математика

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Уральский государственный университет путей сообщения

Кафедра высшей математики

И.Н. Пирогова Н.О. Борисова А.И. Недвецкая

Математика

Учебно-методическое пособие по дисциплине

« Математика»

Для студентов заочной формы обучения технических специальностей (6,5 лет обучения)

В четырех частях

Часть II

Екатеринбург

2007

УДК 51

П33

Пирогова И.Н., Борисова Н.О., Недвецкая А.И. Математика: Учеб.- метод. пособие. Ч.II. – Екатеринбург: УрГУПС, 2007. – 72 с.

Учебно-методическое пособие предназначено для проведения занятий, а также для самостоятельной работы по математике студентов 1 курса заочной формы обучения технических специальностей. При создании руководства использованы материалы кафедры «Высшая математика» УрГУПС по заочному обучению.

Пособие содержит краткие теоретические сведения по изучаемым разделам, примеры решения задач по данной теме, задания для контрольных работ и вопросы к экзамену.

Вторая часть содержит 3 контрольные работы по темам: неопределенный интеграл, определенный интеграл, комплексные числа, диффе-

ренциальные уравнения.

Авторы: И.Н.Пирогова, ст.препод. каф. «Высшая математика» Н.О.Борисова, ассистент каф. «Высшая математика», А.И. Недвецкая, ст.препод. каф. «Высшая математика»

.

Рецензенты:

Г.А. Тимофеева, зав.каф. «Высшая математика», докт. физ-мат. наук, проф..

© Уральский государственный университет путей сообщения

(УрГУПС), 2007

Введение

Работа студента-заочника над курсом математики в УрГУПС предполагает самостоятельное изучение теоретического материала и выполнение практических заданий. Для этой цели служат контрольные работы, выполняемые в течение семестра.

В пособии содержатся теоретические сведения и методические указания, необходимые для выполнения контрольных работ. Здесь же указана дополнительная литература по каждому разделу. Вариант контрольной работы студент выбирает в соответствии с присвоенным ему шифром (номеру варианта соответствует последняя цифра шифра в зачетной книжке).

Правила выполнения контрольной работы.

1.Каждая контрольная работа должна быть выполнена

вотдельной тетради и сдана в деканат (не забудьте указать фамилию преподавателя!).

2.Работу следует оформлять в тонкой тетради, оставляя место для исправления ошибок (желательно писать на левой странице, оставляя чистой правую). Если при проверке работы в ней обнаружены ошибки, то студент должен их исправить и отослать работу на проверку вновь. Причем, работа должна быть отправлена не позднее чем за две недели до начала сессии.

3.Решение задач должно быть достаточно подробным и логически обоснованным. Полезно в ходе решения приводить формулы, формулировки теорем или другие теоретические сведения, на основании которых делается заключение.

3

Краткие теоретические сведения и рекомендации по выполнению контрольных работ

I. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. Понятие неопределенного интеграла

Рассмотрим задачу, обратную задаче дифференцирования: для данной функции y=f(x) найти функцию F(x), такую, что F ′(x) = f (x) . Функция F(x) называется первооб-

разной для функции f(x). Если С постоянная величина, то (F(x) +C)′ = f (x) , то есть F(x)+C – тоже первообразная для функции f(x). Например, для функции y = 3x2 функции F1( x ) = x3 и F2 ( x ) = x3 +3 являются первообразными.

Множество всех первообразных для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x)

и обозначается

∫ f (x)dx = F(x) +C .

Здесь f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением. Операция нахож-

дения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых F(x)+C, причем каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства. График каждой первообразной называется интегральной кривой.

Приведем основные свойства неопределенных интегралов.

1. (∫ f (x)dx)′ = f (x) .

4

2.∫(f (x) + g(x))dx = ∫ f (x)dx + ∫g(x)dx .

3.∫cf ( x )dx = c∫ f ( x )dx , (где c = const ).

4.∫dF( x ) = F( x ) +C .

5.d( ∫ f ( x )dx ) = f ( x )dx .

6.∫ f ( ax + b )dx = a1 F( ax + b ) + C .

7.Если ∫ f (x)dx = F(x) +C , и u =ϕ( x ) –

дифференцируемая функция, то ∫ f ( u )du = F( u ) + C .

Таблица интегралов

2. Метод непосредственного интегрирования

Часто задача нахождения неопределенного интеграла решается сведением интеграла к сумме табличных интегралов путем алгебраических преобразований.

Примеры

= ∫ 2x 2 dx + ∫ 1 + x22 dx = 2∫ 1 2 dx + ∫dx = x(1 + x ) x(1 + x ) 1 + x x

= 2arctgx + ln x +C .

Свойство 7 значительно расширяет таблицу интегралов и благодаря ему таблица интегралов оказывается справедливой независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой функцией.

=12 arctg x +21 + C .

Вданном примере неявно подразумевалось u = x +1 , причем, применялось свойство 7 и табличный интеграл 11.

6

=12 ∫dt + 12 ∫cos 2tdt = 2t + 41 sin 2t + C =

=arcsin2 x + 41 sin 2 arcsin x +C .

прерывные производные. Тогда по свойству дифференциалов d( uv ) = udv + vdu . Интегрируя это равенство, получим

формулу интегрирования по частям ∫udv = uv − ∫vdu . При

8

применении этой формулы подынтегральное выражение представляется в виде произведения двух множителей u и

dv так, чтобы отыскание v и ∫vdu составляли в совокупно-

сти более простую задачу, чем нахождение интеграла ∫udv .

Укажем некоторые типы интегралов, которые находят по этой формуле.

ные сомножители.

Рассмотрим применение этой формулы на примерах.

Примеры

1.

5. Метод интегрирования рациональных функций

Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью называется функция, равная отношению двух мно-

гочленов R( x ) = Pm ( x ) , где Pm ( x ) – многочлен степени m,

Qn ( x )

Qn ( x ) – многочлен степени n. Рациональная дробь называ-

ется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае дробь называется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель.