Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

другу внутри каждого неприводимого представления Н, но в остальном независимы.

* * *

Мы показали, как построить теории полей голдстоуновских бозонов, беря за исходные поля, принадлежащие линейным представлениям нарушенной группы симметрии, например, SU(2) × SU(2) 4-вектор ϕn(x), с которого мы начинали в разделе 19.5. При очень

низких энергиях существенными степенями свободы являются только голдстоуновские бозоны, так что в общем случае можно отбросить неголдстоуновские части поля, например, поле σ(x), определяемое

выражением (19.5.4). Но бывают обстоятельства, при которых необходимо вернуться к полным линейным представлениям группы нарушенной симметрии, лишь одной частью которых являются поля голдстоуновских бозонов.

Это случается, когда в результате изменения температуры или включения какого-то внешнего поля система подводится близко к фазовому переходу второго рода, в котором она гладко переходит от нарушенной к ненарушенной симметрии. С одной стороны такого перехода симметрия нарушена, так что имеются безмассовые голдстоуновские бозоны и различные другие массивные возбуждения, в общем случае не образующие полных мультиплетов, реализующих линейные представления группы нарушенной симметрии. С другой стороны перехода симметрия не нарушена, так что имеются полные линейные мультиплеты, в общем случае не безмассовые. Если переход непрерывен, то очень близко к фазовому переходу голдстоуновский бозон должен составлять часть полного линейного мультиплета почти безмассовых возбуждений. Если исключить случайности или другие симметрии, этот мультиплет будет образовывать неприводимое представление группы нарушенной симметрии. Этот неприводимый мультиплет полей, которые становятся безмассовыми только в точке фазового перехода, носит название параметра порядка.

Такое определение параметра порядка точнее обычного. Ча- сто говорят о нем как о любом наборе полей, чьи средние по вакууму нарушают симметрию, но это слишком смутное определение — не существует одного набора полей, чьи средние по вакууму могут считаться ответственными за нарушение симмет-

рии. Например, SU(2) × SU(2) симметрия квантовой хромодина-

мики с безмассоâыми u и d кварками нарушается средним по вакууму от uu + dd, являющейся четвертой компонентой кираль-

ного 4-вектора, однако четвертые и более высокие степени кварковых полей также имеют неисчезающие вакуумные средние, принадлежащие другим представлениям SU(2) × SU(2). Напротив, при гладком фазовом переходе, в котором SU(2) × SU(2) ñòà-

новится ненарушенной, голдстоуновский бозон становится членом единственного безмассового представления SU(2) × SU(2), ÷òî

позволяет однозначно определить параметр порядка. Установление правильных параметров порядка очень важ-

но как для вычисления обсуждавшихся в разделе 18.5 критических показателей, так и при рассмотрении конфигураций типа вихревых нитей или магнитных монополей, имеющих, как мы покажем в разделах 21.6 и 23.3, сингулярность, в которой восстанавливается нарушенная симметрия. Часто предполагается, что параметр порядка для киральной SU(2) × SU(2) симметрии кван-

товой хромодинамики является киральным 4-вектором, однако доказательство этого неизвестно 32à.

19.7.Эффективные теории поля: SU(3) × SU(3)

Âначале 1960-õ ãã. Ãåëë-Ìàíí33 и Нееман34 расширили приближенную изоспиновую SU(2) симметрию ядерной физики до еще менее точной SU(3) симметрии, которая объединяла известные ба-

рионы и мезоны в различные неприводимые представления: октет 1/2+ барионов p, n, Λ0, Σ±,0, Ξ–,0; октет 0– мезонов K+,0, π±,0, η0,`K–

,0; октет 1– мезонов K*+,0, ρ±,0, ω0,`K*–,0; декуплет 3/2+ барионов ++,+,0,– , Σ*+,0,–, Ξ*0,–, Ω–. (Частицы η è Ω к тому времени не были открыты.) После успехов киральной SU(2) × SU(2) симметрии,

достигнутых в середине 1960-х гг., возникло естественное предположение, что сильные взаимодействия удовлетворяют также приближенной SU(3) × SU(3) симметрии, которая по аналогии с SU(2) × SU(2) спонтанно нарушается до своей диагональной под-

группы — группы SU(3) Гелл-Манна и Неемана. Затем, после появления квантовой хромодинa-мики, стало ясно, что эта симметрия возникает потому, что существуют не два, а три сравнительно легких кварка — u, d и третий кварк s, имеющий, как и

d, заряд –1/3. В этом случае SU(3) ´ SU(3) симметрия состоит из

независимых SU(3) преобразований (аналогичных преобразованиям (19.4.2)) левых и правых компонент полей u-, d-, s-кварков:

ãäå la — полный набор бесследовых эрмитовых матриц:

нормированных так, что Tr(lalb) = 2dab. Таким образом, генераторы SU(3) ´ SU(3) представлены на кварковых полях генераторами ta = la ненарушенной SU(3) симметрии и генераторами нарушенной

симметрии xa = lag5.

Чтобы определить поля голдстоуновских бозонов и выяснить их трансформационные свойства, заметим, что в представлении, реализуемом кварковыми полями, любое SU(3) ´ SU(3) преобразование можно записать как произведение exp(–ig5åaxala) на преобразование exp(iåaqala), относящееся к ненарушенной SU(3) подгруппе группы SU(3) ´ SU(3). (Знак «минус», сопровождающий x, включен

для удобства последующего сравнения компонент этого поля с введенными в разделе 19.5 пионными полями.) Таким образом, в этом представлении каждый правый смежный класс SU(3) ´ SU(3)/ SU(3) представлен матрицей вида g(x) = exp(–ig5åaxala), которая в нем содержится, и, с точностью до нормировки, параметры xa ýòèõ ïðà-

вых смежных классов можно взять за наши поля голдстоуновских

ãäå

θL ≡ θV + θA θR ≡ θV − θA

a a a , a a a .

Умножая (19.7.7) справа на обратный оператор к (19.7.6), получаем

Иными словами, U(x) преобразуется по (`3, 3) представлению SU(3) × SU(3). Это все еще нелинейная реализация SU(3) × SU(3),

так как компоненты U(x) не независимы: они подчиняются нелинейным ограничениям U†U = 1 è DetU = 1.

Единственное SU(3) × SU(3)-инвариантное слагаемое второго

порядка по пространственно-временным производным в лагранжиане голдстоуновских бозонов имеет вид

ãäå F2 — требующая определения положительная константа. Можно выразить ξa через обычным образом нормированные поля псевдо-

скалярных мезонов, записав

так что кинематическое слагаемое в выражении (19.7.10) имеет обыч- ный вид

Чтобы определить константу F, заметим, сравнивая (19.7.4) с (19.5.42), что для бесконечно малого x компоненты x1, x2 è x3 —

такие же, как введенные в разделе 19.5 поля голдстоуновских бозонов z1, z2, z3. Затем, сравнивая (19.7.11) с (19.5.17) и (19.5.32), нахо-

дим, что константа F, определенная соотношением (19.7.10), совпадает с введенной в разделе 19.4 константой Fπ = 184 ÌýÂ.

Симметрия SU(3) ´ SU(3) квантовой хромодинамики наруша-

ется кварковым массовым слагаемым, которое в записи через определенное формулой (19.7.4) кварковое поле имеет вид

Выражение (19.7.12) содержит чисто бозонную часть, полученную путем замены кварковой билинейной формы на ее вакуумное среднее, определяемое ненарушенной SU(3) симметрией и симметрией относительно инверсии как *

Тогда массовое слагаемое голдстоуновских бозонов в лагранжиане имеет вид

* Тот факт, что законы сохранения четности, заряда и странности, верные для вакуума, не нарушаются также и кварковой массовой матрицей, есть следствие обсуждавшегося в разделе 19.3 условия подстройки вакуума. Аналогично, если кварковые поля определены так, что массы всех кварков положительны, тогда при v > 0 знак «минус» в соотношении (19.7.3) требуется условием, что истинный вакуум должен быть не максимумом, а минимумом энергии вакуума для вакуумных состояний, повернутых преобразованиями SU(3) × SU(3), ибо, как мы увидим, это обеспе-

чивает положительность масс октета псевдоголдстоуновских бозонов.

òîãî, SU(3) ´ SU(3) симметрия нарушаетсÿ изнутри массовым слагаемым в гамильтониане H1 = muuu + mddd + msss = qMqq, ãäå

Mq — кварковая массовая матрица (19.7.13). Массовая матрица псевдоголдстоуновских бозонов задается формулой (19.3.20) в виде

Так как это выражение — уже первого порядка по массам кварков, в этом порядке можно использовать ненарушенные SU(3) соотношения, и получить, как и ранее, результаты (19.7.16) и (19.7.17).

Массы каонного дублета mK+ = 493,65 ÌýÂ è mK0 = 497,7 ÌýÂ

довольно близки и много больше, чем масса пиона, так что из (19.7.16) вытекает, что mu è md должны быть значительно меньше, чем ms. При вычислении величин, чувствительных к mu è md, типа разности масс каонов или масс пионов, следует также принимать во внимание другую малую поправку, обусловленную электромагнитным взаимодействием. Электромагнитный ток равен J0 = ieqg μ Qq , ãäå Q

— диагональная матрица с элементами 2/3, –1/3, –1/3. Коммутаторы тока с генераторами SU(3) ´ SU(3) равны:

Видно, что Jμ коммутирует с X3, X6, X7 è X8, а также с Т3, Ò6, Ò7 è

Ò8, так что электромагнитная часть гамильтониана инвариантна относительно подгруппы SU(2) ´ SU(2) ´ U(1) ´ U(1) с этими генера-

торами. Поэтому в пределе нулевых масс кварков электромагнитные эффекты не придают массы нейтральным псевдоголдстоуновским бозонам 36 p0, K0,`K0 è h0, связанным со спонтанным

нарушением симметрий с генераторами X3, X6, X7 è X8. Кроме того, в пределе нулевых масс кварков существует ненарушенная симметрия SU(2) с генераторами Т6, Ò7 è Ö3Ò8 – Ò3, относительно которой K+ è p+ преобразуются как дублет, так что при нулевых массах кварков электромагнитные поправки к массам K+ è p+ равны 36.

Поскольку все кварковые массовые слагаемые и электромагнирные поправки малы, разумно рассматривать эти эффекты как дополнительные поправки к эффективному кварковому гамильтониану. Тогда с учетом электромагнитного взаимодействия массовая формула (19.7.16) должна быть поправлена и принимает вид 37

m2η = 4vbmu + md + 4ms g / 3Fπ2 ,

где — общая электромагнитная поправка для квадратов масс K+ è

π+.

Эти формулы накладывают одно линейное соотношение на пять масс псевдоголдстоуновских бозонов, представляющее вариант соотношения Гелл-Манна–Окубо *:

Если взять из эксперимента значения масс каона и пиона, то это соотношение предсказывает массу η, равную 566 МэВ, в то время

как экспериментальное значение равно 547 МэВ. Малое различие обычно приписывается смешиванию состояния η с более тяжелой псевдоскалярной частицей η′ массой 958 МэВ.

* Это соотношение было первоначально получено 38 на основе порождаемой генераторами Тà приближенной SU(3) симметрии Гелл-Манна и Неемана в пренебрежении разностями масс внутри изотопических мультиплетов. Из этого вывода невозможно установить, нужно ли применять полученное соотношение к самим массам псевдоскалярных мезонов, или, как здесь, к их квадратам. Если записать соотношение для самих масс, согласие с экспериментом будет не слишком хорошим: масса η получается

равной 613 МэВ. То обстоятельство, что соотношение Гелл-Манна–Окубо хорошо выполняется не для масс мезонов, а для квадратов их масс, подтверждает интерпретацию этих частиц как голдстоуновских бозонов спонтанно нарушенной приближенной SU(3) × SU(3) симметрии. Гелл-Манн и

Окубо использовали также порождаемую генераторами Тà приближенную SU(3) симметрию для вывода соотношений между массами других частиц, например (пренебрегая нарушающими изоспин эффектами), соотношения 2mN + 2mΞ = 3mΛ + mΣ между массами частиц легчайшего барионного

октета. У таких мультиплетов средняя масса настолько больше разностей масс частиц внутри мультиплета, что не имеет значения, применяется ли соотношение для самих масс, или для их квадратов.

Из масссовых формул (19.7.20) можно вывести формулы для отношения масс кварков через массы пионов и каонов 37:

(19.7.22)

Подставляя значения mπ+ = 139,57 ÌýÂ, mπ0 = 134,974 ÌýÂ, mK+ = 493,65 ÌýÂ è mK0 = 497,7 МэВ, находим отношения md/ms = 0,050

è mu/ms = 0,027. Таким образом, отношение масс d и u кварков ближе к 2, чем к 1. (Расчет38à, проведенный в 1996 году с использованием других осколков информации, а также масс псевдоскалярных мезонов, дал значения: md/ms = 0,053 ± 0,002 è mu/ms = = 0,029 ± 0,003.)

Ни одно из этих соотношений не позволяет установить массы отдельных кварков. На самом деле, эти массы определены не слишком хорошо до тех пор, пока мы не определим рецепт перенормировки для билинейных форм кварков. Часто это предписание оформляется так, что ms равно разности масс между отличающимися на единицу странности изомультиплетами внутри некоторого SU(3) мультиплета. Например, легчайший октет векторных мезонов состоит из: изотопического дублета K* массой 892 МэВ, интерпретируемого как связанное состояние антикварка`s и кварков u или d; отвечающего ему антидублета, состоящего из s и`u èëè`d; мезонов ρ с Т = 1 массой 770 МэВ и ω с Т = 0 массой 783 МэВ, интерпретируемых как связанные состояния`u èëè`d и u или d. Если мы хотим приписать разницу между массой K* и средней массой ρ è ω относительно боль-

шой массе s-кварка, то следует1 отнормировать1 билинейную форму

кварков так, чтобы ms – (mu + md) = mK* – (mρ + mω) = 120 ÌýÂ,

откуда ms = 125 МэВ. С учетом полученных выше отношений масс кварков получаем md = 6,0 ÌýÂ è mu = 3,3 МэВ. Однако эти оценки значений масс намного менее достоверны, чем значения отношений масс (19.7.22). Часто значение ms оценивается38b равным не 125, а 180 МэВ.

Массовое слагаемое (19.7.12) включает мезон-мезонные взаимодействия. Используя соотношения (19.7.14), (19.7.11) и (19.7.9), можно записать чисто бозонную часть этого слагаемого в лагранжиане в виде