математика II 2008 6 лет

формуле Ньютона-Лейбница, используя метод подстановки.

31

III. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1. Несобственный интеграл I рода

Пусть функция f ( x ) определена и непрерывна на промежутке [a;+∞). Если существует конечный предел

b

lim ∫ f ( x )dx , то его называют несобственным интегралом

b→+∞ a

+∞

первого рода и обозначают ∫ f ( x )dx . В этом случае гово-

a

рят, что несобственный интеграл сходится. Если указанный предел равен бесконечности или не существует, то интеграл

расходится.

Аналогично определяют несобственный интеграл на

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой

+∞ с +∞

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ,

−∞ −∞ с

где с– произвольное число. В этом случае интеграл сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

a

геометрически он равен площади бесконечно длинной криволинейной трапеции (рис. 2).

32

промежутке [a;b) и имеет бесконечный разрыв при x = b .

b−ε

его называют несобственным интегралом второго рода и

b

обозначают ∫ f ( x )dx . Если предел в правой части сущест-

a

вует, то несобственный интеграл сходится. Если этот предел равен бесконечности или не существует, то интеграл

расходится.

Аналогично, если функция f ( x ) терпит бесконечный

Если функция терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [a;b], то несобственный интеграл второго рода оп-

33

b c b

ределяется формулой ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx . В

a a c

этом случае интеграл называется сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящие в правой части равенства, сходятся.

Примеры

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

+∞dx

1. ∫1 x3 .

Решение

=−(ln ln 2 −lim ln ln(1 +ε)) = −∞ .

ε→0

Интеграл расходится.

34

3.Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат

Исходя из геометрического смысла определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс ( f ( x ) ≥ 0 ), равна соответствующему оп-

ределенному интегралу (рис.3):

35

Решение

Изобразим кривые на чертеже (рис.4). Решив систему

y = −x2

y = x − 2 , получаем координаты двух точек пересе-

чения А (1; -1) и В (-2; -4). Искомую площадь S криволинейного треугольника можно представить как разность площадей двух криволинейных трапеций АСDB и AOB.

Рис. 4

36

4.Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат

Фигура, ограниченная графиком функции (рис.5) r = r(ϕ ) и двумя лучами ϕ = α и ϕ = β , называется криво-

линейным сектором. Его площадь вычисляется по формуле

S = 1 ∫β r2 (ϕ )dϕ . 2 α

A r(ϕ)

ϕ=β

B

ϕ=α

Рис. 5

Если фигура имеет более сложную форму, то ее необходимо разбить лучами, выходящими из полюса, на криволинейные секторы. Может также встретиться фигура вида, изображенного на чертеже 6. В этом случае площадь фигуры может быть найдена как разность площадей двух криволинейных секторов ОАВ и ОСD по формуле

S = 1 ∫β (r12 (ϕ) − r22 (ϕ))dϕ . 2 α

37

ϕ=β A r2(ϕ)

D B

r1(ϕ) C ϕ=α

Рис.7

38

Решение

Площади всех лепестков «трехлепестковой розы» равны, а каждый лепесток симметричен относительно своей оси, поэтому найдем площадь половины одного лепестка, умножим ее на 6 и получим площадь искомой фигуры:

ππ

Тогда площадь всей фигуры равна

S= 6S1 = 6 π6 = π .

5.Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть в прямоугольной системе координат задана плоская кривая АВ уравнением y = f ( x ) , где a ≤ x ≤ b .

Если функция f ( x ) и ее производная непрерывны на отрезке [a;b], то длина кривой АВ может быть найдена по формуле

b

l = ∫ 1 + ( f x′(x))2 dx .

a

Если линия задана уравнением x = ϕ( y ), c ≤ y ≤ d , то ее длина вычисляется по формуле

39

d

l = ∫ 1 + (ϕ′y ( y))2 dy .

ные функции с непрерывными производными и a = x(t1 ) , b = x(t2 ) , то длина кривой АВ находится по формуле

t2

l = ∫ (xt′)2 +( yt′)2 dt .

t1

Примеры

1. Найти длину дуги кривой y = ln(2x) на промежутке

3 ≤ x ≤ 8 .

40