19. Алгоритмы имитационного моделирования для пошагового управления модельным временем.

При пошаговом управлении модельным временем трудоемкость анализа имитационной модели определяется количеством уравнений в итоговой системе и количеством тактов, на которое разделен моделируемый интервал времени. Для моделирования в этом случае используются итерационные алгоритмы функционального моделирования дискретных систем.

Для решения систем уравнений вида V=(V,X), где V – вектор базисных переменных; X – вектор входных переменных модели;  – оператор преобразования дискретных переменных, применяются итерационные алгоритмы. Анализ начинается с задания вектора входных воздействий X и вектора начального приближения V₀ для искомого вектора V.

ПРИМЕРЫ синхронного анализа логической схемы с использованием итерационных алгоритмов.

Алгоритм простой итерации состоит в выполнении итераций по следующей формуле:

Vi= (Vi-1, X),

(10)

где V_i - значение вектора V на i-й итерации. Если V_i=V_i-1, то решение найдено; если V_iV_i-1, то выполняется новая итерация; если итерационный процесс не сходится, то это свидетельствует об ошибках моделирования или реального объекта, вызывающих неустойчивость состояния. Практически считается, что процесс не сходится, если условие V_i=V_i-1 не достигается на заранее заданном количестве итераций.

Рассмотрим постановку задачи моделирования СМО с ОА типа G/G/1 (см. рис. 30) для пошагового управления модельным временем.

Вектор входных переменных модели для СМО, представленной на рис. 30, имеет вид:

={t_вх1, t_вх2},

где t_вх1 и t_вх2 – время поступления заявок входных потоков на обслуживание в очередь ОА₁ и ОА₂ соответственно. Вектор базисных координат может быть определен как:

={t₂, t₃, t_вых, L₁, L₂, L₃},

где t₂ – время поступления заявки из рецикла на повторное обслуживание в очередь ОА₂; t₃ – время поступления заявки на обслуживание в очередь ОА₃; t_вых – время выхода заявки из системы; L₁, L₂, L₃ – длины очередей соответствующих ОА.

Пусть на k-тый момент модельного времени значение вектора базисных координат известно и может быть использовано в качестве начального приближения для расчетов в следующем такте модельного времени:

Пусть в k+1 момент модельного времени значение вектора входных переменных составило:

Требуется определить значение вектора базисных координат в k+1 такте модельного времени. В отсутствии обратных связей (рециклов) в схеме СМО такой расчет потребовал бы однократного пересчета всех базисных координат с учетом нового значения вектора входных переменных, т. е. с учетом значений времен поступления очередных заявок входного потока, округленных до целого числа тактов модельного времени, и времен обслуживания в ОА СМО. При наличии обратных связей, как в заданной СМО, вычисление окончательного значения вектора базисных координат потребует нескольких итераций, так как переменные t₂ и t_вых взаимосвязаны. Система уравнений модели заданной СМО имеет вид:

где _i – функции, зависящие от закона распределения времени обслуживания в АО и дисциплины очереди.

Согласно формуле (10) в правые части уравнений модели на каждой итерации в этом алгоритме подставляются значения базисных координат, полученных на предыдущей итерации. На первой итерации такими значениями являются значения базисных координат из начального приближения вектора, следовательно:

и так далее. Следует обратить внимание, что, например, для расчета базисной координаты в правую часть соответствующего уравнения подставляется значение несмотря на то, что к моменту расчета уже известно и значение . Такая организация расчетов потребует, очевидно, большего количества итераций, но, при этом, в алгоритме нет необходимости выполнять проверку: определено ли значение очередной базисной координаты уже на этой итерации, или еще нет.

Признаком того, что решение найдено, в этом итерационном метода, как и во всех прочих, является совпадение результата последней итерации с предыдущей.

Уменьшить количество вычислений удается при построении итерационного процесса с использованием алгоритма Зейделя, в котором при вычислении очередного из элементов вектора V_i в правую часть уравнений системы там, где это возможно, подставляются не элементы вектора V_i-1, а те элементы вектора V_i, которые уже вычислены к данному моменту, т. е. итерации выполняются по формуле:

V_i= (V_i,V_i-1, X).

Количество итераций в алгоритме Зейделя существенно зависит от порядка, в котором реализуются уравнения модели. В алгоритме Зейделя без ранжирования уравнения модели перечисляются в произвольном порядке. В алгоритме Зейделя с ранжированием уравнения располагаются в том порядке, в каком соответствующие уравнениям элементы схемы образуют путь прохождения заявок. Тогда для анализа схем без обратных связей потребуется всего одна итерация. В схемах с обратной связью метод Зейделя с ранжированием уравнений порождает несколько итераций, но их количество существенно меньше, чем в методе простой итерации.

Ранжирование уравнений производится следующим образом: уравнение модели (элемент СМО) получает ранг j, если все аргументы этого уравнения (входы элемента) ранжированы и максимальный среди рангов аргументов (входов) равен j-1. Переменная модели получает ранг j, если она является левой частью уравнения (является выходом элемента), имеющего ранг j. Выполнение алгоритма начинается с того, что всем входным переменным присваивается ранг j=0. Если в схеме имеются контуры ОС, одна из цепей каждого контура должна быть предварительно разорвана и части разорванных цепей, подключенные к входам элементов, получают ранг j=0. Затем определяют уравнения первого ранга, переменные первого ранга, элементы второго ранга и т. д. В итоге уравнения располагаются в порядке возрастания рангов.

Выполним ранжирование уравнений системы, описывающей СМО, приведенную на рис. 30 и рассмотренную выше, в примере моделирования по методу простой итерации. Присвоим нулевой ранг входным переменным:

Как видно, в четвертом уравнении теперь фигурирует единственная непроранжированная переменная: L₁, которая фигурирует и в правой, и в левой части. Ей присваивается ранг, на 1 больший минимального в уравнении, т. е. в данном случае равный 1. Этим же рангом помечаются все вхождения переменной L₁ в другие уравнения:

Как видно, после выполнения последнего шага дальнейшее ранжирование становиться невозможным без условного разрыва обратной связи. Условный разрыв позволяет отнести переменную t_вых к нулевому рангу. В результате в первом уравнении все переменные в правой части оказываются проранжированными, поэтому t₂ в этом уравнении, а также в правых частях второго и пятого уравнений, получает ранг 1:

В пятом уравнении теперь фигурирует единственная непроранжированная переменная: L₂, которая фигурирует и в правой, и в левой части. Ей присваивается ранг, на 1 больший минимального в уравнении, т. е. в данном случае равный 2. Этим же рангом помечаются все вхождения переменной L₂ в другие уравнения, что позволяет определить ранг переменной t₃ равным 3. С учетом вхождений этой переменной получим:

В шестом уравнении теперь фигурирует единственная непроранжированная переменная: L₃, которая фигурирует и в правой, и в левой части. Ей присваивается ранг, на 1 больший минимального в уравнении, т. е. в данном случае равный 4. Этим же рангом помечаются вхождение переменной L₃ в третье уравнение, что позволяет определить действительный (без условного разрыва обратной связи) ранг переменной t_вых равным 5. Окончательный результат ранжирования имеет вид:

Расположим уравнения по возрастанию рангов:

Если сопоставить ранжированный порядок уравнений со схемой на рис. 30, легко убедиться, что порядок вычислений в этом случае соответствует логике прохождения заявок по СМО и порядку изменения переменных модели. Понятно, что для такой простой схемы расположить уравнения в правильном порядке можно и без процедуры ранжирования. Однако в сложных схемах с большим количеством ОА и обратных связей эта задача не тривиальна, и приходиться прибегать к ранжированию.

Наименьший объем вычислений обеспечивает событийный алгоритм. Основная идея событийного метода заключается в выполнении вычислений по уравнениям только активизированных элементов, т. е. элементов, у которых хотя бы на одном входе произошло событие (изменилась входная переменная). В алгоритме событийного метода на каждой итерации имеется своя группа активизированных элементов. Использование метода позволяет существенно сократить затраты машинного времени при анализе имитационных моделей СМО [3, 10, 29].