметрию, чтобы записать среднее по вакууму от кварковой билинейной формы в виде (19.7.14), после чего, разлагая по степеням бозонных полей, мы находим отвечающее массам голдстоуновских бозонов слагаемое в лагранжиане в виде:

− v2 TroB, nb, Mq st Fπ

ζI

= −

π0 +

η0 +

Fπ

M4mu G

3Fζ K

+ m

)π

+ π− +

+ m

)K+

−

4(m

Fπ

I 2

4md G

−

π0 +

η0 +

ζJ

3Fζ

2 O

4(md

ms)K

4msG

−

η0 +

Fπ

P .

3Fζ

(19. 10. 6) Массы заряженных и странных мезонов такие же как и ранее, но теперь массовая матрица нейтральных нестранных мезонов имеет вид

L m

+ m

− m

2Fπ2

2 3Fπ2

6FπFζ

M m

− m

+ m

− 2m P

M02 = 8vM

P .

6Fπ2

2 3F2

3 2F F

(19.10.7)

π ζ

M m

− m

+ m

−

+ m

3Fζ2

6FπFζ

3 2FπFζ

где строки и столбцы указаны в порядке π0, η0, ζ.

В пределе, когда mu è md равны нулю, эта матрица имеет два собственных вектора с нулевым собственным значением

J .

= G

0J , ub =

Fπ

+ F2

(19.10.8)

2Fζ K

Задачи

331

В таком ортонормированном базисе матрица квадратов масс в первом порядке по mu è md имеет вид

maa2 guaTMo2ua

4v(mu + md)

(19.10.9)

mbb2 g ubTMo2ub

12v(mu + md)

(19.10.10)

Fπ2 + 2F2

v(mu − md)

mab2 = mba2 g

(19.10.11)

2Fπ

Fπ2 + 2F2

Наличие недиагонального члена (19.10.11) приводит к уменьшению произведения собственных значений на пренебрежимо малое отношение (mu − md)2 64(mu + md)2 , оставляя, конечно, неизменной

сумму собственных значений, так что в хорошем приближении собственные значения даются диагональными элементами (19.10.9) и (19.10.10). Сравнивая (19.10.9) с (19.7.16), видим, что частица, отве- чающая собственному вектору ua, ýòî π0. Другая частица, соответ-

ствующая ub, имеет массу

		3mπFπ

mb g mbb2	g			≤ 3mπ .	(19.10.12)

		F2	+ 2F2
		π	ζ

Таким образом, нарушенная U(1)A симметрия требует вдобавок к самому пиону существования нейтрального псевдоскалярного голдстоуновского бозона массой меньше, чем 3mπ . Едва ли нужно до-

казывать, что такой сильновзаимодействующей частицы не существует *. В разделе 23.5 мы увидим, что эта проблема в конце

* Заметим, что, беря Fζ . Fπ, можно придать дополнительному нейт-

ральному скаляру очень малую массу, но тогда его взаимодействия были бы столь слабы, что он мог бы легко избежать детектирования. Малоправдоподобно, что очень большое отношение Fπ ê Fζ могло бы возникнуть в

квантовой хромодинамике, но нечто похожее возникает в теориях с дополнительными полевыми переменными, которые были предложены, чтобы избежать нарушения четности инстантонами (см. раздел 23.6).

332	Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

концов была разрешена открытием непертурбативных эффектов, нарушающих дополнительную симметрию U(1)A.

Задачи

1.Примените общую теорию нарушенных глобальных симметрий к случаю, когда группа симметрии SO(3) (с генераторами

t1, t2, t3) спонтанно нарушается до своей SO(2) подгруппы (с генератором t3). Как преобразуются поля голдстоуновских бозонов относительно бесконечно малых преобразований SO(3)? (Используйте экспоненциальную параметризацию пространства смежных классов SO(3)/SO(2).) Вычислите ковариант-

ную производную Daμ поля голдстоуновских бозонов и обще-

го поля с ненулевым значением q генератора ненарушенной

симметрии t3. Как выглядит самый общий SO(3)-инвариант- ный лагранжиан, включающий только годстоуновские бозоны и не содержащий более двух производных? Используйте этот лагранжиан, чтобы вычислить слагаемые в инвариантной амплитуде упругого рассяния голдстоуновских бозонов в низшем порядке по их энергии. Как выглядит самый общий SO(3)-инвариантный лагранжиан с двумя неголдстоуновскими полями и не более чем одной производной? Как выглядит самая общая функция, зависящая только от полей голдстоуновских бозонов (без производных) и преобразующаяся как третья компонента 3-вектора SO(3)? Добавьте это слагаемое в лагранжиан, выбрав коэффициент так, чтобы голдстоуновский бозон приобрел массу m, и заново рассчитатйте амплитуду рассеяния голдстоуновских бозонов в низшем порядке.

2.Рассмотрите теорию с SU(N) глобальной симметрией, спонтанно нарушенную до SU(N–1). Предположим, мы добавляем малое нарушающее симметрию возмущение, принадлежащее фундаментальному представлению N группы SU(N). С учетом подстройки вакуума какая группа симметрии полностью ненарушена? Что можно сказать о случае, когда нарушающее симметрию возмущение принадлежит к присоединенному представлению SU(N)?

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 6835 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Квантовая теория поля

#
15.08.2013228.35 Кб346Акимов, Шипов. Торсионные поля.doc
#
15.08.201349.93 Mб239Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf
#
15.08.201335.48 Mб275Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf
#
15.08.20131.97 Mб41Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1.pdf
#
15.08.20132.4 Mб34Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2.pdf