
Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)
.pdf


20.4. Свойства симметрии коэффициентных функций |
355 |
Кроме того, если записать уравнение ренормгруппы для константы связи в виде
|
m |
d |
= - |
|
|
g |
|
|
||
|
|
gμ2 |
|
|
|
gμ4 , |
(20.3.8) |
|||
|
dm |
8 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ó κ |
d |
2 |
|
8p2 |
|
|
2 |
|
||
õô |
|
gμ ® - |
|
|
ln gκ + const. |
|
||||
dm |
b |
|
Подстановка этого выражения в (20.3.5) приводит к асимптотическому поведению
UOl |
(kn) ® k4 |
− |
|
+ |
|
+ |
|
O |
) å |
é |
−8π2c b ù |
′ é |
8π2c b ù |
|
|
||||
|
4n(l) |
|
N(l) |
|
N( |
|
ê(g2κ ) |
ú |
COl′ ê(g2κ ) |
ú |
, |
(20.3.9) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′ |
ë |
|
ûll′ |
ë |
|
ûO ′,O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
,O |
|
|
|
|
|
||||
ãäå COl′′ |
— постоянная матрица, равная матрице UOl′′ (0, n) , умножен- |
ной на постоянные множители. не вычисляемые в рамках теории возмущений, поскольку они возникают от тех частей интегралов в (20.3.5), где gμ íå ìàëà. Ïðè k ® ¥ константа связи ведет себя как g2κ ® 8p2 / b ln k , так что формулу (20.3.9) можно также записать в
âèäå
UOl (kn) ® k4 |
−4n(l)+N(l)+N(O ) å é(ln k)−8π2c b ù |
BOl′′ |
é(ln k)8π2c b ù |
, (20.3.10) |
||
|
ê |
ú |
|
ê |
ú |
|
|
l′,O′ ë |
ûll′ |
|
ë |
ûO′,O |
|
ãäå BOl′′ — другая постоянная матрица. Условие справедливости выражений (20.3.9) и (20.3.10) заключается в том, чтобы g2κ 8p2 = 1 , но ln k не должен быть настолько велик, чтобы в асимптотическое поведение давал вклад только один собственный вектор с-матрицы. Мы используем выражение (20.3.10) при изучении в разделе 20.6 глубоконеупругого рассеяния.
20.4. Свойства симметрии коэффициентных функций
Полезность операторного разложения в значительной степени усиливается тем фактом, что коэффициентные функции отражают

356 |
Глава 20. Операторные разложения |
всю симметрию лежащей в основе теории, даже если эта симметрия частично или полностью спонтанно нарушена4. Для доказательства рассмотрим операторное разложение произведения перенормированных операторов Oi(x), линейно преобразующихся под действием преобразований некоторой симметрии с сохраняющимся током Jμ(x), в том смысле, что
[J0 (x, t), O (y, t)] = -d3 (x - y)å tijOj (y, t), |
(20.4.1) |
j |
|
ãäå tij — постоянная матрица. Можно записать операторное разложение как утверждение, что когда x1,..., xn совместно стремятся к x (а все отношения разностей x1 - x,..., xn - x фиксированы), то
áb| ToOi1 (x1). . . Oin (xn )t| añ ® å Uii1 ... in (x1 - x, . . . , xn - x)áb| Oi (x)| añ .
i
(20.4.2)
Предположим далее, что симметрия с током Jμ спонтанно на-
рушена, причем соответствующий голдстоуновский бозон p удовлетворяет соотношению
áVAC| J |
μ |
(0)| pñ = |
Fpπμ |
|
|
. |
(20.4.3) |
|
(2p)3 2 |
|
|
||||
|
|
|
2p0π |
||||
|
|
|
|
Тогда, как мы видели в разделе 19.2, матричный элемент операторного произведения между состояниями с дополнительным голдстоуновским бозоном малой энергии равен
áb| ToOi1 (x1). . . Oin |
(xn )t| pañ = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(2p)3 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2p0π F |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
X |
4 |
|
¶ |
|
|
|
|
|
|
μ |
(20.4.4) |
||
´ Y d |
|
x |
|
|
áb| ToOi1 (x1). . . Oin (xn )J |
|
(x)t| añ, |
||||||
|
¶x |
μ |
|
||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поскольку в интеграле в правой части выражения (20.4.4) выживает только вклад голдстоуновского полюсного члена. Используя выражение (20.4.1) и сохранение тока, можно записать выражение (20.4.4) в виде


358 |
Глава 20. Операторные разложения |
20.5. Правила сумм для спектральных функций
Правила сумм для спектральных функций — это ограничения на спектральные функции различных токов 5. Рассмотрим сначала множество токов Jaμ, которые совершенно произвольны, не считая
того, что они являются лоренцовскими 4-векторами, а затем рассмотрим более частные случаи. Для определения спектральных функций токов используем лоренц-инвариантность и записываем
å d4 (p - pN )áVAC| Jaμ (0)| NñáVAC| Jbν (0)| Nñ* =
N |
|
|
|
|
|
|
|
, (20.5.1) |
(2p)-3 q(p0) |
|
d |
hmn - pmpn |
p2 r(1) |
(-p2 ) + pmpnr(0) |
(-p2) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
i ab |
ab |
|
|
|
по аналогии с формулами (19.2.19)-(19.2.10) или (10.7.4). Совершая фурье-преобразование и используя полноту состояний |Nñ, можно
записать это выражение в виде
áJaμ (x)Jbν (0)ñVAC =
w dm2 hmnr(ab1) (m2 ) - er(ab0) (m2 ) + r(ab1) (m2 )
m2 j¶m¶n
D+ (x; m2 ), (20.5.2)
ãäå D+(x; m2) — функция, определенная выражением (5.2.7):
D+ (x; m2 ) = |
1 |
z |
d4pq(p0 )d(p2 |
+ m2 )eip×x . |
(20.5.3) |
|
|
||||||
(2p)3 |
||||||
|
|
|
|
Предполагая, что операторы токов выбраны эрмитовыми, на основании (20.5.1) немедленно приходим к выводу, что ρ(ab1) (μ2 ) è ρ(ab0) (μ2 )
являются положительными эрмитовыми матрицами. Кроме того, выбирая пространственноподобные xμ (для которых функция D+(x)
четна) и используя в (20.5.2) трансляционную инвариантность и при- чинность, находим, что матрицы ρ(ab1) (μ2 ) è ρ(ab0) (μ2 ) симметричны.
Далее, при x ® 0 è x2 > 0 функция D+(x; m2) ведет себя как
|
|
|
m2 |
L |
F gm |
|
|
I |
|
1O |
|
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
||||||
D+ (x; m2 ) ® |
|
+ |
|
MlnG |
|
|
J |
- |
|
P |
+ O(x2 ), |
(20.5.4) |
|
4p2x2 |
8p2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
M |
H |
2 K |
|
2 P |
|
||||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|

20.5. Правила сумм для спектральных функций |
359 |
ãäå g — постоянная Эйлера. Поэтому первые несколько слагаемых в среднем по вакууму разложения Jαμ (x)Jβν (0) имеют вид
|
|
|
|
|
1 |
L |
ημν |
|
4xμxν O |
|
|
||||
áJαμ (x)Jβν |
(0)ñVAC ® - |
|
NM |
|
|
- |
|
|
QP v dm2 er(0)αβ (m2) |
+ r(1)αβ (m2) |
m2 j |
||||
2p2 |
(x2)2 |
|
(x2)3 |
||||||||||||
- |
|
hμν |
|
x dm2r(0)αβ (m2) m2 + |
|
|
xμxν |
|
|
v dm2 er(0)αβ (m2) m2 + r(1)αβ (m2)j |
|
||||
|
4p2x2 |
|
2p2 (x2)2 |
|
|
||||||||||
+ |
O x2 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(20.5.5) |
||
|
(ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, если некоторая линейная комбинация åαβ cαβ áJαμ (x)Jβν (0)ñVAC двухточечных функций имеет при x ® 0 сингулярность, про кото-
рую можно показать, что она слабее чем порядка 1/x4, òî
å cαβ v dm2 er(0)αβ (m2 ) + r(1)αβ (m2 ) m2 j = 0, |
(20.5.6) |
αβ |
|
Если же, кроме того, сингулярность слабее, чем 1/x2, òî |
|
å cαβ x dm2r(1)αβ (m2 ) = 0 |
(20.5.7) |
αβ |
|
è |
|
å cαβ x dm2r(0)αβ (m2 ) m2 = 0. |
(20.5.8) |
αβ |
|
Выражения (20.5.6), (20.5.7) и (20.5.8) известны, соответственно, как первое, второе и третье правило сумм для спектральных функций.
Посмотрим, как все это осуществляется в наиболее интересном случае, когда Jαμ (x) - сохраняющиеся токи в теории типа кван-
товой хромодинамики. Из сохранения токов следует, что свертка выражения (20.5.1) с pμ обращается в нуль, поэтому ρ(0)αβ (−p2 ) должна быть пропорциональна d(-p2) и поэтому автоматически удовлет-
воряет третьему правилу сумм для спектральных функций (20.5.8) при любых cαβ. Åñëè ρ(αβ0) (−p2 ) δ(−p2 ) , вклады в выражение (20.5.1) могут возникать только от слагаемых |Bañ в сумме по состояниям,
отвечающих единственной безмассовой частице Ba нулевого спина, на практике являющейся голдстоуновским бозоном. Для таких одночастичных состояний из лоренц-инвариантности следует, что

360 |
|
|
|
Глава 20. Операторные разложения |
|||||||||||||||
áVAC| Jαμ (0)| Ba |
ñ = |
|
|
iFαap |
Bμ |
|
. |
|
|
|
(20.5.9) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
(2p)3 2 |
|
2p0B |
|
|
|
|
|
|||||||
Используя соотношение δ |
(p |
0 − |
| p| ) / 2p |
0 |
= θ |
(p |
0 |
) |
δ |
− |
p |
2 |
) , |
, видим, что |
|||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|||||||||||
ρ(0)αβ (−p2 ) = δ(−p2 )å FαaFβ*a . |
|
|
|
|
(20.5.10) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напротив, ρ(αβ1) (−p2 ) отлична от нуля только при -p2 > 0.
Более конкретно, рассмотрим перенормируемую асимптоти- чески свободную калибровочную теорию с N безмассовыми (или по- чти безмассовыми) фермионами спина 1/2, принадлежащими одному представлению калибровочной группы. Квантовая хромодинамика подходит под это описание в случае N = 3, если пренебречь массами u, d, и s-кварков, и в случае N = 2, если считать безмассовыми только u и d-кварки. Как мы видели в гл. 19, такая теория обладает глобальной SU(N) ´ SU(N) симметрией *, под действием преобразований которой левые и правые компоненты полей легких фермионов преобразуются соответственно по представлениям (N, 1) и (1, N), где ‘N’ и ‘1’ соответственно означают определяющее и тождественное представления SU(N).
Токи левой и правой SU(N) симметрий равны
JLaμ (x) = -iy(x)g μ (1 + g 5 )lay(x), JRaμ (x) = -iy(x)g μ (1 - g 5 )lay(x),
(20.5.11) ãäå la образуют полный набор эрмитовых бесследовых матриц, дей-
ствующих на индекс «аромата», отличающий N легких кварков друг от друга (ср. формулы (19.7.2) для случая N = 3). Размерность этих токов (в степенях массы) равна +3, так что можно ожидать, что (с точностью до логарифмов) коэффициент при операторе O размерно-
* Существует еще симметрия U(1), являющаяся векторной в том смысле, что она действует одинаково на левые и правые компоненты полей легких фермионов. Это соответствует просто сохранению числа легких кварков, так что эта симметрия не будет нас здесь интересовать. Аксиальная U(1) симметрия лагранжиана, действующая по-разному на левые и правые компоненты полей легких фермионов, нарушена квантовыми эффектами, обсуждаемыми в разделе 23.5.

20.5. Правила сумм для спектральных функций |
361 |
стью d(O) в разложении (20.3.6) произведения двух токов будет иметь сингулярность порядка x−6+d(O) при стремлении к нулю разности их
аргументов x. Отсюда, если разложение линейной комбинации произведения токов содержит единичный оператор, то соответствующая линейная комбинация спектральных функций ведет себя как x−6 и поэтому в общем случае не удовлетворяет ни первому, ни
второму правилу сумм для спектральных функций. Если оператор наименьшей размерности в вакуумном среднем этого разложения — фермионный билинейный ковариант не более чем с одной производной, тогда соответствующие линейные комбинации спектральных функций ведут себя как x−3 èëè x−2 и поэтому удовлетво-
ряют первому правилу сумм для спектральных функций, но, в общем случае, не удовлетворяют второму. Наконец, если оператор наименьшей размерности в вакуумном среднем этого разложения
— фермионный билинейный ковариант с двумя и более производными или четырехфермионный ковариант, то сингулярность соответствующей линейной комбинации спектральных функций слабее, чем x−2, и поэтому эта комбинация удовлетворяет как первому, так
и второму правилу сумм для спектральных функций.
Для того, чтобы узнать, какие операторы возникают в разложении произведения двух токов, необходимо расклассифицировать представления SU(N) × SU(N), содержащиеся в произведении, а
чтобы установить, имеют ли эти операторы ненулевые вакуумные средние, следует узнать, какие из них инвариантны относительно преобразований спонтанно ненарушенной подгруппы SU(N) × SU(N).
Чтобы дать ответ на эти вопросы, заметим, что токи Jμ (x) è
μ La
JRa (x) преобразуются по представлениям (A, 1) и (1, А) группы SU(N) × SU(N), где А и 1 — присоединенное и тождественное пред-
ставления группы SU(N).
Кроме того, предположим, что спонтанно ненарушенная подгруппа SU(N) × SU(N) — это векторная подгруппа SU(N)V с токами JLaμ (x) + JRaμ (x) , как в случае квантовой хромодинамики и (как мы
видели в разделе 19.9) большого числа других теорий. Предположим также, что сохранение четности спонтанно не нарушается. Как следствие существования указанных ненарушенных симметрий имеем:
ρ(La1) |
,Lb(μ2 ) = ρ(Ra1) |
,Rb(μ2 ) = δab |
ρ(V1) (μ2 ) + ρ(A1) (μ2 ) |
(20.5.12) |

362 Глава 20. Операторные разложения
è
r(La1) |
,Rb(m2 ) = r(Ra1) |
,Lb(m2 ) = dab |
r(V1) (m2 ) - r(A1) (m2 ) |
, |
(20.5.13) |
ãäå δabρ(V1) (μ2 ) è δabρ(A1) (μ2 ) — спектральные функции, определенные |
|||||||||
формулой (20.5.2) для токов |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
JVaμ = -iyg μlay , JAaμ |
= -iyg μ g 5lay |
(20.5.14) |
|||||
с генераторами la è lag5, соответственно. Кроме того, |
|
||||||||
|
|
FLab = −FRab = δabF , |
(20.5.15) |
||||||
и формула (20.5.9) имеет в данном случае вид |
|
|
|
||||||
|
|
μ |
|
iFdabpBμ |
|
||||
|
|
áVAC| JAa (0)| Bb ñ = |
|
|
|
|
, |
(20.5.16) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(2p)3 2 2p0B |
|
||||
так что формула (20.5.10) принимает вид |
|
|
|
|
|||||
r(La0) |
,Lb(m2 ) = r(Ra0) |
,Rb (m2 ) = -r(La0) |
,Rb (m2 ) = -r(Ra0) |
,Lb(m2 ) = F2d(m2 )dab .(20.5.17) |
Удобно рассмотреть отдельно произведения токов с одинаковой и разной спиральностями.
JRaμ |
Одинаковая спиральность. Произведения JLaμ (x)JLbν (0) è |
(x)JRbν (0) преобразуются соответственно по представлениями |
|
(A ´ A, 1) è (1, A ´ A) группы SU(N) ´ SU(N), где А и 1 — присоеди- |
ненное и тождественное представления, соответственно. Для любой группы произведение А ´ А содержит тождественное представле-
ние, так что в разложениях этих произведений возникает единич- ный оператор с одинаковыми коэффициентами, пропорциональными dab. Отсюда, только бесследовые части операторного произведения
могут удовлетворять правилам сумм для спектральных функций. Но, как мы видели, у спектральных функций нет бесследовых частей, так что спектральные функции произведения операторов с одинаковой спиральностью не могут удовлетворять ни одному правилу сумм.
Разная спиральность. Оба произведения Jμ (x)Jν (0) è
μ La Rb
JRa (x)JLbν (0) преобразуются по представлению (А, А) группы SU(N)