математика II 2008 6 лет

4. Метод интегрирования по частям

Пусть u = u( x ) и v = v( x ) – функции, имеющие не-

прерывные производные. Тогда по свойству дифференциалов d( uv ) = udv + vdu . Интегрируя это равенство, получим

формулу интегрирования по частям ∫udv = uv − ∫vdu . При

применении этой формулы подынтегральное выражение представляется в виде произведения двух множителей

11

u и dv так, чтобы отыскание v и ∫vdu составляли в совокупности более простую задачу, чем нахождение интеграла ∫udv . Укажем некоторые типы интегралов, которые нахо-

∫Pn ( x ) arccos xdx, ∫Pn ( x )arctgxdx, ∫Pn ( x )arcctgxdx . В

этих случаях за u принимаем функцию, являющуюся множителем при Pn (x) , тогда dv = Pn ( x )dx .

Рассмотрим применение этой формулы на примерах.

Примеры

12

2

Замечание. Иногда для нахождения интегралов, указанных типов, нужно интегрирование по частям применить последовательно несколько раз, например, для интегралов вида

∫Pn (x)ekx dx, ∫Pn (x) sin kxdx , если степень многочлена выше первой.

5.Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью называется функция, равная отношению двух мно-

гочленов Pm (x) , где Pm ( x ) – многочлен степени m, Qn ( x ) Qn (x)

– многочлен степени n. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае дробь называется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель.

13

Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей. Для этого знаменатель правильной дроби запишем в виде произведения линейных и квадратичных многочленов:

Qn (x) = a0 (x − a)(x −b)(x −c)...(x2 + px + q)(x2 +lx + s) ,

называется корнем кратности k , если k = 1 , то корень называется простым.

Пусть a – простой корень, b – корень кратности 2, c – корень кратности 3, т.е.

Qn (x) = a0 (x −a)(x −b)2 (x −c)3...(x2 + px + q)(x2 +lx + s).

Здесь A, B1 , B2 , C1 , C2 , C3 , M , N , E, F – неопределенные ко-

эффициенты, которые находят методом сравнения коэффициентов при одинаковых степенях x , а также методом частных значений аргумента. Тогда исходный интеграл сводится к сумме табличных интегралов.

Примеры

Решение

Для нахождения этого интеграла разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Найдем А, В, С методом частных значений аргумента. Для этого приведем простейшие дроби с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю и приравняем числитель получившейся дроби и числитель исходной правильной дроби.

x2 − 2x + 2 = A(x − 2)(x + 4) + Bx(x + 4) +Cx(x − 2);

15

2. ∫ xx32+−23xx2 ++2x dx .

Решение

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби, учитывая, что x = 0 является простым корнем знаменателя дроби, а x = −1 – корнем кратности 2:

метод сравнения коэффициентов при одинаковых степенях x . Для этого распишем правую часть подробнее, собрав коэффициенты при одинаковых степенях:

Замечание. Рекомендуется комбинировать два способа определения коэффициентов (как приведено ниже):

x = 0 : A = 2;

x = −1: 6 = −C;

x2 : 1 = A + B. В = −1.

Продолжим нахождение исходного интеграла:

16

6.Методы интегрирования некоторых классов тригонометрических функций

При нахождении интегралов типа ∫sinm x cosn xdx используются следующие приемы:

1)замена sin x = t , если n – целое положительное нечетное число;

2)замена cos x = t , если m – целое положительное нечетное число;

3) формулы понижения степени 2 cos2 x =1 + cos 2x ,

2sin2 x =1 −cos 2x , если n, m – целые неотрицательные четные числа. Рассмотрим примеры нахождения интегралов от тригонометрических функций.

Примеры

формулы, в частности, полезно помнить, что тригонометрическая единица равна 1 = sin2 x + cos2 x . Откуда вытекает и