математика II 2008 6 лет

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики

И.Н. Пирогова Н.О. Борисова А.И. Недвецкая

Математика

Часть II

Екатеринбург

2008

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики

И.Н. Пирогова Н.О. Борисова А.И. Недвецкая

Математика

Учебно-методическое пособие по дисциплине « Математика»

для студентов заочной формы обучения технических специальностей (6,5 лет обучения)

В четырех частях

Часть II

Екатеринбург

2008

2

УДК 51

П33

Пирогова И.Н., Борисова Н.О., Недвецкая А.И. Математика: Учеб.- метод. пособие. Ч.II. – Екатеринбург: УрГУПС, 2008. – 72 с.

Учебно-методическое пособие предназначено для проведения занятий, а также для самостоятельной работы по математике студентов 1 курса заочной формы обучения технических специальностей.

В пособии содержатся краткие теоретические сведения по следующим разделам: неопределенный интеграл, определенный интеграл, несобственные интегралы, приложения определенного интеграла, комплексные числа, дифференциальные уравнения, а также примеры решения задач по данной теме, задания для трех контрольных работ и вопросы к экзамену.

Авторы:

И.Н. Пирогова, ст.препод. каф. «Высшая математика» УрГУПС, Н.О.Борисова, ст.препод. каф. «Высшая математика» УрГУПС А.И. Недвецкая, ст.препод. каф. «Высшая математика» УрГУПС.

.

Рецензенты:

Г.А. Тимофеева, зав. каф. «Высшая математика» УрГУПС, д-р. физ-мат. наук, профессор, Э.Е. Поповский, доц. каф. «Высшая математика» УрГУПС.

©Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС), 2008

3.Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат………............. ................................................................... 35

4.Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе

4

5

Введение

Работа студента-заочника над курсом математики предполагает самостоятельное изучение теоретического материала и выполнение практических заданий. Для этой цели служат контрольные работы, выполняемые в течение семестра.

В пособии содержатся теоретические сведения и методические указания, необходимые для выполнения контрольных работ; указана дополнительная литература по каждому разделу. Вариант контрольной работы студент выбирает в соответствии с присвоенным ему шифром (номеру варианта соответствует последняя цифра шифра в зачетной книжке).

Правила выполнения контрольной работы.

1.Каждая контрольная работа должна быть выполнена

вотдельной тетради и сдана в деканат (не забудьте указать фамилию преподавателя!).

2.Работу следует оформлять в тонкой тетради, оставляя место для исправления ошибок (желательно писать на левой странице, оставляя чистой правую). Если при проверке работы в ней обнаружены ошибки, то студент должен их исправить и отослать работу на проверку вновь. Работа должна быть отправлена не позднее чем за две недели до начала сессии.

3.Решение задач должно быть достаточно подробным и логически обоснованным. Полезно в ходе решения приводить формулы, формулировки теорем или другие теоретические сведения, на основании которых делается заключение.

6

Краткие теоретические сведения и рекомендации по выполнению контрольных работ

I. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. Понятие неопределенного интеграла

Рассмотрим задачу, обратную задаче дифференцирования: для данной функции y=f(x) найти функцию F(x), такую, что F ′(x) = f (x) . Функция F(x) называется первооб-

разной для функции f(x). Если С постоянная величина, то (F(x) +C)′ = f (x) , т.е. F(x)+C – тоже первообразная для функции f(x). Например, для функции y = 3x2 функции

F1( x ) = x3 и F2 (x) = x3 +3 являются первообразными. Множество всех первообразных для данной функции

f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x)

и обозначается

∫ f (x)dx = F (x) +C .

Здесь f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением. Операция нахож-

дения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых F(x)+C, причем каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства. График каждой первообразной называется интегральной кривой.

Приведем основные свойства неопределенных интегралов.

1. (∫ f (x)dx)′ = f (x) .

7

2.∫(f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx .

3.∫cf ( x )dx = c∫ f ( x )dx , (где c = const ).

4.∫dF( x ) = F( x ) +C .

5.d( ∫ f ( x )dx ) = f ( x )dx .

6.Если ∫ f (x)dx = F(x) + C , то

∫f ( ax + b )dx = a1 F( ax + b ) + C .

7.Если ∫ f (x)dx = F (x) +C , и u =ϕ( x ) –

дифференцируемая функция, то ∫ f ( u )du = F( u ) + C .

Таблица интегралов

8

2. Метод непосредственного интегрирования

Часто задача нахождения неопределенного интеграла решается сведением интеграла к сумме табличных интегралов путем алгебраических преобразований.

Примеры

= ∫ 2x 2 dx + ∫ 1 + x22 dx = 2∫ 1 2 dx + ∫dx = x(1 + x ) x(1 + x ) 1 + x x

= 2arctgx + ln x +C .

Свойство 7 значительно расширяет возможности таблицы интегралов, благодаря ему таблица интегралов оказывается справедливой независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой функцией.

В данном примере неявно подразумевалось u = x +1 , при этом, применяли свойство 7 и табличный интеграл 11.

f ( x ) мы не можем. Сделаем замену переменной, положив x = ϕ( t ) , где ϕ( t ) – непрерывная функция, имеющая не-

прерывную производную. Тогда dx = ϕ′( t )dt и ∫ f (x)dx =

∫ f (ϕ(t)) ϕ′(t)dt . Найдя интеграл в правой части, следует

вернуться к старой переменной х.

Успех интегрирования зависит от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену, которая упростит интеграл.

Примеры

.

При интегрировании иногда целесообразно подбирать замену переменной не вида x = ϕ( t ) , а вида u = t( x ) .

10