Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методичка по инж.графике в помощь

.pdf
Скачиваний:
83
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
907.48 Кб
Скачать

Взаимное пересечение поверхностей

Две поверхности пересекаются между собой по ломанной или кривой пространственной линии.

Если рассматривается монолитная поверхность, состоящая из двух поверхностей, то эта линия называется линией перехода.

Построение линии пересечения двух поверхностей сводится к нахождению точек, одновременно принадлежащих этим поверхностям.

На линии пересечения различают характерные (опорные) точки и вспомогательные (промежуточные), с помощью которых выясняется окончательный характер линии.

К характерным точкам относятся

1.Экстремальные точки. Это точки, проекции которых отделяют видимую часть проекций линии пересечения от невидимой, это проекции точек линии пересечения наивысшие и наинизшие по отношению к

горизонтальной плоскости проекций П1, ближайшие и наиболее удаленные по отношению к наблюдателю, крайние слева и справа на проекции линии пересечения.

2.Точки прехода видимости линии пересечения. Это точки, расположенные на очерковых образующих поверхностях, экваторах и меридианах.

3.Точки пересечения ребер одной поверхности с другой гранной поверхностью, или с кривой поверхностью.

После построения характерных точек определяются вспомогательные (промежуточные) точки линии пересечения.

Точки линии пересечения, лежащие на контурных образующих, экваторах, главных меридианах, основаниях поверхностей – являются точками перехода видимости линии пересечения.

Способы построения линии пересечения поверхностей

Существуют два основных способа построения линии пересечения:

1.Способ вспомогательных секущих плоскостей.

2.Способ вспомогательных секущих сфер.

Первый способ применяется практически для решения всех задач, а способ секущих сфер применяется только для построения линии пересечения поверхностей вращения при условии, что оси вращения их пересекаются и что они параллельны хотя бы одной плоскости проекций.

80

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Суть этого способа состоит в том, что вспомогательная секущая плоскость пересекает каждую из поверхностей по некоторым линиям.

Эти линии, пересекаясь между собой, дают общие точки, принадлежащие двум поверхностям, т.е. точки принадлежащие линии пересечения.

Вспомогательные секущие плоскости выбираются так, чтобы они пересекали заданные поверхности по графически простым линиям (по прямым линиям или окружностям).

Задача: способом вспомогательных секущих плоскостей построить линию пересечения заданных поверхностей (рис. 142).

Решение

1.Сначала определяем характерные точки линии пересечения (точки, лежащие на главном меридиане, экваторе сферы и на контурной образующей конуса).

1.1.Т.к. контурная образующая конуса SA и главный меридиан сферы пересекающиеся линии, то точки их пересечения 1, 2 являются общими для двух поверхностей и принадлежащие линии пересечения. Находятся

они без вспомогательного построения (точки 12, 22; 11, 21). Эти точки определяют видимость линии пересечения на фронтальной проекции.

1.2.Первую вспомогательную горизонтальную секущую плоскость Р, выбираем так, чтобы она пересекла сферу – по экватору (след плоскости

РП1).

Эта плоскость пересекает конус по окружности радиуса R, а сферу по экватору. В пересечении этих окружностей определяются точки 31, 41, а затем 32, 42. Эти точки будут точками перехода видимости линии пересечения на горизонтальной проекции.

2.Определяем промежуточные точки линии пересечения.

2.1.Проводим еще две горизонтальные секущие плоскости Р1, Р2, которые пересекут заданные поверхности по другим окружностям, в пересечении которых определятся еще четыре промежуточные точки линии пересечения.

2.2.После определения промежуточных точек проводим через все точки проекции линии пересечения (1232224212, 1131214111).

3.Определяем видимость линий.

81

 

S2

 

 

12

 

Р1П2

 

 

РП2

3242

О2

R2

Р2П2

22

X

А2

31

R1

11 О1 21

А1

S1

41

Рис. 142. Построение линии пересечения двух поверхностей вращения способом секущих плоскостей

82

Задача: построить линию пересечения поверхности прямого кругового конуса и фронтально проецирующей поверхности цилиндра вращения способом секущих плоскостей. Определить видимость линий (рис. 143).

Х

Рис. 143. Построение линии пересечения поверхности прямого кругового конуса и фронтально проецирующей поверхности цилиндра вращения

83

Решение Построение линии пересечения осуществляется способом вспомогательных

секущих горизонтальных плоскостей, на чертеже заданных своими

фронтальными следами (РП2, Q П2, S П2, L П2, N П2, M П2, K П2).

Каждая секущая плоскость пересекает конус по параллелям – окружностям, а цилиндр по образующим. Там, где эти линии пересекаются между собой, содержатся общие точки двух поверхностей, т.е. точки линии пересечения.

Так как поверхность цилиндра фронтально-прецирующая, то фронтальная проекция линии пересечения будет находиться на фронтальном следе этой поверхности, т.е. на окружности (1222324252627282).

Горизонтальные проекции этих точек строятся с помощью параллелей конуса, которым они принадлежат (1121314151617181).

Экстремалными точками линии пересечения являются точки пересечения контурных образуюших цилиндра с поверхностью конуса, из которых точки 3, 4, 5, 6 являются точками перехода видимости линии пересечения.

Определяется видимость линий.

84

Способ вспомогательных секущих сфер

Способ вспомогательных секущих сфер применяется для построения линии пересечения только поверхности вращения при условии, что оси вращения поверхностей пересекаются между собой и параллельны хотя бы одной плоскости проекций.

Этот способ подразделяется на два случая.

1.Способ концентрических секущих сфер, при котором секущие сферы проводятся из одного центра.

2.Способ эксцентрических секущих сфер, при котором центр секущих сфер перемещается по оси одной из поверхностей вращения и поэтому он иногда

называется «Способ блуждающих центров».

Суть способа секущих сфер заключается в том, что каждая секущая сфера пересекает поверхность вращения по окружности. Эти окружности на одной из проекций выглядят в виде отрезков прямой линии, и там где эти линии (окружности) пересекаются между собой, содержатся общие точки пересекающихся поверхностей, т.е. точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей.

Поверхности вращения будут пересекаться между собой по пространственным кривым линиям четвертого порядка, и строются они по точкам, одновременно принадлежащим пересекающимся поверхностям. Общие точки поверхностей отыскиваются с помощью концентрических секущих сфер.

За центр секущих концентрических сфер принимается точка пересечения осей вращения поверхностей.

Затем, с помощью радиусов вписанных сфер в поверхности вращения определяется, какая поверхность будет пересекающей, а какая пересекаемой. Поверхность, у которой радиус вписанной сферы будет меньше, та поверхность будет пересекающей, а другая пересекаемой.

Х

Рис. 144. Пересечение двух поверхностей вращения с равными радиусами вписанных секущих сфер

Примечание

1.Если радиусы секущих вписанных сфер

вповерхности вращения окажутся равными, то пространственная кривая линия пересечения четвертого порядка распадается на две плоские линии второго порядка (рис. 144).

85

 

 

 

R

 

 

 

2. Соосные поверхности вращения, т.е.

 

 

 

 

 

 

поверхности, имеющие одну ось вращения,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пересекаются между собой по окружностям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

 

(см. R, R1) (рис. 145).

 

 

Х

 

 

 

 

 

Рис. 145. Пересечение соосных

 

 

 

 

 

поверхностей вращения

S2

3. Два цилиндра вращения с парал-

 

 

A2 C2

 

 

 

 

 

 

 

 

лельными образующими, два конуса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вращения с общей вершиной пересе-

Х

 

 

 

 

 

каются по двум прямым –

 

 

B2 D2

Х

 

образующим (рис. 146).

 

 

 

A1 B1

A2B2

 

Цилиндры

пересекаются

по

 

 

 

 

 

A1

 

образующим АВ и СD, а конусы – по

 

 

 

 

 

S1

 

 

 

C1 D1

B1

 

SA и SB.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 146. Пересечение цилиндров и конусов

Задача: способом концентрических секущих сфер построить линию пересечения поверхности прямого кругового конуса и цилиндра вращения. Определить видимость линий (рис. 147).

Решение Т.к. пересекаются поверхности вращения конус и цилиндр, оси вращения,

у которых пересекаются и параллельны плоскостям проекций, то задача решается с помощью способа концентрических секущих сфер.

1.Сначала определяем точки пересечения контурных образующих конуса и

цилиндра (точки 12, 22; 11, 21). Эти точки будут общими для двух поверхностей, т.к. эти образующие являются пересекающимися прямыми линиями.

2.Затем определяется, какая поверхность будет пересекающей, какая пересекаемой. Для этого определяется радиус вписанной сферы поверхности цилиндра и конуса. Радиус вписанной сферы в поверхность цилиндра равен радиусу основания цилиндра – r.

Для определения радиуса вписанной сферы в конус из центра пересечения

осей О опускаем перпендикуляр на контурную образующую конуса, это и будет радиус вписанной сферы в поверхность конуса – r1.

86

12

3242

rmin

r

О2

52 62 rmax

22

R

51

31

21 11

О1

41

61

Рис. 147. Пересечение поверхности прямого кругового конуса и цилиндра вращения

Сравниваем величины радиусов сфер, вписанных в поверхности цилиндра и конуса. Радиус сферы, вписанной в цилиндр, в нашем случае меньше радиуса сферы, вписанной в конус, поэтому поверхность цилиндра будет пересекающей, а поверхность конуса – пересекаемой.

3.Первая секущая сфера проводится радиусом – rmin . Эта сфера пересекает конус по одной окружности, а цилиндр по двум окружностям, которые на фронтальной проекции выглядят в виде отрезков прямых линий, перпендикулятных оси проекций, и, пересекаясь между собой определяют общие точки поверхностей (точки 3, 4). Фронтальные проекции точек 32 и

87

42 совпадают, а горизонтальные проекции точек 31 и 41 находят с помощью параллелей (окружностей) конуса, на которых они лежат.

4.Вторая секущая сфера проводится еще бóльшим радиусом R, но так, чтобы она прошла через точку пересечения контурных образующих конуса с горизонтальной осью цилиндра, для того, чтобы определить точки перехода видимости линии пересечения. Эта сфера пересекает и конус, и цилиндр по двум окружностям (прямым линиям, параллельным основаниям). Пересекаясь между собой, эти окружности дают общие точки, лежащие на контурных образующих цилиндра и являются точками перехода видимости линии пересечения (точки 52, 62; 51, 61).

5.Третья секущая сфера проводится произвольным радиусом, не выходя за

пределы точки 22. С помощью этой сферы находятся промежуточные точки, которые и определяют окончательный характер линии пересечения. Соединяя одноименные проекции точек линии пересечения, получим соответствующие проекции линии пересечения поверхности.

Задача: способом эксцентрических секущих сфер построить линию пересечения заданных поверхностей (рис. 148).

Решение Т.к. одна из пересекающихся поверхностей – сфера, у которой бесчисленное

количество осей вращения, то точек пересечения оси конуса вращения с осями поверхности сферы будет так же множество. Учитывая это, задача может быть решена способом эксцентрических секущих сфер (способом блуждающих центров).

1.Сначала отмечаем фронтальные проекции точек пересечения контурной образующей SA конуса с главным меридианом сферы, так как это пересе-

кающиеся линии (точки 12, 22 на А2В2).

Горизонтальные проекции точек (11, 21) находим на горизонтальной проекции контурной образующей конуса S1A1 и горизонтальной проекции меридиана сферы, которые совпадают.

2.Из любой точки, расположенной на оси вращения конуса, произвольным радиусом проводим первую секущую сферу так, чтобы она пересекла конус по окружности, совпадающей с экватором. Это необходимо для того, чтобы получить точки линии пересечения, лежащие на экваторе. Они будут являться точками перехода видимости линии пересечения.

Эта секущая сфера пересекает заданную поверхность сферы также по окружности, и там, где эти окружности пересекаются между собой, образуются общие точки линии пересечения (точки 32, 42).

3.Аналогично проводим две вспомогательные секущие сферы произвольными радиусами с центрами, расположенными на оси вращения конуса, и определяем фронтальные проекции промежуточнх точек линии пересечения.

4.Горизонтальные проекции точек линии пересечения находим с помощью горизонтальных проекций параллелий конуса, которым принадлежат точки пересечения.

88

5.Соединяя фронтальные проекции точек линии пересечения и соединяя горизонтальные проекции точек линии пересечения, с учетом видимости линий, получим соответсвующие проекции линий пересечения.

S2

12

3242

Х

22 A2

31

S1 11

21 A1

41

Рис. 148. Пересечение двух поверхностей вращения способом эксцентрических секущих сфер

89