13. Обслуживание с потерями. Обслуживание с ограниченным временем ожидания. Постановка задачи. Обслуживание как Марковский процесс.

Постановка задачи обслуживания с ограничением времени ожидания совпадает с постановкой задачи обслуживания с ожиданием без потерь с тем лишь отличием, что время ожидания обслуживания заявок в очередях m-канальной системы ожидание ограничено определенным временем t. Если заявка за время t со времени его поступления не начало обслуживаться, то оно теряется.

В случае t=const аналитически описывать состояние этой системы через число заявок, находящихся в системе в данный момент времени уже невозможно – эта характеристика при такой постановке задачи теряет Марковские свойства. Если известно, что в момент времени t в системе обслуживания находится k заявок, то состояние в момент времени t+h, при любом h>0, зависит не только от k и t, но и от того, как долго ждут заявки, поступившие до момента t. Следовательно, для обеспечения возможности использовать для моделирования аналитический аппарат моделирования теории массового обслуживания, необходимо ввести в рассмотрение некую характеристику состояния заданной СМО, которая обладала бы Марковскими свойствами.

Рассмотрим m-мерный случайный процесс x(t)={x₁(t), x₂(t)…x_m(t)}, где x_i(t) – время, которое должно протечь от момента t до освобождения ОА с номером i от обслуживания заявок, поступивших ранее t. Если в момент времени t ОА с номером i свободен и в системе нет заявок, ожидающих обслуживания, то x_i(t)=0.

Вектор x(t) со временем изменяется следующим образом: все компоненты, отличные от нуля, уменьшаются на длину промежутка времени, протекшего с момента t, если только не появилось новая заявка или же какая-либо из указанных разностей не стала меньше нуля. Если же в момент времени t₁>t какая-нибудь разность обратилась в 0, тоx(t₁)=0.

Заявка, поступившее в момент t, выбирает ОА с номером i только тогда, когда

Пусть на i-й ОА заявки поступают в моменты времени t_i1,t_i2…, а необходимые для их обслуживания длительности времени равны соответственно h_i1, h_i2… Пусть в момент t=0 ОА с номером i был свободен. Функция x_i(t) до момента t_i1 равна 0, в момент t_i1 совершает скачек, равный h_i1, далее, она убывает на длительность протекшего промежутка времени до тех пор, пока разность положительна, или же до очередного момента поступления завки. Если в момент поступления новой заявки x_i(t), была меньше чем t, то в этот момент она возрастает скачком на соответствующую величину h. Если же x_i(t)>t, то поступившая в этот момент заявка теряется, получает отказ (см. рис. 27).

На рис. 27 в моменты времени t_i в СМО с ограниченным временем ожидания поступали заявки на обслуживание. Заявка, поступившая в момент времени t_i2, была потеряна, поскольку в момент ее поступления x_i(t)>t.

Из приведенного описания видно, что состояние процесса x(t) в момент времени t+h, при любом h>0 полностью определяется его состоянием в момент времени t, т. е. процесс x(t) является Марковским, и, следовательно, аналитическое моделирование СМО с ограниченным временем ожидания возможно, только если в качестве операционной характеристики состояния рассматривается x(t).