Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методичка по инж.графике в помощь

.pdf
Скачиваний:
83
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
907.48 Кб
Скачать

Фронтальная плоскость задана треугольником АВС (АВС || П2) (рис.65). В2

А2

 

Горизонтальная проекция треугольника

 

 

 

АВС – прямая линия А1В1С1 параллельна оси

 

С2

 

проекций Х (признак фронтальной плоскости)

 

О

Фронтальная проекция треугольника равна

Х

 

 

его натуральной величине (А2В2С2 = АВС).

А1 С1 В1

Рис.65. Фронтальная плоскость задана треугольником

в) профильная плоскость – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций.

Профильная плоскость Р задана следами (Р || П3) (рис.66). Z

 

 

 

 

П2

 

 

Горизонтальный

и фрон-

РП2

 

 

РП2

 

тальные следы этой плос-

 

 

Р

 

П3

РХ

 

кости

перпендикулярны

РХ

 

 

О

оси проекций Х (РП1, РП2

Х

 

 

О

X

 

Х). Это признак профиль-

 

 

 

 

 

РП1

 

 

РП1

 

ной плоскости Р.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

Рис.67. Чертеж профиль-

 

 

 

Рис.66. Профильная плос-

ной плоскости Р, заданной

 

 

 

 

 

кость Р

 

 

следами

 

 

 

 

Профильная плоскость задана треугольником АВС (АВС || П3)(рис.68).

В2

 

 

 

 

Z

В3

Горизонтальная и фронтальная проек-

 

 

 

 

 

 

 

 

С2

 

 

 

 

 

С3

ции

треугольника

АВС

выражены

А2

 

 

 

 

 

 

прямыми линиями А1В1С1, А2В2С2,

Х

 

 

 

О А3

Y

расположенными

перпендикулярно

 

 

 

 

оси проекций Х (признак профильной

А1

 

 

 

 

 

 

плоскости).

проекция треугольника

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Профильная

В1

 

 

 

 

 

 

равна

его

натуральной

величине

С1

 

 

 

 

Y

 

3В3С3 = АВС).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.68. Профильная плоскость задана треугольником

30

Прямая в плоскости

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки плоскости, или проходит через точку плоскости и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости, или параллельной ей (рис.69).

Е

Точки А и В принадлежат плоскости Р. Со-

Fединяя их прямой линией, получим отрезок АВ, принадлежащий плоскости Р.

 

B

P

Точка С принадлежит плоскости Р. Проведя

A

 

C

через точку С прямую параллельную АВ, полу-

D

K

 

чим отрезок СD, принадлежащий плоскости Р.

 

 

Рис.69. Прямая в плоскости

Отрезок EF параллелен плоскости Р. Проведя через точку С прямую, параллельную EF, получим отрезок СК, принадлежащий плоскости Р.

Примечание.

Если плоскость задана следами, то за две точки плоскости можно принять следы прямой, лежащие в данной плоскости. Поэтому прямая принадлежит плоскости, если ее следы принадлежат одноименным следам плоскости

(рис.70).

П2

NN2

РП2

A

РХ

Х

РП1 В

ММ1 П1

Рис.70. Прямая принадлежит плоскости, если ее

следы принадлежат одноименным следам плоскости

 

 

 

 

 

N – фронтальный след пря-

 

 

 

 

 

мой АВ, лежащей в плоскости

N2

 

 

 

 

Р. М – горизонтальный след

PП2

 

А2

прямой АВ, лежащей в плоско-

 

РХ N2

 

 

В2

сти Р.

 

 

Х

 

 

 

 

На чертеже (рис.71) следы

А1

 

 

 

M2

обозначены проекциями (точ-

РП1

 

 

 

 

ки М12 – проекции горизон-

 

 

 

В1

тального следа прямой АВ, а

 

 

 

 

 

 

М

 

точки N1, N2 – проекции фрон-

 

 

 

 

 

 

 

1

тального следа прямой АВ).

Рис.71. Чертеж прямой, принадлежащей плоскости

Прямая АВ принадлежит плоскости т.к. ее следы лежат на одноименных следах этой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит параллельно одному из следов, а с другим имеет общую точку (рис.72).

31

 

П2

 

РП2

 

 

Прямая CD параллельна гори-

С

 

 

 

 

зонтальному следу РП1 1D1 ||

РП2

 

 

С2

 

D2

РП1, C2D2 || X).

РХ

D

РХ

С1

 

 

Точка С принадлежит фрон-

Х

 

Х

 

 

D1

тальному следу РП2.

 

 

 

 

Значит CD принадлежит плос-

РП1

 

 

 

 

П1

 

РП1

 

 

кости Р.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.72. Прямая принадлежит плоскости, если она прохо-

 

дит параллельно одному из следов, а с другим имеет об-

 

щую точку

 

 

 

 

 

 

 

 

Главные линии плоскости

Прямые линии, лежащие в плоскости и параллельные плоскостям проекций,

называются главными линиями плоскости (рис.73).

Горизонталь – линия плоскости, параллельная горизонтальной плоскости

проекций.

 

 

 

 

 

 

Фронталь - линия плоскости, параллельная фронтальной плоскости про-

екций.

 

В2

 

 

 

 

М2

 

AN – горизонталь плоскости АВС.

 

 

 

N2

A2N2 – фронтальная проекция горизонтали

 

 

A2

 

 

(A2N2 || X)

 

X

 

C2 A1N1 – горизонтальная проекция горизонтали

 

 

СМ - фронталь плоскости АВС.

A1

 

 

 

 

С1М1

-

горизонтальная проекция фронтали

 

 

 

M1

C1

1М1 || Х).

 

 

B1

N1

С2М2 - фронтальная проекция фронтали

 

 

 

 

 

 

Рис.73. Горизонталь и фронталь

 

 

 

 

 

плоскости

 

 

 

 

 

Если плоскость задана следами, то следы этой плоскости являются нулевы-

ми горизонталью и фронталью этой плоскости.

Горизонтальная проекция горизонтального следа плоскости является гори-

зонтальной проекцией нулевой горизонтали, а фронтальная проекция нулевой

горизонтали расположена на оси проекций Х.

 

Фронтальный след плоскости является нулевой фронталью. Фронтальная

проекция фронтали совпадает с фронтальным следом, а горизонтальная проек-

ция фронтали лежит на оси проекции Х.

 

32

Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций

Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций П1, П2 и П3 называются прямые, лежащие в ней и перпендикулярные к горизонталям плоскости, или к ее фронталям, или к ее профильным прямым. В первом случае определяется наклон к плоскости П1, во втором – П2, в третьем – к П3.

Линии плоскости, перпендикулярные горизонталям плоскости, называются линиями ската. С помощью любой из этих линий ската определяется угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций.

Задача: определить угол наклона плоскости треугольника АВС к горизон-

тальной плоскости проекций (рис.74).

 

С2

 

Решение

 

 

 

1. Проводим горизонталь плоскости. Фрон-

 

 

тальная проекция горизонтали парал-

 

α

лельна оси проекций Х (А2М2 || X). Затем

M2

А2

строим горизонтальную проекцию гори-

 

B2

зонтали А1М1.

X

N2

2. Проводим линию ската CN. Горизон-

 

тальная проекция линии ската перпенди-

C1

A1

кулярна горизонтальной проекции гори-

 

 

зонтали

(C1N1 A1М1). Строим фрон-

M1

 

тальную проекцию линии ската С2N2 .

N1

3. α - угол наклона плоскости треугольника

 

АВС к горизонтальной плоскости П1.

 

B1

 

 

Рис.74. Построение угла наклона

 

 

плоскости треугольника АВС

 

 

к горизонтальной плоскости проекций

 

 

Точка в плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она лежит на линии этой плоскости. Для нахождения точки, лежащей в плоскости, предварительно проводят ли-

нию плоскости и на этой линии выбирают точку.

33

Задача: дана фронтальная проекция точки М - М2, лежащая в плоскости треугольника АВС. Требуется построить горизонтальную проекцию точки М-М1 (рис.75).

В2

12 М2

С2

А2

Х

В1

11

М1 А1 С1

Рис.75. Построение горизонтальной проекции точки М, лежащей в плоскости треугольника

Решение

1.Через фронтальную проекцию точки М -

М2 проводим фронтальную проекцию любой прямой плоскости треугольника (в данном случае прямую С212).

2.Находим горизонтальную проекцию прямой С111.

3.Строим горизонтальную проекцию точ-

ки М – М1, которая находится на горизонтальной проекции прямой С111. В этом случае точка М принадлежит плоскости треугольника АВС.

Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут пересекаться или быть параллельными.

Параллельные плоскости

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны (условие параллельности плоскостей).

За пересекающиеся прямые плоскости можно принимать и их следы. Из этого следует, что если плоскости параллельны, то их одноименные следы параллельны (рис76).

РП2

П2

РП2

QП2

Если плоскость Р парал-

QП2

 

 

P

Q

 

 

лельна плоскости Q, то их

Х

 

 

Х

 

одноименные

следы

па-

РХ

QХ

РХ

QХ

раллельны (РП2

|| QП2,

РП1 ||

 

 

 

 

 

QП1).

 

 

РП1 QП1 П1 РП1 QП1

Рис.76. Параллельные плоскости ( в пространстве и на чертеже)

34

Задача: через точку М провести плоскость, параллельно плоскости треугольника АВС. Плоскость выразить двумя пересекающимися прямыми МЕ и

МК (рис.77).

 

 

 

 

 

 

В2

 

М2

Решение

 

 

 

 

 

 

 

Е2

К2

1.

Через точку М проводим прямую

А2

 

 

 

 

МЕ, параллельную АВ (М2Е2 || А2В2,

 

 

С2

 

 

2.

М1Е1 || А1В1).

 

 

 

 

 

Через точку М проводим прямую

Х

 

С1

 

 

 

МК, параллельно прямой ВС (М2К2

 

 

 

К1

 

|| В2С2, М1К1 || В1С1).

 

 

 

Плоскость МКЕ параллельна плоскости

А1

 

 

 

треугольника АВС.

Е1 В1 М1

Рис.77. Построение плоскости, параллельно заданной

Пересекающиеся плоскости

Две плоскости пересекаются между собой по прямой линии, которая определяется двумя точками, одновременно принадлежащими пересекающимся плоскостям.

Определяются эти точки специальным построением, которое зависит от положения пересекающихся плоскостей.

Построение линий пересечения двух плоскостей, одна из которых является плоскостью частного положения

Когда одна из пересекающихся плоскостей является плоскостью частного положения, то построение линии пересечения упрощается, так как одна из проекций плоскости частного положения проецируется в виде прямой линии, на которой будет находиться одна из проекций линии пересечения.

35

Задача 1. Построить линию пересечения двух треугольников АВС и DEF. Треугольник DEF – горизонтальная плоскость. А(10,25,5); В(35,5,35);

С(50,25,10); D(7,20,15); E(55,3,15); F(60,25,15). Определить видимость линий (рис.78).

 

 

 

 

В2

F2

E2 M2

N2 D2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2

A2

X

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

E1

 

 

 

 

 

 

B1

 

 

 

M1

N1

 

 

 

 

D1

F1

 

 

C1

A1

Рис.78. Построение линии пересечения двух треугольников, из которых один является горизонтальной плоскостью

Решение

1.Т.к. треугольник DEF расположен параллельно горизонтальной плоскости проекций, то фронтальная проекция это-

го треугольника прямая линия D2E2F2, параллельна оси проекций Х. Фронталь-

ная проекция линии пересечения М2N2 находится на фронтальной проекции треугольника DEF, т.е. на линии D2E2F2.

2.Находя горизонтальные проекции точек

линии пересечения треугольников М1 и N1 на одноименных проекциях сторон треугольника АВС (С1В1 и А1В1) и соединяя их прямой линией, получим горизонтальную проекцию линии пересечения

М1N1.

3. Определяем видимость линий с помощью конкурирующих точек.

Задача 2. Построить линию пересечения плоскости треугольника АВС гори- зонтально-проецирующей плоскостью Р, заданной своими следами. Определить видимость линий (рис.79).

В2

РП2

 

N2

Решение

 

A2

M2

C2

1. Так как горизонтальный след горизон-

PX

 

 

 

тально-проецирующей плоскости Р (РП1)

X

 

 

 

 

является собирательным, то горизонталь-

 

 

 

 

 

 

 

C1

ная проекция линии пересечения M1N1

 

A1

M1

 

 

лежит на этом следе, в пределах плоскости

 

 

 

N1

треугольника АВС.

 

 

 

PП1

2. Горизонтальные проекции точек линии

 

 

 

B1

пересечения М1 и N1 принадлежат гори-

Рис.79. Построение линии пересечения

зонтальным проекциям сторон треуголь-

треугольника с горизонтально проеци-

ника АВС (А1В1 и В1С1).

 

 

рующей плоскостью Р

 

Это значит, что фронтальные проекции точек линии пересечения М2 и N2 будут принадлежать фронтальным проекциям сторон треугольника - А2В2, В2С2. Соединяя точки М2 и N2, получим фронтальную проекцию линии пересечения.

3. Определяем видимость линий.

36

Пересечение двух плоскостей, заданных следами

В этом случае линия пересечения строится по ее следам, которые находятся в точках пересечения одноименных следов пересекающихся плоскостей (рис.80).

QП2

РП2

П2

 

 

РП2

 

QП2

 

 

N2

 

Р

Q

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

QX

РХ

QX

M2

N1

PX

Х

 

X

 

 

 

 

М

 

 

M1

 

 

РП1

 

РП1

 

 

 

QП1 П1

 

QП1

 

Рис.80. Пересечение двух плоскостей (в пространстве и на чертеже)

MN – линия пересечения.

М – горизонтальный след линии пересечения.

М1 – горизонтальная проекция горизонтального следа линии пересечения находится в точке пересечения одноименных горизонтальных следов плоскостей

РП1 и QП1.

М2 – фронтальная проекция горизонтального следа. Она находится на оси проекций Х.

N - фронтальный след линии пересечения.

N2 - фронтальная проекция фронтального следа линии пересечения находится в точке пересечения одноименных фронтальных следов плоскостей РП2 и QП2. N1 – горизонтальная проекция фронтального следа. Она находится на оси проекций Х.

Соединяя одноименные проекции следов линии пересечения прямой, получим соответствующие проекции линии пересечения.

M1N1 – горизонтальная проекция линии пересечения.

M2N2 – фронтальная проекция линии пересечения.

Общий случай построения линии пересечения двух плоскостей

В данном случае для построения линии пересечения двух плоскостей применяется способ вспомогательных секущих плоскостей уровня. В качестве вспомогательных секущих плоскостей берут две плоскости. Обычно это горизонтальные или фронтальные плоскости. Вспомогательные плоскости пересекают заданные плоскости по некоторым линиям (горизонталям или фронталям) и там, где эти линии пересекаются между собой, содержатся общие точки пересекающихся плоскостей, т.е. точки определяющие линию пересечения.

37

Задача: построить линию пересечения двух плоскостей АВС и DEF, заданных в общем виде (рис.81).

 

 

 

 

В2

 

 

 

 

D2

 

РП2 12

 

 

22

 

N2

32

 

 

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QП2 52

 

 

62

 

M2 E2

 

 

72

 

 

82

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

B1

 

 

 

 

 

 

 

D1

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

81

 

 

 

 

 

 

51

61

 

 

 

 

31

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

 

N1

 

 

71

 

 

 

 

 

 

F1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.81. Общий случай построения линии пересечения двух плоскостей

Решение 1. Применяем первую вспомогательную секущую горизонтальную плоскость

Р (на чертеже она выражена фронтальным следом РП2).

Эта плоскость пересекает заданные плоскости по прямым, которые выражены своими проекциями 1222, 1121 и 3242, 3141. Там, где пересекаются одноименные проекции этих линий, содержится общая точка N пересекающихся плоскостей (N1, N2).

2.Выполняем аналогичное действие, применяя вторую вспомогательную секущую горизонтальную плоскость Q, которая выражена фронтальным сле-

дом QП2.

Эта плоскость пересекает заданные плоскости по прямым, которые выраже-

ны своими проекциями 5262, 5161 и 7282, 7181. В пересечении одноименных проекций этих линий получим вторую общую точку М(М1, М2).

3.Соединяя одноименные проекции точек M и N, получим соответствующие проекции линии пересечения.

М1N1 – горизонтальная проекция линии пересечения. М2N2 – фронтальная проекция линии пересечения.

38

Относительное положение прямой и плоскости

Существует три положения прямой относительно плоскости

Прямая принадлежит плоскости.

Прямая параллельна плоскости.

Прямая пересекает плоскость.

Для выяснения положения прямой относительно плоскости необходимо выполнить следующие действия:

1.Прямую заключают во вспомогательную, обычно проецирующую плоскость.

2.Строят линию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей.

3.Устанавливают взаимное положение заданной прямой и линии пересечения. При этом может быть три варианта:

a)Прямая совпадает с линией пересечения – прямая принадлежит плоскости.

b)Прямая параллельна линии пересечения – прямая параллельна плоскости.

c)Прямая пересекает линию пересечения – прямая пересекает плоскость в точке их пересечения.

Задача: построить точку пересечения отрезка прямой MN с плоскостью

треугольника АВС. Определить видимость линии (рис.82).

 

 

А (15,17,3); В (50,5,40); С (60,35,10); М (65,5,30); N (7,30,5).

 

 

РП2

В2

 

 

Решение

 

 

F2

 

 

 

1. Прямую MN заключаем во фронталь-

М2

К2

 

 

но-проецирующую

плоскость

Р

C2

 

E2

 

(фронтальный след плоскости РП2

 

 

 

 

проходит через фронтальную проек-

X

 

A2

N2 O

цию прямой M2N2).

 

 

 

 

 

2. Определяем линию пересечения плос-

M1

B1

 

 

кости треугольника фронтально-прое-

 

K1

E1

 

цирующей плоскостью Р (проекции

F1

 

A1

 

линии пересечения- F2E2, F1E1).

 

C1

 

 

N1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.82. Построение точки пересечения

 

 

 

прямой с плоскостью

 

 

 

 

39