Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

и невозможно непосредственно измерить сдвиги масс нуклонов δmp,n,

мы увидим в раделе 19.7, что SU(3) симметрия позволяет вычислить их разность из разности масс гиперонов. Это дает δmp – δmn = –2,5

МэВ. К сожалению, мы до сих пор не имеем надежной теоретической оценки коэффициента δmp + δmn в первом слагаемом в (19.5.65).

Выражение (19.3.34) показывает, что в квантовой хромодинамике коэффициенты δmp + δmn è δmp – δmn в (19.5.66) пропор-

циональны соответственно mu + md è mu – md. В разделе 19.7 мы увидим, что mu è md совершенно не вырождены, так что эти коэффициенты примерно того же порядка величины; нарушающие изоспин поправки к σ−члену не многим меньше, чем сам σ-÷ëåí.

Мы опять видим, что причиной того, что сохранение изоспина является столь хорошим приближением в адронной физике, является совсем не то, что массы u- и d-кварков почти равны, а просто то, что они малы.

Использование лагранжианов типа (19.5.19) или (19.5.49) является одним из примеров применения метода эффективных теорий поля, уже введенного в разделе 12.3. Аналогичная техника использовалась для рассмотрения мезонных и баронных взаимодействий, включающих странные частицы (см. раздел 19.7), взаимодействий кварков и лептонов при энергиях ниже шкалы нарушения электрослабой симметрии (см. раздел 21.3), и даже для рассмотрения сверхпроводимости (см. раздел 21.6). Во всех этих случаях эффективные теории поля позволяют наиболее удобным способом рассматривать следствия симметрий и исходных общих принципов квантовой теории поля.

* * *

Комбинация низкоэнергетических теорем, следующих из нарушенных симметрий, с дисперсионными соотношениями позволяет получить полезные правила сумм. Покажем, как это происходит в случае киральной симметрии, если пренебречь малыми массами кварков u и d и массой пиона. Рассмотрим рассеяние вперед безмассового пиона с изовекторным индексом a и 4-импульсом q на нуклоне с 4-импульсом р, в результате которого возникает пион с изовекторным индексом b. Амплитуда рассеяния М, определенная

формулой Sfi = –2πiδ4(Pf – Pi)Mfi, в первом порядке по q опре-

деляется фейнмановскими диаграммами рис. 19.3:

284 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

В этом порядке по q можно приближенно записать нуклонный пропагатор в первых двух слагаемых в квадратных скобках в виде

Выражение (19.5.67) можно дополнительно упростить, используя

соотношения qq/ / = q2 = 0,`ugμu = –p × q/mN è [ta,tb] = ieabctc. Кроме

того, в лабораторной системе (которая при малых q совпадает с системой центра масс) имеем p × q = –mNw, ãäå w º q0 – энергия

пиона в системе покоя нуклона. Наконец, стандартно нормированная амплитуда рассеяния вперед (квадрат модуля которой равен дифференциальному сечению рассеяния вперед) дается выражением (3.6.9) как f º –4p2wM. Собирая все эти результаты, получаем, что амплитуда рассеяния вперед пиона c энергией w дается в слу- чае w n mN выражением:

В частности, для p+-протонного рассеяния следует свернуть (19.5.68)

ñ vb*1va, ãäå vr – нормированный изовектор (1, i,0) / 2 , и положить t3 = + . Тогда амплитуда p+-протонного рассеяния вперед при низких

энергиях равна:

оставляющих инвариантными все вакуумные средние: для h Î Í

(Íå âñå èç y должны быть скалярами, но, конечно, только у скаля-

ров будут отличные от нуля вакуумные средние.) В примере, приведенном в начале предыдущего раздела, группой G была группа SO(4), поля yn реализовали 4-векторное представление этой груп-

пы, а их вакуумные средние нарушали SO(4) до подгруппы вращений H = SO(3), которые оставляли инвариантной четвертую ось. В общем случае поля yn могут реализовать не только неприводимое,

но и приводимое представление G, как это было в том случае, когда мы ввели нуклонные поля в предыдущем разделе.

Представим далее произвольную «точку» yn в полевом пространстве как преобразование G, действующее на поля ψ~ n , èç êî-

торых исключена безмассовая голдстоуновская мода:

m

Например, в предыдущем разделе g было SO(4) вращением, которое мы назвали R, а условие, которому удовлетворяли ψ~ n , заклю-

чалось в том, что первые три компоненты 4-вектора должны обращаться в нуль.

Чтобы сформулировать это условием в более общем виде, предположим, что мы имеем дело с вещественным представлением G. (В данном случае не происходит потери общности, т. к. мы не настаиваем на неприводимости представления, так что, если исходить из множества полей, образующих комплексное представление G, можно всегда взять yn равными действительным и мнимым

частям этих комплексных полей.) Как показано в разделе 19.2, безмассовые собственные векторы массовой матрицы являются просто независимыми линейными комбинациями векторов åm[tα]nmáym(0)ñVAC, ãäå tα — генераторы G. (Вещественность представления означает, что itα действительны, а тот факт, что группа

G компактна, означает, что представление можно выбрать унитарным, а, следовательно, ортогональным, так что генераторы tα мнимые и антисимметричные.) Тогда условие, что ψ~ n не содержит гол-

дстоуновских мод, можно сформулировать в виде

nm

Число независимых условий равно разности размерностей группы G и той подгруппы Н, генераторы которой обращают в нуль áym(0)ñVAC.

Как и в предыдущем разделе, те голдстоуновские бозоны, поля которых устраняются указанным образом, вновь появляются в dim(G) - dim(H) полях, необходимых для параметризации преобразования gnm(x). В общем случае, поля ψ~ n включают все тяжелые поля в

теории, в том числе те (типа нуклонов в предыдущем разделе), которые имеют иные по сравнению с голдстоуновскими бозонами свойства относительно пространственно-временных симметрий.

Необходимо показать, что мы всегда можем выбрать преобразование gnm(x) так, чтобы удовлетворить условию (19.6.4). Для

этого рассмотрим величину

где g пробегает по всей группе G в вещественном ортогональном представлении, реализованным полями yn. Очевидно, что эта вели-

чина есть непрерывная действительная функция g, и поскольку группа компактна, Vψ(g) к тому же является ограниченной функцией g. В каждой пространственно-временной точке x величина Vψ(x)(g)

достигает поэтому максимального значения для какого-то элемента группы, который мы назовем g(x). Ïðè g = g(x) функция Vψ(x)(g)

должна быть стационарной по отношению к произвольным вариациям g. Но любой бесконечно малый сдвиг элемента группы g можно всегда записать как линейную комбинацию

δg = iå εαgtα ,

α

с действительными инфинитезимальными коэффициентами eα, которые могут зависеть от g. Следовательно, условие, что Vψ(x)(g) стационарно по отношению к вариациям dg ïðè g = g(x) имеет вид

0= dVψ(x) bg(x)g = iå eα å yn (x) g nl (x) tlmα ym (0) VAC

αnml

288 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

Это должно выполняться для всех вариаций, следовательно, для

тельной и мнимой частей. Если множество полей c(x) преобра-

зуется по какому-то комплексному представлению группы G с эрмитовыми генераторами Tα, то в действительном представлении

Тогда условие (19.6.4) можно непосредственно записать через Tα è c(x) â âèäå

Imd~c(x)†Tα ác(0)ñVAC i = 0.

Поскольку предполагается, что лагранжиан всего лишь инвариантен относительно независящих от пространственно-временных координат преобразований G, оказывается, что после преобразования (19.6.3) он становится зависящим от g(x) è îò ψ~(x) , хотя всегда в каждом зависящем от g слагаемом есть по меньшей мере одна

производная. Как отмечалось, зависящие от пространственно-вре- менных координат параметры, необходимые для конкретизации g(x),

играют роль полей голдстоуновских бозонов. Теперь нам следует рассмотреть, как параметризовать g(x).

С самого начала следует заметить, что выбор g в (19.6.3) в общем случае неоднозначен. Так как áyn(0)ñVAC инвариантно относительно Н в смысле выражения (19.6.2), величина Vψ(g), определен-

ная соотношением (19.6.5), инвариантна относительно правого умножения g на любой элемент h ненарушенной подгруппы Н:

Отсюда следует, что если γ доставляет максимум Vψ(γ), òî ýòî æå

верно для gh, так что условие (19.6.4) удовлетворяется как для ψ~ = h−1γ −1ψ , òàê è äëÿ ψ~ = γ −1ψ . Поэтому величина γ определена

пока что с точностью до правого умножения на элемент Н. (Так, в рассмотренном в предыдущем разделе примере четырехмерное вращение R можно было умножить справа на любое вращение, действующее только на первые три компоненты 4-векторов.) Можно рассматривать два элемента группы γ1 è γ2 как эквивалентные, если γ1 = γ2h, где h Н. Это действительно соотношение эквивалентности, поскольку оно рефлексивно (если γ1 эквивалентно γ2, òî γ2 эквивалентно γ1), симметрично (γ эквивалентно самому себе) и транзитивно (если γ1 эквивалентно γ2, à γ2 эквивалентно γ3, òî γ1 эквивалентно γ3). Поэтому элементы группы G можно рассортировать по

несвязным «классам эквивалентности», каждый из которых состоит из элементов γ, отличающихся только правым умножением на эле-

мент Н. Такие классы эквивалентности называют правыми смежными классами G по Н. Нас интересует параметризация пространства правых смежных классов (обозначаемого G/H).

Для этого достаточно только выбрать по одному элементу группы, представляющему каждый правый смежный класс. В слу- чае рассмотренной в предыдущем разделе SO(4) симметрии, нарушенной до SO(3), удобно выбрать эти представительные эле-

r

менты как вращения, параметризованные 3-вектором ζ. Возможен

и другой выбор, пригодный для любой компактной группы G, нарушенной до любой подгруппы Н. Приспособим вначале наши обозначения генераторов группы G к тому, по какому пути нарушается симметрия. Назовем ti полный набор независимых генераторов Н. Согласно (19.6.2) эти генераторы удовлетворяют условию

Обозначим xa другие независимые генераторы G в любом базисе с полностью антисимметричными структурными константами. (Для

компактных групп такой базис всегда существует; см. раздел 15.2.) Так как xa не входит в правую часть (19.6.8), все структурные константы Cija равны нулю, а из полной антисимметрии этих констант следует, что Ciaj = 0, òàê ÷òî

Однако не обязательно, чтобы коммутаторы x друг с другом были линейными комбинациями t; это зависит от природы G и Н, а также от того, как Н погружена в G. (Когда Cabc равны нулю, пространство смежных классов G/H называется симметрическим пространством.) В общем случае можно записать

Любой набор генераторов с коммутационными соотношениями вида (19.6.8)−(19.6.10) называется разложением Картана алгебры Ли. Примером может служить киральная SU(2) × SU(2) алгебра Ли (19.4.9)−

(19.4.11), для которой Cabc действительно равны нулю.

Поскольку ti è xa исчерпывают алгебру Ли группы G, любой конечный элемент G можно представить в виде:

ãäå ξa è θi − набор действительных параметров. Но преобразование γ(x) в (19.6.3) определено пока что с точностью до правого умноже-

ния на элемент Н, так что можно стандартизировать наше определение γ, âçÿâ åãî â âèäå

Параметры ξa(x) можно отождествить (с точностью до нормировки)

с полями голдстоуновских бозонов.

Ниже будем просто предполагать, что представительные элементы были выбраны из каждого правого смежного класса и выражены как непрерывные функции γ(ξ) некоторых параметров ξa. ßâ-

ным примером такого выбора может служить выражение (19.6.12), но мы не станем ограничивать себя именно этой параметризацией.

Предположим теперь, что с помощью (19.6.3) мы заменили все поля ψ(ξ) в лагранжиане на γ(x)ψ~ (x). Производные полей равны

Поэтому, когда мы выражаем лагранжиан не через ψ, а через ψ~ , поля голдстоуновских бозонов входят через зависимость от γ−1(ξ)∂μγ(ξ) îò ξa(x) и его производных.

Любая вариация элемента группы типа γ(ξ) может быть запи-

сана как произведение группового элемента на линейную комбинацию генераторов группы. В нашем случае можно записать это в виде

Следовательно, поля голдстоуновских бозонов войдут в лагранжиан в результате появления в нем величин Daμ(x) è Eiμ(x) (è èõ ïðî-

изводных). Заметим, что в случае точных нарушенных симметрий каждое взаимодействие ξ должно включать по крайней мере одну

производную, так что в лагранжиане не могут возникнуть массовые слагаемые mab2ξaξb, а все взаимодействия обращаются в нуль при

обращении в нуль 4-импульса любого голдстоуновского бозона. Даже если мы не знаем деталей лежащего в основе лагранжи-

ана, можно много узнать о том, как величины Daμ è Eiμ возникают в

проеобразованном лагранжиане, изучая их свойства преобразований. Под действием произвольного элемента g группы G исходное поле ψ преобразуется по (19.6.1):

Далее, gγ(ξ) есть элемент G, так что он должен принадлежать

тому же правому смежному классу, что и некоторый элемент γ(ξ′), и поэтому может быть записан в виде

ãäå h − некоторый элемент ненарушенной подгруппы Н. Подставляя это в (19.6.17), находим, что ψ′(ξ) имеет вид (19.6.3):

В примере, приведенном в начале предыдущего раздела, ψ~ состояло из единственного изоскаляра σ, и поскольку этот изоска-

ляр был инвариантен относительно ненарушенной подгруппы изоспина, он был также и кирально-инвариантен. Переходя к более общему случаю, мы видим теперь, что не обязательно инвариантно относительно произвольных преобразований G, а что его G-преобразование зависит только от преобразования относительно ненарушенной группы Н. Это было явно видно в предыдущем разделе, когда мы ввели нуклонные поля; относительно произвольного бесконечно малого1 преобразования нарушенной

~

киральной симметрии поля N преобразуются с помощью завися-

щего от полей изоспинового вращения (19.5.45).

Задаваемые формулами (19.6.18) и (19.6.20) законы преобразования ξ → ξ′ è ψ~ → ψ~ ′ никак не связаны с конкретными свойствами линейных G-преобразований исходных полей ψn. Действительно,

чтобы вывести эти законы преобразования, нам не нужно начинать с лагранжиана, инвариантного относительно линейных G-преобра- зований. Если задан любой набор полей, на которых линейно или нелинейно действует группа G, а подгруппа Н оставляет инвариантным одно конкретное множество значений полей (их вакуумные средние), мы всегда можем выразить эти поля (по крайней мере, в конечной окрестности конкретных значений полей) через множество величин ξa è ψ~ n (x) , которые преобразуются относительно G согласно стандартной реализации ξa → ξ′a, ψ~ → ψ~ ′, определенной