11. *Аналитические модели массового обслуживания.

Аналитические модели СМО позволяют получить общие зависимости в виде формул на основе решения уравнений исследуемого процесса, но требуют введения существенных упрощений.

Аналитические модели удобны в использовании, поскольку для аналитического моделирования не требуются сколько-нибудь значительные затраты вычислительных ресурсов, часто без постановки специальных вычислительных экспериментов разработчик может оценить характер влияния аргументов на выходные параметры, выявить те или иные общие закономерности в поведении системы.

Аналитические теоретические модели СМО представляют собой совокупность явных зависимостей параметров, образующих вектор фазовых переменных СМО V, от векторов внутренних Q и внешних X параметров:

Вектор Q составляют параметры ОА, вектор X – параметры входных потоков заявок. Аналитические модели СМО можно получить только в частных случаях со следующими ограничениями:

1. Входные потоки заявок должны обладать свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия – такие потоки называются простейшими. В подавляющем большинстве работ по теории МО рассматривается простейший поток, для которого вероятность поступления в промежуток времени t ровно k заявок задается формулой:

(9)

где l – интенсивность поступления заявок (параметр экспоненциального распределения), положительная постоянная величина, обратная МО времени поступления. На оси времени поток поступления заявок можно изобразить, как показано на рис. 25.

Свойство стационарности заключается в том, что вероятность поступления определенного числа заявок в интервале времени Dt зависит только от длительности этого интервала и не зависит от положения этого интервала на оси времени (см. рис. 26). Иначе говоря, вероятностные характеристики и интенсивность такого потока со временем не изменяются.

Ординарность означает невозможность одновременного поступления двух и более заявок на вход системы. Отсутствие последействия выражается в том, что вероятности разных непересекающихся интервалов не зависят друг от друга. Иногда это свойство формулируют следующим образом: распределение времени до ближайшего события не зависит от времени наблюдения, т. е. от того, сколько времени прошло после последнего события. Отсутствие последействия в потоке означает, что события, образующие поток появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга.

2. Интервалы времени между поступлениями заявок и времена обслуживания заявок в ОА СМО распределены по экспоненциальному закону, т. е. функция распределения вероятностей и функция плотности вероятностей для этих интервалов времени имеют вид:

3. Приоритетность обслуживания не рассматривается, используются дисциплины обслуживания типа FIFO.

12. *Обслуживание с ожиданием. Постановка задачи. Свойства экспоненциального распределения времени обслуживания. Обслуживание как Марковский процесс.

В классической постановке задача формулируется следующим образом: в СМО типа М/М/m на m одинаковых ОА поступает простейший поток заявок c интенсивностью l. Если в момент поступления заявки имеется хотя бы один свободный ОА, она немедленно начинает обслуживаться, если нет – становится в очередь. Длительность обслуживания также распределена по экспоненциальному закону, т. е. представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x)=1-e^-mt, где  – интенсивность обслуживания (величина, обратная МО времени обслуживания).

Выбор экспоненциального распределения в аналитическом моделировании СМО для описания длительности процесса не случаен. В этом предположении задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной точностью описывает ход рассматриваемого процесса. Данное распределение играет в теории массового обслуживания важную роль, которая в значительной мере вызвана следующим свойством: при показательном распределении длительности обслуживания распределение длительности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.

Действительно, пусть P_a(t) означает вероятность того, что обслуживание, которое уже продолжатся время а, продлится еще не менее чем t.

ПРИМЕР – исследование свойств экспоненциального распределения.

В предположении, что длительность обслуживания распределена показательно, вероятность того, что обслуживание продлиться от нулевого момента времени до момента времени t составляет P₀(t)=e^-mt. Далее ясно, что P₀(a)=e^-ma и P₀(a+t)=e^-m(a+t). А так как всегда P₀(a+t)=P₀(a)P_a(t), то e^-m(a+t) e^-maP_a(t) и, следовательно, P_a(t)=e^-mt=P₀(t).

Как уже отмечалось, в реальной обстановке показательное время обслуживания является, как правило, приближением, так как предположение, что F(x)=1-e^-mt приводит к тому, что значительная доля заявок нуждается лишь в кратковременной операции, близкой к 0. Необходимость снятия этого ограничения решается распределением Эрланга (гамма-распределение с целочисленным параметром), плотность распределения которого задается формулой:

где m>0, а b – целое положительное число. Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы b независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение F(x)=1-e^-mt.

В каждый момент многоканальная система обслуживания с ожиданием М/М/m может находится в одном из следующих состояний: в момент времени t в системе находится k заявок. Если k£m, то в системе находятся и обслуживаются k заявок, а m-k ОА свободны. Если k>m, то m заявок обслуживаются, а k-m находятся в очереди и ожидают обслуживания. Если Е_k – состояние, когда в системе находятся k заявок, система может находиться в состояниях E₀, E₁, E₂… и т. д. Пусть в некоторый момент времени t₀ система находилась в состоянии E_i. Дальнейшее течение обслуживания полностью определяется тремя следующими факторами:

• моментами завершения обслуживаний, производящихся в момент времени t₀, т. е. начатых ранее t₀;

• моментами поступления новых заявок;

• длительностью обслуживания заявок, поступивших после t₀.

В силу рассмотренных особенностей показательного распределения длительность остающейся части обслуживания не зависит от того, как долго уже продолжалось обслуживание до момента времени t₀. Поток заявок является простейшим, и длительность обслуживания заявок, поступивших после t₀, никак не зависит от того, что и как обслуживалось до момента t₀. Таким образом, последующее течение процесса обслуживания не зависит в вероятностном смысле от того, что происходило до момента времени t₀. Система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет случайный процесс Маркова или процесс без последействия – случайный процесс, для которого будущее развитие зависит только от достигнутого в данный момент состояния и не зависит от того, как происходило развитие в прошлом. Аналитическое моделирование СМО применимо только к Марковским процесса и системам.

В задаче обслуживания с ожиданием очереди многоканальной СМО представляются неограниченными, и рассматривается обслуживание без потерь. В реальных ВС потери могут иметь место. Аналитическими методами теории массового обслуживания решаются задачи моделирования СМО с потерями, которые могут иметь место по причине:

• ограничения количества мест в очереди;

• ограничения времени ожидания;

• ограничения времени пребывания;

• приоритетного обслуживания [4, 5, 27-28].