Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

.pdf
Скачиваний:
346
Добавлен:
15.08.2013
Размер:
35.48 Mб
Скачать

20.3. Ренормгрупповые уравнения для коэффициентных функций

353

умножаются на зависящие от масштаба константы перенормировки и в них входят перенормированные константы связи, которые сами зависят от масштаба.

Рассмотрим операторное разложение функции Грина Γll(k,k,p),

у которой импульсы множества l входящих линий (в совокупности обозначенные k, причем их сумма равна p) одновременно устремляются к бесконечности, в то время как у множества lоставшихся исходящих линий импульсы (в совокупности обозначенные k, ïðè-

чем их сумма равна p) имеют фиксированные значения:

l

(20.3.1)

Γll(k, k , p) å UO

(k)FO ,l(k , p).

 

O

 

 

Функция FO ,l(k, p) есть матричный элемент перенормированного опе-

ратора OR = åO ZO O O , так что коэффициент при ней Ul (k) â ïðî-

, O 1

изведении полей, соответствующих линиям l, пропорционален ZO ,O , а также величине Zl,l — прямому произведению всех перенорми-

ровочных матричных множителей у полевых (или составных) операторов множества l. Отсюда

 

μ

d

UOl

= å γllUOlå UOl γOO + β(g)

UOl ,

 

dμ

 

 

 

 

 

l

O

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ãäå

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μ

 

Zll= å γll′′Zl′′l,

μ

ZO ,O = å γOO ′′ZO ′′,O ,

 

 

∂μ

 

 

∂μ

 

l′′

 

 

O ′′

 

 

(20.3.2)

(20.3.3)

и для простоты мы предположили, что имеется лишь одна перенормируемая константа связи gμ, определенная как значение неко-

торой фейнмановской амплитуды в точке перенормировки с импульсами порядка μ и удовлетворяющая уравнению μdgμ / dμ = β(μ) .

Чтобы иметь возможность использовать анализ размерностей, умножим все операторы на степени μ так, чтобы все они стали безраз-

мерными. Это приведет к тому, что компоненты Z- и g-матриц также станут безразмерными, причем в пределе нулевой константы связи их значения равны

γll→ δllN(l), γOO → δOO N(O ),

(20.3.4)

UOl(gκ , n)

354

Глава 20. Операторные разложения

где N(O) — размерность оператора O, а N(l) - полная размерность

множества полей (равная сумме величин s + 1 для каждого поля, где s = 0 для скалярного и безмассового калибровочного полей, s = 1/2 для дираковских полей и т. д.). Кроме того, из анализа размерностей следует, что при kμ =knμ, ãäå nμ - фиксированный вектор, амплитуда может зависеть от k только через отношение k/m, не считая множителя k4-4n(l), возникающего от интегралов, исполь-

зованных для определения фурье-образа. Тогда решение уравнения (20.3.2) принимает вид

é

UOl (kn) = k44n(l) å êêM

l,Oê

ë

 

é

ì

æ

κ

dm

 

´

êM

ïexp

ç

ó

g(gμ

 

 

ê

í

ç

ô

m

 

ê

ï

ç

õ

 

ë

î

è

 

 

 

ì

 

 

æ

ï

 

 

ç

íexp

ç

ï

 

 

ç

î

 

 

è

ö

üù1

÷

ïú

 

)÷

ýú

 

÷

ï

ú

 

ø

 

 

 

þûO O

κ

ó dm ôõ m

,

öüù g(g )÷ïú μ ÷ýú ÷ïú

øþûll

(20.3.5)

где М обозначает «m-упорядоченное» произведение, т. е. перегруп-

пировку каждого члена в разложении экспонент таким образом, чтобы множители располагались в порядке убывания m слева на-

право.

Это приводит к особенно простым результатам, когда gμ стремится при m ® ¥ к фиксированной точке g*. Вклад больших m â M{òκ g(gμ ) dmm} равен тогда матричному множителю kγ(g*), который в силу m-упорядочивания возникает слева. Поэтому выражение (20.3.5)

принимает вид

l

(kn) = k

44n(l)

å′ ′

é

γ(g* ) ù

C

é

−γ(g* ) ù

,

(20.3.6)

UO

 

ëk

ûl,l

l,O ëk

ûO ,O

 

 

 

l ,O

 

 

 

 

 

 

 

где C — либо константа, либо сумма степеней ln k, в зависимости от скорости приближения gκ ê g*.

Особый физический интерес вызывет частный случай асимптотически свободных теорий типа квантовой хромодинамики. В этом случае фиксированная точка находится при g* = 0 и, согласно (20.3.4), вблизи этой точки g-матрицы ведут себя как

2

O

2

(20.3.7)

g(g)ll® N(l)dll+ g cll, g(g)OO ® N( ) + g cOO ,

 

20.4. Свойства симметрии коэффициентных функций

355

Кроме того, если записать уравнение ренормгруппы для константы связи в виде

 

m

d

= -

 

 

g

 

 

 

 

gμ2

 

 

 

gμ4 ,

(20.3.8)

 

dm

8

2

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ó κ

d

2

 

8p2

 

 

2

 

õô

 

gμ ® -

 

 

ln gκ + const.

 

dm

b

 

Подстановка этого выражения в (20.3.5) приводит к асимптотическому поведению

UOl

(kn) ® k4

 

+

 

+

 

O

) å

é

8π2c b ù

é

8π2c b ù

 

 

 

4n(l)

 

N(l)

 

N(

 

ê(g2κ )

ú

COlê(g2κ )

ú

,

(20.3.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

ûll

ë

 

ûO ,O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

,O

 

 

 

 

 

ãäå COl

— постоянная матрица, равная матрице UOl(0, n) , умножен-

ной на постоянные множители. не вычисляемые в рамках теории возмущений, поскольку они возникают от тех частей интегралов в (20.3.5), где gμ íå ìàëà. Ïðè k ® ¥ константа связи ведет себя как g2κ ® 8p2 / b ln k , так что формулу (20.3.9) можно также записать в

âèäå

UOl (kn) ® k4

4n(l)+N(l)+N(O ) å é(ln k)8π2c b ù

BOl

é(ln k)8π2c b ù

, (20.3.10)

 

ê

ú

 

ê

ú

 

 

l,Oë

ûll

 

ë

ûO,O

 

ãäå BOl— другая постоянная матрица. Условие справедливости выражений (20.3.9) и (20.3.10) заключается в том, чтобы g2κ 8p2 = 1 , но ln k не должен быть настолько велик, чтобы в асимптотическое поведение давал вклад только один собственный вектор с-матрицы. Мы используем выражение (20.3.10) при изучении в разделе 20.6 глубоконеупругого рассеяния.

20.4. Свойства симметрии коэффициентных функций

Полезность операторного разложения в значительной степени усиливается тем фактом, что коэффициентные функции отражают

356

Глава 20. Операторные разложения

всю симметрию лежащей в основе теории, даже если эта симметрия частично или полностью спонтанно нарушена4. Для доказательства рассмотрим операторное разложение произведения перенормированных операторов Oi(x), линейно преобразующихся под действием преобразований некоторой симметрии с сохраняющимся током Jμ(x), в том смысле, что

[J0 (x, t), O (y, t)] = -d3 (x - y)å tijOj (y, t),

(20.4.1)

j

 

ãäå tij — постоянная матрица. Можно записать операторное разложение как утверждение, что когда x1,..., xn совместно стремятся к x (а все отношения разностей x1 - x,..., xn - x фиксированы), то

áb| ToOi1 (x1). . . Oin (xn )t| añ ® å Uii1 ... in (x1 - x, . . . , xn - x)áb| Oi (x)| añ .

i

(20.4.2)

Предположим далее, что симметрия с током Jμ спонтанно на-

рушена, причем соответствующий голдстоуновский бозон p удовлетворяет соотношению

áVAC| J

μ

(0)| pñ =

Fpπμ

 

 

.

(20.4.3)

 

(2p)3 2

 

 

 

 

 

2p0π

 

 

 

 

Тогда, как мы видели в разделе 19.2, матричный элемент операторного произведения между состояниями с дополнительным голдстоуновским бозоном малой энергии равен

áb| ToOi1 (x1). . . Oin

(xn )t| pañ =

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2p)3 2

 

 

 

 

 

 

 

2p0π F

 

 

 

 

 

 

 

 

X

4

 

 

 

 

 

 

 

μ

(20.4.4)

´ Y d

 

x

 

 

áb| ToOi1 (x1). . . Oin (xn )J

 

(x)t| añ,

 

¶x

μ

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поскольку в интеграле в правой части выражения (20.4.4) выживает только вклад голдстоуновского полюсного члена. Используя выражение (20.4.1) и сохранение тока, можно записать выражение (20.4.4) в виде

20.4. Свойства симметрии коэффициентных функций

357

áb| ToOi1 (x1). . . Oin

(xn )t| pañ = -

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2p)3 2 2p0π F

(20.4.5)

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

´ å å tir jr

áb| ToOi1 (x1). . . Ojr (xr ). . . Oin (xn )t| añ.

 

r =1 jr

 

 

 

 

 

 

 

Применим теперь операторное формулы. В пределе, когда все находим:

разложение к обеим частям этой x1,..., xn совместно стремятся к x,

å Uii1 ...in (x1 - x, . . . , xn

- x)áb| Oi

(x)| añ = -

1

 

 

 

 

 

 

 

 

(2p)3 2 2p0π F

i

 

 

n i1 ...j ...i ( - , . . . , - )áb| ( )| añ. (20.4.6)

å å å tir jr Ui r n x1 x xn x Oi x

r =1 jr i

Как частный случай формулы (20.4.5) имеем

áb| Oi (x)| pañ = -

 

 

1

 

 

å tij

áb| Oj (x)| añ.

 

 

 

 

 

(20.4.7)

(2p)

3 2

 

 

 

0

 

 

 

2pπ F j

 

 

Поскольку все это верно для произвольных состояний áb| è |añ, коэффициенты при áb| Oj |añ с обеих сторон равенства (20.4.6) должны

быть равны, так что

 

n

 

 

0 = -å tijUii1 ... in (x1 - x, . . . , xn

- x) + å å tir jr Uji1 ... jr ... in (x1

- x, . . . , xn

- x).

i

r =1 jr

 

 

(20.4.8)

Это можно переформулировать как условие, что функция Uii1 ... in (x1 - x, . . . , xn - x) инвариантна относительно преобразований

симметрии, порождаемой генератором t, причем действие этой симметрии на нижний индекс контраградиентно действию на верхние интексы в том смысле, что матрица t заменяется на -tT. Это такое

же соотношение, какое можно было ожидать, если бы порожденная током Jμ симметрия не была спонтанно нарушена.

358

Глава 20. Операторные разложения

20.5. Правила сумм для спектральных функций

Правила сумм для спектральных функций — это ограничения на спектральные функции различных токов 5. Рассмотрим сначала множество токов Jaμ, которые совершенно произвольны, не считая

того, что они являются лоренцовскими 4-векторами, а затем рассмотрим более частные случаи. Для определения спектральных функций токов используем лоренц-инвариантность и записываем

å d4 (p - pN )áVAC| Jaμ (0)| NñáVAC| Jbν (0)| Nñ* =

N

 

 

 

 

 

 

 

, (20.5.1)

(2p)-3 q(p0)

 

d

hmn - pmpn

p2 r(1)

(-p2 ) + pmpnr(0)

(-p2)

 

 

 

 

 

 

i ab

ab

 

 

 

по аналогии с формулами (19.2.19)-(19.2.10) или (10.7.4). Совершая фурье-преобразование и используя полноту состояний |Nñ, можно

записать это выражение в виде

áJaμ (x)Jbν (0)ñVAC =

w dm2 hmnr(ab1) (m2 ) - er(ab0) (m2 ) + r(ab1) (m2 )m2 jmn D+ (x; m2 ), (20.5.2)

ãäå D+(x; m2) — функция, определенная выражением (5.2.7):

D+ (x; m2 ) =

1

z

d4pq(p0 )d(p2

+ m2 )eip×x .

(20.5.3)

 

(2p)3

 

 

 

 

Предполагая, что операторы токов выбраны эрмитовыми, на основании (20.5.1) немедленно приходим к выводу, что ρ(ab1) (μ2 ) è ρ(ab0) (μ2 )

являются положительными эрмитовыми матрицами. Кроме того, выбирая пространственноподобные xμ (для которых функция D+(x)

четна) и используя в (20.5.2) трансляционную инвариантность и при- чинность, находим, что матрицы ρ(ab1) (μ2 ) è ρ(ab0) (μ2 ) симметричны.

Далее, при x ® 0 è x2 > 0 функция D+(x; m2) ведет себя как

 

 

 

m2

L

F gm

 

 

I

 

1O

 

 

 

1

 

 

x2

 

 

 

D+ (x; m2 ) ®

 

+

 

MlnG

 

 

J

-

 

P

+ O(x2 ),

(20.5.4)

4p2x2

8p2

 

 

 

 

 

M

H

2 K

 

2 P

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

20.5. Правила сумм для спектральных функций

359

ãäå g — постоянная Эйлера. Поэтому первые несколько слагаемых в среднем по вакууму разложения Jαμ (x)Jβν (0) имеют вид

 

 

 

 

 

1

L

ημν

 

4xμxν O

 

 

áJαμ (x)Jβν

(0)ñVAC ® -

 

NM

 

 

-

 

 

QP v dm2 er(0)αβ (m2)

+ r(1)αβ (m2)

m2 j

2p2

(x2)2

 

(x2)3

-

 

hμν

 

x dm2r(0)αβ (m2) m2 +

 

 

xμxν

 

 

v dm2 er(0)αβ (m2) m2 + r(1)αβ (m2)j

 

 

4p2x2

 

2p2 (x2)2

 

 

+

O x2

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(20.5.5)

 

(ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда, если некоторая линейная комбинация åαβ cαβ áJαμ (x)Jβν (0)ñVAC двухточечных функций имеет при x ® 0 сингулярность, про кото-

рую можно показать, что она слабее чем порядка 1/x4, òî

å cαβ v dm2 er(0)αβ (m2 ) + r(1)αβ (m2 ) m2 j = 0,

(20.5.6)

αβ

 

Если же, кроме того, сингулярность слабее, чем 1/x2, òî

 

å cαβ x dm2r(1)αβ (m2 ) = 0

(20.5.7)

αβ

 

è

 

å cαβ x dm2r(0)αβ (m2 ) m2 = 0.

(20.5.8)

αβ

 

Выражения (20.5.6), (20.5.7) и (20.5.8) известны, соответственно, как первое, второе и третье правило сумм для спектральных функций.

Посмотрим, как все это осуществляется в наиболее интересном случае, когда Jαμ (x) - сохраняющиеся токи в теории типа кван-

товой хромодинамики. Из сохранения токов следует, что свертка выражения (20.5.1) с pμ обращается в нуль, поэтому ρ(0)αβ (p2 ) должна быть пропорциональна d(-p2) и поэтому автоматически удовлет-

воряет третьему правилу сумм для спектральных функций (20.5.8) при любых cαβ. Åñëè ρ(αβ0) (p2 ) δ(p2 ) , вклады в выражение (20.5.1) могут возникать только от слагаемых |Bañ в сумме по состояниям,

отвечающих единственной безмассовой частице Ba нулевого спина, на практике являющейся голдстоуновским бозоном. Для таких одночастичных состояний из лоренц-инвариантности следует, что

360

 

 

 

Глава 20. Операторные разложения

áVAC| Jαμ (0)| Ba

ñ =

 

 

iFαap

Bμ

 

.

 

 

 

(20.5.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2p)3 2

 

2p0B

 

 

 

 

 

Используя соотношение δ

(p

0

| p| ) / 2p

0

= θ

(p

0

)

δ

p

2

) ,

, видим, что

 

 

 

 

 

(

 

 

 

ρ(0)αβ (p2 ) = δ(p2 )å FαaFβ*a .

 

 

 

 

(20.5.10)

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напротив, ρ(αβ1) (p2 ) отлична от нуля только при -p2 > 0.

Более конкретно, рассмотрим перенормируемую асимптоти- чески свободную калибровочную теорию с N безмассовыми (или по- чти безмассовыми) фермионами спина 1/2, принадлежащими одному представлению калибровочной группы. Квантовая хромодинамика подходит под это описание в случае N = 3, если пренебречь массами u, d, и s-кварков, и в случае N = 2, если считать безмассовыми только u и d-кварки. Как мы видели в гл. 19, такая теория обладает глобальной SU(N) ´ SU(N) симметрией *, под действием преобразований которой левые и правые компоненты полей легких фермионов преобразуются соответственно по представлениям (N, 1) и (1, N), где ‘N’ и ‘1’ соответственно означают определяющее и тождественное представления SU(N).

Токи левой и правой SU(N) симметрий равны

JLaμ (x) = -iy(x)g μ (1 + g 5 )lay(x), JRaμ (x) = -iy(x)g μ (1 - g 5 )lay(x),

(20.5.11) ãäå la образуют полный набор эрмитовых бесследовых матриц, дей-

ствующих на индекс «аромата», отличающий N легких кварков друг от друга (ср. формулы (19.7.2) для случая N = 3). Размерность этих токов (в степенях массы) равна +3, так что можно ожидать, что (с точностью до логарифмов) коэффициент при операторе O размерно-

* Существует еще симметрия U(1), являющаяся векторной в том смысле, что она действует одинаково на левые и правые компоненты полей легких фермионов. Это соответствует просто сохранению числа легких кварков, так что эта симметрия не будет нас здесь интересовать. Аксиальная U(1) симметрия лагранжиана, действующая по-разному на левые и правые компоненты полей легких фермионов, нарушена квантовыми эффектами, обсуждаемыми в разделе 23.5.

20.5. Правила сумм для спектральных функций

361

стью d(O) в разложении (20.3.6) произведения двух токов будет иметь сингулярность порядка x6+d(O) при стремлении к нулю разности их

аргументов x. Отсюда, если разложение линейной комбинации произведения токов содержит единичный оператор, то соответствующая линейная комбинация спектральных функций ведет себя как x6 и поэтому в общем случае не удовлетворяет ни первому, ни

второму правилу сумм для спектральных функций. Если оператор наименьшей размерности в вакуумном среднем этого разложения — фермионный билинейный ковариант не более чем с одной производной, тогда соответствующие линейные комбинации спектральных функций ведут себя как x3 èëè x2 и поэтому удовлетво-

ряют первому правилу сумм для спектральных функций, но, в общем случае, не удовлетворяют второму. Наконец, если оператор наименьшей размерности в вакуумном среднем этого разложения

— фермионный билинейный ковариант с двумя и более производными или четырехфермионный ковариант, то сингулярность соответствующей линейной комбинации спектральных функций слабее, чем x2, и поэтому эта комбинация удовлетворяет как первому, так

и второму правилу сумм для спектральных функций.

Для того, чтобы узнать, какие операторы возникают в разложении произведения двух токов, необходимо расклассифицировать представления SU(N) × SU(N), содержащиеся в произведении, а

чтобы установить, имеют ли эти операторы ненулевые вакуумные средние, следует узнать, какие из них инвариантны относительно преобразований спонтанно ненарушенной подгруппы SU(N) × SU(N).

Чтобы дать ответ на эти вопросы, заметим, что токи Jμ (x) è

μ La

JRa (x) преобразуются по представлениям (A, 1) и (1, А) группы SU(N) × SU(N), где А и 1 — присоединенное и тождественное пред-

ставления группы SU(N).

Кроме того, предположим, что спонтанно ненарушенная подгруппа SU(N) × SU(N) — это векторная подгруппа SU(N)V с токами JLaμ (x) + JRaμ (x) , как в случае квантовой хромодинамики и (как мы

видели в разделе 19.9) большого числа других теорий. Предположим также, что сохранение четности спонтанно не нарушается. Как следствие существования указанных ненарушенных симметрий имеем:

ρ(La1)

,Lb(μ2 ) = ρ(Ra1)

,Rb(μ2 ) = δab

ρ(V1) (μ2 ) + ρ(A1) (μ2 )

(20.5.12)

362 Глава 20. Операторные разложения

è

r(La1)

,Rb(m2 ) = r(Ra1)

,Lb(m2 ) = dab

r(V1) (m2 ) - r(A1) (m2 )

,

(20.5.13)

ãäå δabρ(V1) (μ2 ) è δabρ(A1) (μ2 ) — спектральные функции, определенные

формулой (20.5.2) для токов

 

 

 

 

 

 

 

 

JVaμ = -iyg μlay , JAaμ

= -iyg μ g 5lay

(20.5.14)

с генераторами la è lag5, соответственно. Кроме того,

 

 

 

FLab = −FRab = δabF ,

(20.5.15)

и формула (20.5.9) имеет в данном случае вид

 

 

 

 

 

μ

 

iFdabpBμ

 

 

 

áVAC| JAa (0)| Bb ñ =

 

 

 

 

,

(20.5.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2p)3 2 2p0B

 

так что формула (20.5.10) принимает вид

 

 

 

 

r(La0)

,Lb(m2 ) = r(Ra0)

,Rb (m2 ) = -r(La0)

,Rb (m2 ) = -r(Ra0)

,Lb(m2 ) = F2d(m2 )dab .(20.5.17)

Удобно рассмотреть отдельно произведения токов с одинаковой и разной спиральностями.

JRaμ

Одинаковая спиральность. Произведения JLaμ (x)JLbν (0) è

(x)JRbν (0) преобразуются соответственно по представлениями

(A ´ A, 1) è (1, A ´ A) группы SU(N) ´ SU(N), где А и 1 — присоеди-

ненное и тождественное представления, соответственно. Для любой группы произведение А ´ А содержит тождественное представле-

ние, так что в разложениях этих произведений возникает единич- ный оператор с одинаковыми коэффициентами, пропорциональными dab. Отсюда, только бесследовые части операторного произведения

могут удовлетворять правилам сумм для спектральных функций. Но, как мы видели, у спектральных функций нет бесследовых частей, так что спектральные функции произведения операторов с одинаковой спиральностью не могут удовлетворять ни одному правилу сумм.

Разная спиральность. Оба произведения Jμ (x)Jν (0) è

μ La Rb

JRa (x)JLbν (0) преобразуются по представлению (А, А) группы SU(N)