Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

294 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

m

Иными словами, ξa è ψ~ n преобразуются относительно Н по пред-

ставлениям Dab(h) è hnm, соответственно.

Теперь следует рассмотреть вопрос, как построить наиболее общий лагранжиан, инвариантный относительно преобразований (19.6.18) и (19.6.20). Преобразование ξ → ξ′ для произвольного g G нелинейно и довольно сложно, и оно исключает появление ξa(x) в лагранжиане везде, кроме величин типа Daμ(x) è Eiμ(x). Ê

счастью, эти величины подчиняются очень простым законам преобразования. Продифференцируем (19.6.18) по xμ и умножим слева на

обратную величину. Тогда

γ−1bξ(x)g∂μ γ bξ(x)g = gγ bξ(x)g −1 ∂μ gγ bξ(x)g

=h−1bξ(x), ggγ −1bξ′(x)g∂μ γ bξ′(x)ghbξ(x), gg

=h−1bξ(x), gg γ −1bξ′(x)g∂μ γ bξ′(x)g hbξ(x)g

+ h−1bξ(x), gg ∂μhbξ(x), gg ,

èпоэтому

Выражение (19.6.12) задает величину γ−1∂μγ как линейную комбинацию величин ξ и t. Кроме того, второе слагаемое справа в формуле

(19.6.25) есть линейная комбинация только величин t. Поскольку все xa è ti независимы, коэффициенты при каждом генераторе с обоих сторон равенства (19.6.25) должны быть равны друг другу:

или подробнее:

296 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

ненарушенной подгруппы Н и построенный из ψ~ , Dμ ψ~ è Daμ, áó-

дет инвариантным и относительно полной группы G.

Сейчас мы не обсуждаем перенормируемость, поэтому можно рассмотреть также величины, включающие более одной про- странственно-временной производной. Одной из этих величин является комбинация DνDμ ψ~ , полученная простым повторением

операции (19.6.30):

Другую ковариантную величину можно построить, взяв ковариантную производную от ковариантной производной поля голдстоуновского бозона (19.6.15), которая определяется аналогично (19.6.30), но с заменой ti на соответствующиую матрицу в представлении Н, реализуемом величинами xa:

Кроме того, антисимметризуя производную Eiμ, можно исключить

неоднородное слагаемое в (19.6.27). Это приводит к «кривизне»

Мы не получили ничего нового; легко видеть, что антисимметрич- ная ковариантная производная поля «материи» ψ~ пропорциональна

этой кривизне:

i

Конечно, можно продолжать этот процесс и строить другие производные, беря ковариантные производные все более высокого порядка от Dμ ψ~ è Daμ.

Полезно заметить, что можно раз навсегда вычислить вели- чины Daμ è Eiμ для заданных групп G и Н и заданной параметриза-

ции факторпространства G/H, причем они не зависят от предполагаемых трансформационных полей ψn или конкретных матриц xa, ti, используемых для представления алгебры Ли группы нарушенной симметрии. Например, в экспоненциальной параметризации (19.6.12) несколько первых слагаемых в разложении этих ковариантов в ряд легко вычисляются с помощью (19.6.12) и (19.6.14):

Daμ = ∂μξa + 1 å Cabcξb∂μξc

2 bc

Все, что необходимо знать для построения самого общего лагранжиана, содержащего поля ξa голдстоуновских бозонов и набор по-

лей тяжелых частиц, это последовательность спонтанного нарушения симметрии от G к Н и закон преобразования полей тяжелых частиц относительно Н, но не G: лагранжиан берется в виде самой общей Н-инвариантной функции ψ~ , Dμ ψ~ , Daμ и высших ковариан-

тных производных.

Рассмотрим теперь случай, когда симметрия относительно G не только спонтанно нарушается, но с самого начала даже не точна. Предположим, что в исходном лагранжиане имеется слагаемое L, которое неинвариантно относительно группы G линейных преобразований ψ → gψ, но преобразуется как линейная комбинация ком-

понент некоторого (приводимого или неприводимого) представления группы G. Иначе говоря, берем

298 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

B

Если теперь заменить поля ψ набором ξa, ψ~ , это слагаемое в лаг-

ранжиане все равно будет иметь вид (19.6.39), но выражение (19.6.40) теперь запишется как

B

ãäå fa(ξ,g) есть результат применения преобразования g к ξa, îïðå-

деленный выражением (19.6.18):

Как будет видно, легко найти наборы операторов, удовлетворяющих (19.6.41), так что решение единственно с точностью до задания определенных Н-инвариантных функций ψ~ .

Во-первых, рассмотрим случай ξa = 0 è γ = γ(ξ′). В этом случае gγ(ξ) = γ(ξ′), òàê ÷òî

Подставляя эти равенства в формулу (19.6.41), находим (опуская штрихи):

B

Этим определяются операторы OA ξa , ψ~ äëÿ âñåõ ξa, если мы знаем их для ξa = 0.

Пусть теперь ξa = 0 и g — элемент h подгруппы ненарушенной симметрии Н. В этом случае gγ(ξ) = h, òàê ÷òî

fa (0, h) = 0, h(0, h) = h .

Подставляя эти выражения в формулу (19.6.41), находим

B

Иными словами, при ξ = 0 оператор OA должен преобразовываться

относительно линейных преобразований Н так же, как было полу- чено в представлении (19.6.40) группы G. (Однако в этом утверждении нет ничего, что фиксировало бы нормировку различных неприводимых представлений Н, найденных в представлении G (19.6.40); некоторые из них могут даже вообще отсутствовать.)

Наконец, заметим, что любой набор операторов O, удовлетворяющих (19.6.44), позволяет с помощью соотношения (19.6.43) построить операторы, удовлетворяющие общим правилам (19.6.40) преобразований под действием группы G. Используя формулы (19.6.43) и (19.6.44), получаем, что левая часть выражения (19.6.41) принимает вид:

OA fa (ξ, g), h(ξ, g)ψ~ = å Dγ b f(ξ, g)g ABOB 0, h(ξ, g)ψ~

= å D γ b f(ξ, g)gh(ξ, g)ABOB 0, ψ~

B

= å Dgγ(ξ) ABOB 0, ψ~

B

= å D[g]ABOB ξ, ψ~ ,

B

как и следовало показать.

В качестве примера рассмотрим группу SO(4), спонтанно нарушенную до SO(3), и предположим, что мы хотим построить преобразующиеся по 4-векторному представлению SO(4) операторы из

r

поля голдстоуновского бозона ζ(x) и других полей ψ~(x) . Согласно

формуле (19.6.43), эти операторы должны иметь вид

где R — некоторое SO(4) вращение, определенное формулами (19.5.8) и (19.5.9):

300 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

Условие, что R — ортогональная матрица, удовлетворяется, если выбрать другие ее компоненты как

Следовательно любые скалярные (в противоположность псевдоскалярным) операторы, преобразующиеся как четвертая и третья компоненты киральных 4-векторов, должны входить в эффективный лагранжиан в виде

но как псевдоскалярный изовектор, скалярный изоскаляр, скалярный изовектор и псевдоскалярный изовектор, но они никак не должны быть связаны друг с другом. Для процессов с участием только пионов мы используем эффективный лагранжиан, который не со-

но в предыдущем разделе, мы видим, что единственный оператор

без производных в эффективном лагранжиане, нарушающий ки- r r

ральную симметрию, пропорционален (1 - z2 ) (1 + z2 ) , а следователь-

но оператору (19.5.34). Для того, чтобы включить нарушающие симметрию операторы, билинейные по нуклонному полю, следует учесть сохранение четности и изоспина, так что получаем:

Таким образом, как и было заявлено в предыдущем разделе, единственными билинейными по нуклонным полям и нарушающими симметрию слагаемыми без производных являются выражения вида (19.5.61)-(19.5.64).

Феноменологический лагранжиан можно использовать для вы- числения амплитуд процессов с участием медленных частиц. Это делается во многом аналогично тому, как в предыдущем разделе рассматривалась киральная теория пионов и нуклонов. При подсче- те степеней характерного малого импульса Q внутренние линии голдстоуновских бозонов всегда вносят множители порядка Q−2. Кроме того, внутренняя линия каждой из описываемых полями ψ~ òÿæå-

лых частиц (любого спина), поглотившая от поля голдстоуновского бозона суммарный 4-импульс q, будет иметь пропагатор

(где N — некоторый полином, зависящий от спина и типа частиц, а М — масса частицы), так что он вносит множитель порядка Q−1. Òå

же рассуждения, которые привели к формуле (19.5.55), приводят в данном случае к числу степеней Q в заданной фейнмановской диаграмме

ãäå Vi — число вершин типа i, di — число производных (в слу- чае приближенных нарушенных симметрий — число производных или масс голдстоуновских бозонов) в вершине типа i, hi — число линий тяжелых частиц, сходящихся в вершине типа i, L

— число петель, Eh — число внешних линий тяжелых частиц. В общем случае для всех взаимодействий, разрешенных киральными симметриями, коэффициент di + hi/2 – 2 неотрицателен. Для взаимодействий только между голдстоуновскими бозонами всегда di ³ 2, так как подобные взаимодействия должны быть

либо по меньшей мере билинейными по ковариантным произ-

водным (19.6.15), либо пропорциональными нарушающим симметрию параметрам (типа масс кварков в предыдущем разделе), которые имеют порядок квадрата массы голдстоуновских бозонов. Взаимодействия между голдстоуновскими бозонами и тяжелыми частицами должны включать ковариантные производные (19.6.15) или (19.6.30), поэтому для них di ³ 1, а также hi ³ 2. Единственные

взаимодействия, для которых di + hi/2 < 2, трилинейны по тяжелым частицам, и мы их исключаем, поскольку рассматриваем только диаграммы, в которых все тяжелые адроны остаются нерелятивистскими. Если для всех взаимодействий di + hi/2 ³ 2, òî

ведущими диаграммами будут те, которые построены только по взаимодействиям с di + hi/2 = 2 и не содержат петель1 . Опять же, поправки возникают за1 счет взаимодействий с большим числом производных и/или большим числом полей тяжелых частиц и/ или одной или более петлями.

Если нет нарушения внутренней симметрии, часть лагранжиана, включающая только поля голдстоуновских бозонов, содержит единственное слагаемое с di = 2:

ãäå Fab2 — некоторая действительная положительно определенная матрица. Для случая (19.6.12) и большого класса других па-

В SO(4) теории из предыдущего раздела генераторы xa è ïîëÿ xa

преобразуются по неприводимому представлению ненарушенной подгруппы H = SO(3), так что в этом случае Fab2 = Fπ2dab, ãäå Fπ —

единственная константа, характеризующая энергетический масштаб спонтанного нарушения симметрии. В общем случае можно (не изменяя структурные константы) выбрать генераторы так, что Fab2 диагональна, причем все диагональные элементы равны друг